corrigé du 21/5/19

Sorbonne Université

Séries de fonctions et intégrales à paramètre (2M261) Janvier–Mai 2019.

Examen final – 21 Mai 2019

Consignes :– Les documents et outils électroniques sont interdits.

– L’examen est noté sur 50. Le total des points fait 60 et les notesě50seront considérées comme 50.

– Vous devez justifier vos réponses au maximum.

– Les affirmations déraisonnables vous font perdre la confiance du correcteur : Il faut les éviter à tout prix.

– La bonne compréhension et interprétation des questions fait partie de l’examen.

Exercice 1. (10 pts) Pour chaquenPN´ t0uet chaquexą1on posefnpxq “ 1

np1`nlogpxqq. Montrer queFpxq “ ÿ

ně1

fnpxq converge pour toutxP s1,`8ret que la fonction ainsi obtenueF :s1,`8r ÑR est de classeC¹.

Correction. Attention,logp1q “0 donc1{logpxqest « grand » pourxproche de1; on ne peut pas faire comme si le facteur1{logpxqn’existait pas !

Mais pourxfixé, les termesfnpxqsontą0et l’on afnpxq „ 1

n²logpxq quandnÑ `8donc, comme la sérieř

ną01{n²converge, alors la sérieř

ną0f_npxqconverge également. DoncF est définie surs1,`8r.

Montrons qu’elle est dérivable.

Pour toutną0, on af_n¹pxq “ ´ n{x

np1`nlogpxqq² “ ´1

xp1`nlogpxqq<sup>2</sup> qui est continue sur s1,`8r.

Fixonsaą1; alors pour toutxP ra,`8ron a :xěaet1`nlogpxq ě1`nlogpaq, d’où

|f_n¹pxq| ď 1 a

1

p1`nlogpaqq² ď 1 alogpaq²

1 n² et donc la série de fonctionsř

ną0f_n¹pxqconverge normalement sur ra,`8r. Par conséquent, d’après un théorème du cours,F est de classe C<sup>1</sup> sur ra,`8r. Comme aą1 est arbitraire, il en résulte que F est de classeC¹ surs1,`8r

Exercice 2. (10 pts) Répondre aux questions suivantes.

1. (4 pts) Pour chaquenPN, on pose an “

#

2, sinest pair, 3, sinest impair.

Déterminer le rayon de convergenceρdeFpxq “ ÿ

ně0

anxⁿ, puis exprimer la fonctionF comme une fonction rationnelle (=quotient de polynômes) surs´ρ,`ρr.

Correction. On peut appliquer le test de Cauchy : on a1ď ?ⁿ

anď ?ⁿ 3 et ?ⁿ

3Ñ1, donc le rayon de convergence est1. On peut aussi dire que pour toutxPR` on a :

2 ÿ

ně0

xⁿď ÿ

ně0

anxⁿď3 ÿ

ně0

xⁿ

et commeř

ně0xⁿ converge pourxP r0,1ret diverge pourxě1, le rayon de convergence est1.

Puis, on note que

Fpxq “2 ÿ

ně0

x²ⁿ`3xÿ

ně0

x²ⁿ

“2 1

1´x² ` 3x 1´x²

“2`3x 1´x².

2. On considère l’équation différentielle suivante :

p1`x<sup>2</sup>qy<sup>2</sup>pxq `ypxq “0. (E) (a) (3pts) En admettant que (E) possède comme solution une série entière ϕpxq “ ÿ

ně0

anxⁿ de rayon de convergenceρą0, déduire une relation de récurrence entre les coefficientsa_n. Correction. On suppose queϕest une telle solution. Alors, siρą0est le rayon de convergence, on sait que surs´ρ,`ρron aura pourxP s´ρ,`ρrque

ϕ²pxq “ ÿ

ně2

annpn´1qx^n´2

“ ÿ

mě0

a<sub>m`2</sub>pm`2qpm`1qx^m x²ϕ²pxq “ ÿ

ně2

annpn´1qxⁿ

“ ÿ

ně0

a_nnpn´1qxⁿ.

Donc, siϕest solution de (E), chaque coefficient de la série entière p1`x<sup>2</sup>qϕ<sup>2</sup>pxq `ϕpxq “ ÿ

ně0

rpn`2qpn`1qan`2`npn´1qan`ans ¨xⁿ

est nul. Il s’ensuit que

pn`2qpn`1qan`2`npn´1qan`an“0, i.e.

a<sub>n`2</sub>“ ´ n<sup>2</sup>´n`1 pn`2qpn`1qa_n.

(b) (3 pts) Soit ϕ comme dans la question précédente. On suppose de plus que ϕp0q “0 et ϕ¹p0q “1. Déterminerρ.

Correction. On note que les termes pairs sont nuls parce quea0“0. Puis,a1“1et il résulte de la formule précédente que chaquea_n avecnimpair est non nul, et que

nÑ8lim

nimpair

an`2

an

“1.

Il s’ensuit que

ϕ“x`xÿ

kě1

a2k`1x^2k et six­“0alors

ˇ ˇ ˇ ˇ

a2k`1x<sup>2k`1</sup> a_2k´1x^2k´1 ˇ ˇ ˇ ˇ

ÝÑ |x|²;

donc la série converge si|x|²ă1et diverge sinon. Par conséquent,ρ“1.

Exercice 3. (14 pts) Soit f :RÑCla fonction de période2πdéfinie par fptq “

# t, si0ďtăπ, 0, siπďtă2π.

1. (6 pts) Pour chaquenPZ, déterminer len-ième coefficient de Fourier exponentielc_npfq.

Correction. On a2πcnpfq “ ż2π

0

te^´intdt“ żπ

0

te^´intdt, la 2ème égalité résultant du fait quef est nulle surrπ,2πs. Pourn­“0, calculons cette intégrale en intégrant par parties :

żπ

0

te^´intdt“

„ te^´int

´in

π

0

´ żπ

0

e^´int

´in dt

“ πip´1qⁿ

n ´

„e^´int

´n²

π

0

“ πip´1qⁿ

n `p´1qⁿ´1 n² . Donc,

cn“p´1qⁿ´1

2πn² `ip´1qⁿ 2n . Puis on a

c0“ 1 2π

żπ

0

t dt“ 1 2π

π² 2 “ π

4.

2. (8 pts) En utilisant la question précédente et l’égalité ÿ

ně1

1 n² “ π²

6 , déterminer explicitement la valeur de la série

σ“ ÿ

ně1 nimpair

1 n⁴.

Correction. On applique l’égalité de Parseval 1 2π

ż2π

0

|fptq|²dt“ |c₀|²` ÿ

ną0

p|c_n|²` |c_´n|²q. On a 1

2π żπ

0

t²dt“ 1 2π¨π³

3 “ π² 6 . L’égalité de Parseval donne alors

π² 6 “ π²

16 `2 ÿ

ně1

rp´1qⁿ´1s² 4π²n⁴ ` 1

4n²

“ π² 16 ` ÿ

ně1

rp´1qⁿ´1s² 2π²n⁴ ` ÿ

ně1

1 2n²

“ π² 16 ` 2

π²σ`π² 12.

Doncσ“ π⁴ 2

´ 1 12´ 1

16

¯

“ π⁴

2ˆ48 “π⁴ 96.

Exercice 4. (14 pts) Pour tout xP s0,`8r, on poseFpxq “ ż`8

1

dt

t^xp1`t`cos²ptqqdt.

1. (2 pts) Montrer que l’intégraleFpxqconverge pour toutxPs0,`8r.

Correction. Pour tÑ `8, on a t<sup>x</sup>p1`t`cos<sup>2</sup>ptqq „t<sup>x`1</sup> et les deux termes sont de même signe ą0. Comme1`xą1, l’intégrale

ż`8

1

dt

t^{1`x</sup> converge (et vautr´t<sup>´x</sup>{xs<sup>`8}₁ “1{x). Il s’ensuit que l’intégraleFpxqconverge pour toutxą0.

2. (12 pts) Montrer queF est de classeC¹surs0,`8ret donner l’expression deF¹pxqcomme intégrale dépendant d’un paramètre.

Correction. Soit fpt, xq “ 1

t^xp1`t`cos²ptqq. Comme 1{t^x “ t^´x “ e^´xlogptq, on a Bxfpt, xq “

´ logptq

t^xp1`t`cos²ptqq. Fixonsaą0 et montrons que les intégrales Gpxq “

ż8

1

logptq

t^xp1`t`cos²ptqqdt convergent normalement pourxP ra,`8r. Pour tě1 etxěaon a :

ˇ ˇ ˇ ˇ

logptq t^xp1`t`cos²ptqq

ˇ ˇ ˇ ˇ

“ logptq

t^xp1`t`cos²ptqq ď logptq

t^{1`x</sup> ďlogptq t<sup>1`a} . De plus, commelimtÑ`8

logptq

t^a{2 “0, il existe une constante C ą0 telle quelogptq ďC t^a{2 pour touttě1. Pour tě1et xěaon a donc :

ˇ ˇ ˇ ˇ

logptq t^xp1`t`cos²ptqq

ˇ ˇ ˇ ˇ

ď C

t^1`a{2

et comme1`a{2ą1l’intégrale ż`8

1

dt

t<sup>1`a{2</sup> converge. Ceci prouve que les intégralesGpxqconvergent normalement pour x ě a. D’après un théorème du cours, F est donc de classe C<sup>1</sup> sur ra,`8r.

Commeaą0est arbitraire, il en résulte queF est de classeC¹surs0,`8r.

Exercice 5. (12 pts) Pour tout α P R, on note Eα le C-espace vectoriel des fonctions continues ψ : r0,`8r ÑC pour lesquelles il existeC ě0 tel que|ψptq| ďCe^αt pour tout t. Dans la suite, L désigne la transformée de Laplace.

1. (2 pts) Soit f P Eα telle que f est dérivable et f¹ P Eα. Montrer que pour s P sα,`8r on a Lpf¹qpsq “sLpfqpsq ´fp0q.

Correction. Voir le cours. En appliquant la même formule àf¹ au lieu def, on obtient : Lpf²qpsq “sLpf¹q ´f¹p0q “s`

sLpfqpsq ´fp0q˘

´f¹p0q “s²Lpfq ´sfp0q ´f¹p0q.

2. (10 pts) En utilisant la transformée de Laplace, trouver une solution f : R Ñ R de l’équation différentielle

y²`y¹´20y“0 (E)

telle quefp0q “1 et f¹p0q “2. (À toutes fins utiles :Lte^ktupsq “ 1

s´k,Ltsinpktqupsq “ k s²`k² etLtcospktqupsq “ s

s²`k².)

Correction. On noteF la transformée de Laplace de f. Alors Lpf²qpsq “s²Fpsq ´s´2 et

Lpf¹qpsq “sFpsq ´1.

Comme la transformation de Laplace est linéaire, on obtients²Fpsq ´s´2`sFpsq ´1´20Fpsq “0, d’où

Fpsq “ s`3 s<sup>2</sup>`s´20. En faisant la décomposition en éléments simples, on obtient

Fpsq “ 7{9

s´4 ` 2{9 s`5 . Ceci est la transformée de Laplace de la fonction

gptq “ 7 9e^4t`2

9e^´5t

et comme la transformée de Laplace est injective, il s’ensuit quefptq “gptqest la solution cherchée.