S´eries de fonctions et int´egrales `a param`etre (2M261) Janvier–Mai 2018.
Examen final – 30 Mai 2018
Consignes :– Les documents et outils ´electroniques sont interdits.
– L’examen a un total de 90 points. Les notesě75 seront consid´er´ees comme 75.
– Vous devez justifier vos r´eponses au maximum.
– Les affirmations d´eraisonnables vous font perdre la confiance du correcteur : Il faut les ´eviter `a tout prix.
– La bonne compr´ehension et interpr´etation des questions fait partie du devoir.
Exercice 1. Pour chaque entier ně1 et chaquexě0, on ´ecritfnpxq “ x n`n3x. 1. (2pts) Montrer que pour toutxě0, la s´erieFpxq “
8
ÿ
n“1
fnpxqconverge.
2. (9pts) Montrer que F:s0,`8r ÑRest une fonction de classeC1. Exercice 2. R´epondre aux items suivants :
1. (9pts) On suppose queSpzq “
8
ÿ
n“0
anznconverge pourz“ ´4 et diverge pourz“6i. En justifiant avec un th´eor`eme du cours, d´eterminer si les s´eries suivantes
A“
8
ÿ
n“0
an, B“
8
ÿ
n“0
an7n, C“
8
ÿ
n“0
p´1qnan3n, D“
8
ÿ
n“0
an
ˆ´1`i? 3 2
˙n
sont convergentes ou divergentes.
2. (8pts) D´eterminer le rayon de convergence de chacune des s´eries enti`eres suivantes.
Spxq “ ÿ8
n“1
xn 2n?
n, Tpxq “ ÿ8
n“2
p´1qn xn
3nlogn, Upxq “ ÿ8
n“0
e2πin{3
cosp1qn¨ pn2`1qx4n.
3. (4pts) En utilisant que la d´eriv´ee de la fonction arctan : R Ñ R au point x P R vaut 1 x2`1, d´eterminer le d´eveloppement de arctanpxq en s´erie enti`ere centr´ee `a l’origine. (Vous devez faire attention aux domaines d’application des th´eor`emes du cours.)
Exercice 3. Soitf :RÑRla fonction de p´eriode 2πd´efinie par
fptq “
#
´t, sitP r´π,0r, 0, sitP r0, πr.
1. (5pts) Calculer, pour chaque nPZ, len-`eme coefficient de Fourier exponentielcn“fˆpnqdef. 2. (6pts) Pour chaque N P N, on ´ecrit SNptq “ ř`N
n“´Ncneint. Relier Sptq “ lim
NÑ8
SNptq et fptq.
Ensuite, montrer que pSNqne converge pas uniform´ement surR.
1
3. (4pts) Montrer, `a l’aide des formules pr´ec´edentes que π2
8 “ ÿ8
n“1 nimpair
1 n2.
( `A toutes fins utiles : Pour chaquenPN, les coefficients trigonom´etriques sont d´eduits des coeffi- cients exponentiels paran“cn`c´n etbn“i¨ rcn´c´ns.)
Exercice 4. On souhaite calculer la valeur de l’int´egraleJ “ş`8
´8e´u2du. On introduit ainsi fpt, xq “ e´xp1`t2q
1`t2 , etFpxq “ ż`8
´8
fpt, xqdt.
1. (2pt) Montrer que Fpxqconverge pour toutxě0.
2. (4pts) Montrer que F:r0,`8r ÑRest une fonction continue.
3. (3pt) Prouver queFpxq Ñ0 pourxÑ `8.
4. (9pts) Montrer que F : s0,`8r Ñ R est d´erivable et exprimer F1pxq comme une int´egrale `a param`etre.
5. (2pts) `A partir de la question pr´ec´edente, montrer queF1pxq “ ´e´x
?xJ pour toutxą0.
6. (2pts) Utiliser les questions pr´ec´edentes pour montrer que pour chaqueyą0, on a Fpyq “J
ż8
y
e´x
?xdx.
7. (2pt) En d´eduire que pouryą0, on a
Fpyq “J¨2 ż8
?y
e´u2du.
8. (2pts) Obtenirş`8
´8e´x2dx“? π.
Exercice 5. Pour toutαPR, on noteEα leC-espace vectoriel des fonctions continuesψ:r0,`8r ÑC pour lesquelles il existeCě0 tel que|ψptq| ďCeαt pour toutt.
On fixe maintenantf PEαet on note Lpfqpsq “ ż8
0
fptqe´stdtsa transform´ee de Laplace.
1. (2pt) On suppose en plus quef est d´erivable et quef1:r0,`8r ÑCappartient ´egalement `aEα. Montrer que pour sP sα,`8ron aLpf1qpsq “sLpfqpsq ´fp0q.
2. (1pt) On suppose en plus quef1est d´erivable et quef2:r0,`8r ÑCappartient ´egalement `aEα. Pour sąα, exprimerLpf2qpsqen termes deLpfq.
3. (14pts) `A l’aide de la transform´ee de Laplace, trouver une solutionϕde l’´equation diff´erentielle y2´4y1´5y“0
telle queϕp0q “1 etϕ1p0q “ ´7. ( `A toutes fins utiles : Ltektupsq “ s´k1 , Ltsinpktqupsq “ s2`kk 2, Ltcospktqupsq “ s2`ks 2.)
2
