S´eries de fonctions et int´egrales `a param`etre (2M261) Janvier–Mai 2018.
Examen final – 30 Mai 2018
Consignes :– Les documents et outils ´electroniques sont interdits.
– L’examen a un total de 90 points. Les notesě75 seront consid´er´ees comme 75.
– Vous devez justifier vos r´eponses au maximum.
– Les affirmations d´eraisonnables vous font perdre la confiance du correcteur : Il faut les ´eviter `a tout prix.
– La bonne compr´ehension et interpr´etation des questions fait partie du devoir.
Exercice 1. Pour chaque entier ně1 et chaquexě0, on ´ecritfnpxq “ x n`n3x. 1. (2pts) Montrer que pour toutxě0, la s´erieFpxq “
8
ÿ
n“1
fnpxqconverge.
Correction. Clairementfnp0q “0 et doncFp0q “0. Sixą0, alors fnpxq “ 1
n
x`n3 „ 1 n3.
Or,fnpxq ě0 etn´3 ě0, alors on peut appliquer le crit`ere des s´eries ´equivalentes pour montrer queř
fnpxqconverge.
Autre fa¸con: Pour toutxě0 on a 0ďfnpxq ď 1
n3 donc par majorationř
fnpxqconverge puisque ř
ną0
1
n3 converge.
2. (9pts) Montrer que F:s0,`8r ÑRest une fonction de classeC1. Correction. On montre que ř
ně1fn1 converge normalement sur sa,`8r pour tout 0 ă a. Ceci montrera que F est C1 sursa,`8ret donc queF est C1 surs0,`8r.
On a
fn1pxq “pn`n3xq ´xn3 pn`n3xq2
“ n
pn`n3xq2. On note que sixąa, alors
|fn1pxq| ă n pn`n3aq2. Or,
n
pn`n3aq2 “ n n6pn´2`aq2
“ 1
n5pn´2`aq2
„ 1 a2n5. D’o`u
8
ÿ
n“1
n
pn`n3aq2 converge, etř
fn1 converge normalement.
Exercice 2. R´epondre aux items suivants : 1. (9pts) On suppose queSpzq “
8
ÿ
n“0
anznconverge pourz“ ´4 et diverge pourz“6i. En justifiant avec un th´eor`eme du cours, d´eterminer si les s´eries suivantes
A“
8
ÿ
n“0
an, B“
8
ÿ
n“0
an7n, C“
8
ÿ
n“0
p´1qnan3n, D“
8
ÿ
n“0
an
ˆ´1`i? 3 2
˙n
sont convergentes ou divergentes.
Correction. CommeSp´4qconverge, on sait queř
|anzn|converge pour tout |z| ă4. Il suit que A “ Sp1q converge, que C “ Sp´3q converge, et que D “ S
ˆ´1`i? 3 2
˙
converge parce que ˇ
ˇ ˇ ˇ
´1`i? 3 2
ˇ ˇ ˇ
ˇ “ 1`3
4 “ 1. Par contre, comme Sp6iq diverge, alors Sp7q ne peut pas converger : autrement le th´eor`eme dirait queSp6iqconverge aussi car|6i| ă7.
Autre fa¸con: Si l’on noteρle rayon de convergence, alors on a 4ďρď6 et la s´erie converge pour
|z| ăρet diverge pour|z| ąρ.
2. (8pts) D´eterminer le rayon de convergence de chacune des s´eries enti`eres suivantes.
Spxq “
8
ÿ
n“1
xn 2n?
n, Tpxq “
8
ÿ
n“2
p´1qn xn
3nlogn, Upxq “
8
ÿ
n“0
e2πin{3
cosp1qn¨ pn2`1qx4n. Correction. On applique le crit`ere de d’Alembert `a S. On a
2n? n 2n`1?
n`1 ÝÑ 1 2. Le rayon est ainsi 2.
On applique le crit`ere de Cauchy `a U. On a
n
c 1
3n logn“1 3 ¨ 1
?n
logn. Or,
logpnq1{n“exp logplognq n ÝÑ1.
Le rayon est ainsi 3.
Autre fa¸con : On peut aussi appliquer le crit`ere de d’Alembert : posantan “ p´1qn 3nlogpnq on a
|an`1|
|an| “ logpnq 3 logpn`1q. Or n`1“np1` 1
nqdonc logpn`1q “logpnq `logp1` 1
nqdonc le rapport ci-dessus tend vers 1{3 quandnÑ `8. Le rayon de convergence est donc 3.
On applique le crit`ere de d’Alembert `a U : ˇ
ˇ ˇ ˇ
e2πipn`1q{3x4n`4 cosp1qn`1pn2`2n`2q
ˇ ˇ ˇ ˇ
˜ ˇ ˇ ˇ ˇ
e2πin{3x4n cosp1qnpn2`1q
ˇ ˇ ˇ ˇ
“ 1
cosp1q¨ n2`1
n2`2n`2 ¨ |x|4. Comme la limite de cette suite vaut |x|4
cosp1q, il suit que la s´erie diverge pour |x|4 ą cosp1q et converge pour |x|4ăcosp1q. Donc, le rayon est a4
cosp1q.
3. (4pts) En utilisant que la d´eriv´ee de la fonction arctan : R Ñ R au point x P R vaut 1 x2`1, d´eterminer le d´eveloppement de arctanpxq en s´erie enti`ere centr´ee `a l’origine. (Vous devez faire attention aux domaines d’application des th´eor`emes du cours.)
Correction. On sait que
1 1`x2 “
8
ÿ
n“0
p´1qnx2n
et cette s´erie g´eom´etrique converge si|x2| ă1, c.-`a-d. si|x| ă1. Il suit que, pour tout|X| ă1, on peut int´egrer terme `a terme :
@X P s´1,1r, arctanpXq ´arctanp0q “ żX
0
dx 1`x2 “
8
ÿ
n“0
p´1qn żX
0
x2ndx
et comme arctanp0q “0 on obtient arctanpXq “ ÿ8
n“0
p´1qnX2n`1
2n`1 pour|X| ă1.
Exercice 3. Soitf :RÑRla fonction de p´eriode 2πd´efinie par fptq “
# ´t, sitP r´π,0r, 0, sitP r0, πr.
1. (5pts) Calculer, pour chaque nPZ, len-`eme coefficient de Fourier exponentielcn“fˆpnqdef. Correction. On a pourn“0 que
2πcn“ ż0
´π
´te´intdt
“ żπ
0
seinsds
“
„ seins
in
π
0
´ żπ
0
eins in ds
“πp´1qn in ´
„eins
´n2
π
0
“πp´1qn
in `p´1qn´1 n2 . Donc,
cn“ p´1qn
2in `p´1qn´1 2πn2 . Puis,
2πc0“ ż0
´π
´t dt“ żπ
0
s ds“ π2 2 doncc0“ π
4.
2. (6pts) Pour chaque N P N, on ´ecrit SNptq “ ř`N
n“´Ncneint. Relier Sptq “ lim
NÑ8
SNptq et fptq.
Ensuite, montrer que pSNqne converge pas uniform´ement surR.
Correction. f est C1 par morceaux donc, d’apr`es le th´eor`eme de Dirichlet, la suite pSNpxqq converge pour toutxvers
gpxq “fpx´q `fpx`q 2
et ceci vautfpxqen tout point o`uf est continue, c.-`a-d. pour toutxR ´π`2Zπ. Par contre pour x“ ´πon afpx`q “πetfpx´q “0 doncpSNp´πqqconverge versπ{2.
Par cons´equent, ni f ni g ne sont continues en les points de ´π`2Zπ. Si on avait convergence uniforme, la fonction limiteg serait continue. Donc il n’y a pas convergence uniforme surR. 3. (4pts) Montrer, `a l’aide des formules pr´ec´edentes que
π2 8 “
ÿ8
n“1 nimpair
1 n2.
( `A toutes fins utiles : Pour chaquenPN, les coefficients trigonom´etriques sont d´eduits des coeffi- cients exponentiels paran“cn`c´n etbn“i¨ rcn´c´ns.)
Correction. On voit que pourną0,
an“ p´1qn´1
πn2 , et bn“p´1qn n .
Comme cospn0q “1 et sinpn0q “0, on d´eduit de la question pr´ec´edente appliqu´ee `a x“0 que fp0q “0“ π
4 ` ÿ
ně1
p´1qn´1 πn2
“ π
4 ` ÿ
ně1 nimpair
´ 2 πn2.
Une manipulation facile donne alors la formule souhait´ee.
Autre fa¸con : Il est possible aussi d’appliquer la question pr´ec´edente `a x “ ˘π car comme cosp˘nπq “ p´1qn, on trouvera
π 2 “ π
4 ´ ÿ
n“1 nimpair
´ 2 πn2.
Exercice 4. On souhaite calculer la valeur de l’int´egraleJ “ş`8
´8e´u2du. On introduit ainsi fpt, xq “ e´xp1`t2q
1`t2 , etFpxq “ ż`8
´8
fpt, xqdt.
1. (2pt) Montrer que Fpxqconverge pour toutxě0.
Correction. On voit que 0ďfpt, xq ď 1
1`t2, et donc la convergence deFpxqsuit de la convergence de
ż`8
´8
dt
1`t2. De plus, comme arctan est une primitive de 1
1`t2, cette derni`ere int´egrale vaut π.
2. (4pts) Montrer que F:r0,`8r ÑRest une fonction continue.
Correction. On montre que F converge uniform´ement surr0,`8r. Or, pour tout xě0, on voit que 0 ďfpt, xq ď 1
1`t2. Il suit que la convergence est normale, donc uniforme, et donc F est continue carf est continue comme fonction de deux variables.
3. (3pt) Prouver queFpxq Ñ0 pourxÑ `8.
Correction. Pour xě0, alors 0ďfpt, xq ď e´x
1`t2 et doncFpxq ďe´x ż`8
´8
dt
1`t2 “πe´x. 4. (9pts) Montrer que F : s0,`8r Ñ R est d´erivable et exprimer F1pxq comme une int´egrale `a
param`etre.
Correction. On a B2fpt, xq “ ´e´xp1`t2q. Fixons δ ą0. Pourxąδ on a |B2fpt, xq| ďe´δp1`t2q, donc l’int´egrale ş`8
´8B2fpt, xqdt converge normalement pour x ą δ. On peut donc appliquer le th´eor`eme de d´erivation sous le signe somme pour obtenir F1pxq “ ´
ż`8
´8
e´xp1`t2qdt pour tout xąδ, et donc pour toutxą0 puisqueδą0 ´etait arbitraire.
5. (2pts) `A partir de la question pr´ec´edente, montrer queF1pxq “ ´e´x
?xJ pour toutxą0.
Correction. On voit queF1pxq “ ´e´xş`8
´8 e´xt2dt. Le changement de variables“t?
xdonne ż`8
´8
e´xp1`t2qdt“e´x ż`8
´8
e´xt2dt
“e´x
?x ż`8
´8
e´s2ds.
6. (2pts) Utiliser les questions pr´ec´edentes pour montrer que pour chaqueyą0, on a Fpyq “J
ż8 y
e´x
?xdx.
Correction. Pour tout 0ăyăy1 on a Fpy1q ´Fpyq “
ży1
y
F1pxqdx“ ´J ży1
y
e´x
?x dx;
faisant y1Ñ `8et utilisant que dans ce casFpy1q Ñ0, on arrive `a la formule cherch´ee.
7. (2pt) En d´eduire que pouryą0, on a
Fpyq “J¨2 ż8
?y
e´u2du.
Correction. Le changement de variablex“u2 donne Fpyq “J
ż8 y
e´x
?xdx
“J ż8
?y
e´u2 u 2u du
“2J ż8
?y
e´u2du.
8. (2pts) Obtenirş`8
´8e´x2dx“? π.
Correction. On faityÓ0 dans la formule pr´ec´edente et on emploie la continuit´e : Fp0q “2J
ż8 0
e´u2du.
Mais J “ 2 ż`8
0
e´u2du et donc Fp0q “ J2. Mais Fp0q “ π, car ż`8
´8
dx
1`x2 “arctanp`8q ´ arctanp´8q “π{2´ p´π{2q.
Exercice 5. Pour toutαPR, on noteEα leC-espace vectoriel des fonctions continuesψ:r0,`8r ÑC pour lesquelles il existeCě0 tel que|ψptq| ďCeαt pour toutt.
On fixe maintenantf PEαet on note Lpfqpsq “ ż8
0
fptqe´stdtsa transform´ee de Laplace.
1. (2pt) On suppose en plus quef est d´erivable et quef1:r0,`8r ÑCappartient ´egalement `aEα. Montrer que pour sP sα,`8ron aLpf1qpsq “sLpfqpsq ´fp0q.
Correction. On peut ´ecrire żT
0
f1ptqe´stdt“fpTqe´sT ´fp0q `s żT
0
fptqe´stdt.
Prenant T Ñ 8 et observant que fpTqe´sT Ñ 0 car f P Eα et s ą α, on obtient Lpf1qpsq “
´fp0q `sLpfqpsq.
2. (1pt) On suppose en plus quef1est d´erivable et quef2:r0,`8r ÑCappartient ´egalement `aEα. Pour sąα, exprimerLpf2qpsqen termes deLpfq.
Correction. On a Lpf2qpsq “sLpf1q ´f1p0q “s2Lpfq ´sfp0q ´f1p0q.
3. (14pts) `A l’aide de la transform´ee de Laplace, trouver une solutionϕde l’´equation diff´erentielle y2´4y1´5y“0
telle queϕp0q “1 etϕ1p0q “ ´7. ( `A toutes fins utiles :Ltektupsq “ 1
s´k,Ltsinpktqupsq “ k s2`k2, Ltcospktqupsq “ s
s2`k2.)
Correction. On suppose que ϕest une solution et on note Φ sa transform´ee de Laplace. On sait queLpϕ1qpsq “sΦpsq ´1 et queLpϕ2qpsq “s2Φpsq ´s`7. Donc,
0“s2Φpsq ´s`7´4psΦpsq ´1q ´5Φpsq
“ rs2´4s´5s ¨Φpsq ´s`11.
On d´eduit que
Φpsq “ s´11 s2´4s´5.
Or, un calcul facile montre que ps´5qps`1q “s2´4s´5, puis la d´ecomposition en ´el´ements simples donne
Φpsq “ ´1 s´5 ` 2
s`1. Il suit que
ϕptq “ ´e5t`2e´t.
