MAGISTEREINTERUNIVERSITAIREDEPHYSIQUE|PARIS7 ¢ t =4h : t =15juin 1994; 8h45 ; L6|Examen RELATIVITES

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RELATIVITES

L6 — Examen

t0 = 15 juin , 8 h 45,

∆t= 4 h.

MAGISTERE INTERUNIVERSITAIRE DE PHYSIQUE — PARIS 7

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Ayant quelque peu manqué de temps pour préparer ce sujet et le concentrer, j’espère que vous en excuserez la logorrhée et les éventuelles erreurs, sinon les fautes d’orthographe, voire le ton didactique et même comminatoire. Les différents exercices proposés sont parfois indépendants. Leur progression suit à peu près celle du cours qui vous a été don. . . vendu, et correspond, tout au moins à mon sens,

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a une difficulté croissante. Vous êtes bien entendu en droit de faire appel à votre culture, ou aux résultats établis en cours, sans en en répéter les démonstrations mais en rappelant ces résultats avec précision.

A.L.

Quelques donn´ees naturelles :

La constante de la th´eorie de la relativit´e c≈3,0×10⁸m s⁻¹

La constante de la gravitation G≈6,7×10⁻¹¹m³kg⁻¹s⁻² La masse du Soleil M_¯ ≈2,0×10³⁰kg

Le rayon du Soleil R_¯ ≈7,0×10⁸m La distance moyenne Terre–Soleil d ≈1,5×10¹¹m

La constante des gaz parfaits R≈8,3 J mole⁻¹K⁻¹ L’acc´el´eration de la pesanteur sur Terre g≈9,8 m s⁻²

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L6, Relativités 1 I. UNE PROPRIETE INTRINSEQUE DE L’ESPACE-TEMPS On cherche un moyen de tester géométriquement (c’est-à-dire sans faire appel à un système de coordonnées) la propriété d’invariance de dτ^{2 df}=dt²−d~x². Sophie et Aristote sont inertiels depuis leur séparation en O. Sophie, en A, émet un signal radar que Aristote lui réfléchit de P et qu’elle re¸coit en B. Représenter cette saynète sur un diagramme d’espace-temps de votre choix, et montrer que τ_OP² = τOAτOB, en termes des temps que Sophie et Aristote mesurent sur leurs horloges respectives pour les événements qui jalonnent leurs vies.

II. UN AUTRE SCENARIO

Sophie se déplace à la vitesse ~v pour Aristote. Au cours d’une expérience de physique des particules, Aristote observe que dN =f(~p)d³p~ particules d’un type donné sont émises avec une impulsion dans le pavé d³~p autour de la valeur ~p.

Lorsqu’ils conviennent d’axes en configuration standard, Aristote choisit son axe ˆ

x selon la vitesse de Sophie.

1. Calculez le volume correspondant d³~p⁰ pour Sophie, autour de la valeur correspondante p~⁰, et montrez que ce volume s’exprime simplement en fonction de d³~p, et des ´energiesE et E⁰ des particules dans les rep`eres respectifs.

2. En d´eduire l’expression de la distribution d’impulsion f⁰(~p⁰) pour Sophie.

3. Pourquoi, à votre avis, la communauté de physique des particules a t-elle coutume d’écrire plutôt :

dN =g(~p)d³~p E .

III. SUR FOND DE RAYONNEMENT COSMIQUE

1. Soit une particule de masse nulle, d’´energie E et d’impulsion ~p pour Aristote.

Quelles sont les expressions de l’´energieE et des composantesp^x, p^y, p^z observ´ees par Aristote en fonction des E⁰, p⁰^x, p⁰^y, p⁰^z de Sophie toujours en configuration standard ?

2. Aristote adopte un axe ˆy tel que ~psoit dans le plan (ˆx,y) et rep`ˆ ere l’impulsion de la particule par son angle θ avec l’axe ˆx. Sophie en fait autant dans son rep`ere.

Déduire des relations précédentes les expressions dep^df=|~p|et de cosθen fonctions de p⁰, cosθ⁰ et v.

3. Sophie et Aristote observent la mˆeme particule de masse nulle. Rappeler les expressions de p/p⁰ et cosθ en fonction de v et cosθ⁰.

4. Aristote est dans une caisse fixe, de volume V, contenant un certain nombre de particules, identiques, de masse nulle, dont les impulsions sont distribu´ees selon la

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2 MIP, Paris 7

loi d³N = F(~p)d³~p, dictant le nombre de particules dont l’impulsion appartient au pavé (~p, d³~p). Pour Sophie, ces mêmesd³N particules ont leurs impulsions dans un pavé (~p⁰, d³~p⁰) et se distribuent selon la loid³N =F⁰(p⁰)d³p⁰. Déterminer par la méthode qui vous plaira (jacobien, oud³~p=p²dp d(−cosθ)dϕ . . . ou résultats du problème II) le rapport d³p/d~ ³~p⁰ des volumes des pavés.)

5. La distribution qu’observe Aristote, à l’équilibre thermodynamique à la tempéra- ture T, est celle du corps noir :

F(~p) = 1 4π³

V

¯ h³

1 e^p/kT −1.

En déduire la distribution F⁰(~p⁰) observée par Sophie en fonction de v, p⁰, cosθ⁰ et du volume V⁰ qu’elle attribue à la caisse bien propre d’Aristote.

6. Montrer que le spectre des particules observées par Sophie sous un angleθ⁰ donné présente l’aspect d’un spectre de corps noir à une “température”T⁰(θ⁰) à préciser.

7. Le fond de rayonnement électromagnétique cosmique observé depuis la Terre pré- sente effectivement, à une bonne approximation, la forme d’un rayonnement de corps noir de températureT = 2,7 K. Toutefois, on observe une légère anisotropie du rayonnement re¸cu, de type dipolaire, d’amplitude ±3,5×10⁻³K, du Verseau au Lion. En déduire la valeur de la vitesse (de la Terre ? du Soleil ? de la Voie Lactée ?) par rapport au cosmos.

IV. DEVIATION DE LA LUMIERE PAR LE SOLEIL

Dans le champ de gravitation du Soleil, param`etre de Schwarzschild r_g, en coordonn´ees de Schwarzschild. . .

1. Rappeler l’équation différentielle régissant la fonction u(ϕ)^df= 1/r(ϕ) associée aux coordonnées r et ϕ d’une particule évoluant dans le plan choisi pourθ =π/2.

2. On envisage dorénavant le cas d’une particule de masse nulle. Etablir, dans ce cas, l’équation différentielle régissant l’évolution de la fonctionv(ϕ)=^df GM_¯u(ϕ), oùG est la constante de la gravitation et M_¯ la masse du Soleil.

3. i) Quel est, `a votre avis, le domaine de valeurs typique de v?

ii) Une première estimation de v(ϕ) consiste à négliger l’effet de la gravitation ! Quelle est la forme de la trajectoire dans ce cas ? Quelle est l’expression correspondante de r(ϕ) si l’on choisit l’origine de ϕ en sorte que r tende vers l’infini lorsque ϕtend vers zéro, et si la valeur minimale de la distance de la particule au Soleil est b? Quelle est l’estimation v₀(ϕ) correspondante ?

iii) On obtient une meilleure (¸ca n’est pas difficile !) estimation de la solu- tion de l’équation du mouvement en évaluant le terme d’interaction à l’aide de l’approximation v₀. Déterminer dans ces conditions l’approximation v₁(ϕ)

´

equivalente `a v0(ϕ) lorsque ϕ→0.

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L6, Relativités 3 iv) A cet ordre d’approximation, quelles sont les valeurs de ϕ pour lesquelles la coordonnéer devient infinie ? En déduire la déviation ∆ϕde la direction finale de la particule par rapport à sa direction initiale.

v) Dans cette approximation, quelle est l’estimation de la valeur minimale, r_m, de r au cours de la trajectoire ?

vi) Quelle est la valeur numérique de la déviation maximale observable ? A ce propos, comment peut-on donner ici une signification à des quantités définies et calculées dans un espace-temps courbe ?

vii) Pour Newton, la lumière était composée de particules (massives forcément) dont il connaissait la vitesse loin du Soleil. Quelle estimation de la déviation maximale, ∆ϕcl, d’un rayon lumineux par le Soleil aurait-il pu prédire ?

V. ROUGISSEMENT GRAVITATIONNEL

Soit l’espace-temps de Schwarzschild extérieur à un astre sphérique, paramètre de Schwarzschild rg, en coordonnées de Schwarzschild.

1. On est insensibilisé localement à la gravitation en un événement S si l’on y est en chute libre. Autrement dit, la physique en S a son cadre ordinaire minkowskien si l’on utilise des coordonnées localement plates x^α^¯, auxquelles correspond une base de coordonnéese_α_¯ qui constitue une tétrade orthonormée. Rappelez les valeurs des produits scalaires des vecteurs de base des coordonnées de Schwarzschild en S : e_t, e_r, e_θ et e_ϕ. En déduire un choix de tétrade orthonormée associée à S, soit e¯t, e_r_¯, eθ¯et e_ϕ_¯, en fonction de e_t,e_r, e_θ et e_ϕ.

2. En l’événement S, on considère une particule de masse m qui a une vitesse nulle par rapport à cette tétrade.

i) Quelles sont les valeurs des composantes p^¯^t, p^r^¯, p^θ^¯,p^ϕ^¯ de la quadri-impulsionp de la particule sur la tétrade ? Quelle est l’expression du développement de p sur la tétrade ?

ii) En déduire le développement depsur la base des coordonnées de Schwarzschild, puis les valeurs de ses composantes p^t, p^r, p^θ et p^ϕ.

iii) Vous souvenant de la définition géométrique de la quadri-impulsion en terme du déplacement infinitésimal ds, et du développement de ce déplacement sur la base des coordonnées, en déduire les valeurs de dr/dτ, dθ/dτ etdϕ/dτ pour cette particule en cet événement. Quelle vitesse par rapport à quoi peut-on attribuer à la tétrade ?

3. Un atome de référence, longuement étudié immobile en laboratoire, en absence de gravitation ou en chute libre, est connu de tous pour émettre un photon d’énergie E_r´_ef.

i) Un tel atome, stationnaire en l’événement 1 dans l’espace-temps et les coor- données de Schwarzschild, émet son photon. Exprimez l’énergie caractéristiqueE_r´_ef en fonction de la composante p^t^¯de la quadri-impulsion du photon sur la tétrade

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associée, par le procédé précédent, à l’événement 1. En déduire l’expression deEréf

en fonction de la composante p^t sur la base des coordonn´ees.

ii) En déduire la valeur de la constante du mouvement E dorénavant associée à ce photon.

iii) Le photon est réceptionné dans un détecteur stationnaire en l’événement 2.

Quelle est l’´energie E_d´_et observ´ee pour ce photon, en fonction de sa constante du mouvement E?

iv) Calculez le rapport de l’énergie du photon ainsi détecté en 2, sur la valeur de référence Eréf.

v) Dans le cadre de la théorie quantique, l’énergie du photon est reliée à sa fréquence. Calculez le rapport de la fréquence ν_d´_et observée en 2, sur la fréquence de référenceν_r´_ef, en fonction des potentiels gravitationnelsφ(1) etφ(2). En champ faible, quelle est l’expression approchée de l’écart de fréquence observé ∆ν, relatif

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a la fréquence de référence ? vi) Calculez ∆ν/νréf pour :

— un atome émetteur à la surface du Soleil et un détecteur sur l’orbite de la Terre ; comparez avec l’ordre de grandeur de l’élargissement Doppler dû à l’agitation thermique à la surface du Soleil ;

— un atome émetteur sur Terre, disposé à 22,6 m au dessus du détecteur (expérience de Pound et Rebka).

4. Vous pouvez légitimement vous interroger sur cette prédiction du décalage de fréquence car elle est fondée sur une relation entre énergie et fréquence dont il faudrait s’assurer qu’elle est invariante relativiste. (C’est d’ailleurs faisable.) On se propose de procéder plus directement au moyen d’horloges étalons fabriquées selon les prescriptions légales, c’est-à-dire identiques, estampillées chacunes d’une

´

etiquette de garantie portant mention d’un chiffre et d’une unité, ∆τ, associés à l’intervalle entre un “tic” et le “tac” suivant. Bien sûr, ce modèle d’horloge a été choisi pour être relativement insensible à une accélération, et assez petit pour être indifférent aux effets de marée d’un éventuel champ gravitationnel. L’histoire se déroule maintenant dans un espace-temps et des coordonnées tels que la métrique est statique (indépendante d’une coordonnée baptisée “temps”,t, caractérisée par gtt >0).

i) Une horloge est stationnaire au point ~r1 (les trois coordonnées autres que t ont des valeurs fixes, l’horloge n’est donc pas en chute libre, il faut une fusée ou un tabouret pour la maintenir !). Quelle est la valeur de l’intervalle de coor- données, ∆te, entre un tic et le tac suivant de cette horloge ?

ii) A l’instant t_e d’un tic, ladite horloge émet un signal (petit caillou, pomme, proton, photon. . .) re¸cu au point~r2 au temps tr. L’horloge répète exactement la même opération à l’instant t⁰_e du tac suivant, dont le signal est re¸cu en~r2 à t⁰_r. Que pouvez-vous affirmer, en argumentant, pour ce qui concerne les “durées de propagation” t_r −t_e et t⁰_r−t⁰_e? En déduire la valeur de l’intervalle ∆t_r ^df=t⁰_r−t_r entre les deux réceptions.

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L6, Relativités 5 iii) Quelle intervalle de temps ∆tréf sépare un tic et un tac d’une horloge stationnaire dans le voisinage de~r2?

iv) En déduire le rapport ∆tr/∆tréf mesuré en ~r2. Comparez avec les résultats obtenus précédemment dans le cas particulier de l’espace-temps de Schwarzschild.

VI. CHUTE LIBRE

Encore dans l’environnement d’une source sphérique, et toujours en coordonnées de Schwarzschild, on étudie une particule massive, temps propre τ, en chute libre radiale, θ(λ) et ϕ(λ) constantes. La paramétrisation affine λ est définie par ds/dλ^df=p.

1. Reprenant les équations du mouvement bien connues, quelle est la valeur de la constante J associée à ce mouvement ?

2. i) En déduire l’équation du mouvement régissant l’évolution der(λ) et l’expression de d²r/dτ² en fonction de r? Comparez avec l’équation du mouvement obtenue en théorie de Newton.

ii) Représentez l’allure de r(τ). Cette fonction présente-t-elle des singularités ? 3. On peut maintenant se demander ce qu’il en est pour r(t). Comme c’est plus

compliqu´e, on va se contenter d’une ´etude de comportement.

i) A l’aide de l’équation du mouvement régissant t(λ), déterminez l’expression de d²t/dτ² en fonction de r, dr/dτ et dt/dτ. Quelles singularités y subodorez-vous ? ii) Déterminez les comportements de dt/dτ et de dr/dτ lorsque la particule se rapproche de rg. (Pour cela vous pouvez reprendre les intégrales premières du mouvement.)

iii) En déduire le comportement de dr/dt au voisinage (supérieur) de rg, puis le comportement de r(t). Représentez l’allure de ce scénario sur un graphe (r, t).

VII. EN DIRECT

Nicolas, enthousiaste commentateur de cabrioles improbables, rend compte en direct à la radio de ses impressions durant sa chute libre vers une source de gravité nouvellement découverte. On prend les hypothèses de travail les plus simples, à savoir que la source est sphérique et que Nicolas est en chute radiale, en coordonnées de Schwarzschild. Une auditrice, stationnaire au dessus de Nicolas, constate après un temps certain que la fréquence de l’onde porteuse re¸cue rougit tellement qu’elle manifeste une tendance à s’annuler exponentiellement avec une constante de temps T ≈ 2×10⁴s. L’auditrice décide de calculer la masse de la source. Le problème est évidemment un peu plus compliqué que celui des horloges stationnaires (le coefficient de la métrique change du tic au tac).

1. L’auditrice suppose donc l’espace-temps de Schwarzschild, en coordonnées du même, mais s’empresse d’opérer un changement de coordonnées dans l’espoir

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6 MIP, Paris 7

d’obtenir des lignes d’univers du genre lumi`ere (ou radio) aussi simples qu’en espace-temps de Minkowski, tout au moins pour des photons radiaux ( !).

i) Soit la fonction de la position, r^∗(r), définie (à une constante près) par dr^∗/dr ^df= (1−r_g/r)⁻¹, et la nouvelle coordonnéeu, définie par :u ^df=t−r^∗. Quelle est la formule métrique en coordonnées (u, r, θ, φ) ?

ii) En déduire les expressions différentielles, en coordoonées (u, r), puis (t, r^∗), des lignes d’univers de photons montants et de photons descendants.

iii) Représenter sur un graphe (r^∗, t) l’allure des lignes d’univers de Nicolas, de son auditrice, d’un photon émis par Nicolas à son temps propreτ, re¸cu au tempst, et d’un photon émis à τ + ∆τ, re¸cu à t+ ∆t. Que pouvez-vous dire des valeurs de lacoordonnée u de Nicolas lorsqu’il émet et de la coordonnée u de l’auditrice lorsqu’elle re¸coit ?

iv) En déduire le rapport des fréquences re¸cue et propre, νréc/νpr, en fonction de ∆τ et ∆t, puis de (du/dτ)⁻¹ où u(τ) est la valeur de la coordonnée u de Nicolas en son temps propre τ.

v) En déduire enfin le rapport νréc/νpr en fonction de la composante Uû(τ) de la quadrivitesse de Nicolas dans la base des coordonnées.

2. Reste à déterminer le comportement de Uû(τ). Pour cela, n’oublions pas que Nicolas est aussi massif que radial.

i) Formuler de manière variationnelle le problème de la recherche de la ligne d’univers de Nicolas paramétrée par son temps propre.

ii) Déduire de l’équation de Lagrange par rapport à la coordonnéeu une intégrale première du mouvement.

iii) Comme vous vous souvenez de la valeur de U², en d´eduire une autre relation entre U^u et U^r.

iv) En d´eduire les expressions deU^u et U^r en fonctions de r, puis leurs comportements lorsque r approche (par le haut) la valeur rg.

v) En d´eduire le comportement de U^u en fonction de u.

vi) Il ne reste plus qu’à se souvenir de la relation entre intervalle de coordonnée ∆u, entre deux émissions, et intervalle de coordonnée ∆t, entre les deux réceptions correspondantes, pour en déduire u en fonction de la valeur de t lors de la réception, le comportement de Uû en fonction de t, et enfin le comportement du rapport ν_r´_ec/ν_pr en fonction de t.

viii) Calculer, en unit´es de masse solaireM_¯, la masse M du corps attracteur.

VIII. POUR SEBASTIEN

En absence de tout champ gravitationnel, dans un repère inertiel en coordonnées de Minkowski, x^α ou (t, ~x), on considère un nuage de poussières dont les lignes

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L6, Relativités 7 d’univers sont connues. En tout événement (t, ~x), on associe à ce nuage les quantités :

T_mat^α0 (t, ~x)^df=X

n

p^α_n(t)δ³¡

~

x−~x_n(t)¢ ,

T_mat^αi (t, ~x)^df=X

n

p^α_n(t)dxⁱ_n(t) dt δ³¡

~

x−~x_n(t)¢ .

1. Si le ♥vous en dit, montrez, en faisant intervenir une intégration supplémentaire sur une coordonnée de temps t⁰ moyennant l’adjonction d’une “fonction” δ de plus, que les quantités T_mat^αβ peuvent s’écrire, en dépit des apparences, comme composantes d’un tenseur. Quel nom suggérez-vous pour ce tenseur ?

2. Si le ♥ vous en dit, montrez, en écrivant les dx^β_n/dt en fonction des p^β_n et de l’énergie, que les T_mat^αβ sont, contre toute apparence, symétriques.

3. i) Calculer la tri-divergence ∂T_mat^αi /∂xⁱ.

ii) En d´eduire l’expression de la quadri-divergence ∂T_mat^αµ/∂x^µ en termes des dp^α_n/dt et de fonctions δ.

4. Quelle est la valeur de ∂_µT_mat^αµ dans le cas d’un nuage de poussi`eres libres ? 5. Quelle est la valeur de ∂µT_mat^αµ dans le cas d’un nuage de poussi`eres n’interagissant

que par chocs ?

6. Dans le cas de poussières chargées, n’ayant que des interactions électromagnétiques (ou des chocs). . .

i) Montrez, à l’aide de l’équation de Maxwell-Lorentz, que∂_µT_mat^αµ peut s’exprimer en fonction du tenseur du champ électromagnétique F^αβ, et du courant :

j^β(t, ~x)^df=X

n

qn

dx^β_n(t) dt δ³¡

~

x−~xn(t)¢ .

ii) Si le ♥ vous en dit, montrez que les j^β sont composantes d’un quadrivecteur, et que l’int´egrale de volume de sa composante temporelle est une constante du mouvement, scalaire.

iii) Montrez, à l’aide des équations de Maxwell régissant le champ créé par les charges, que les quantités F^αβj^β peuvent s’exprimer en fonction du champ et de ses dérivées premières. (Ç a dissimule un infini problème de soustraction pour des charges ponctuelles !)

iv) En d´eduire finalement, moyennant les ´equations de Maxwell et quelques astuces de calcul tensoriel, que l’on a ∂µ

= 0, avec :

T_´_em^αµ ^df=F^αβF^βµ+ ¹₄η^αµF^βγFβγ.

Les T_´_em^αµ sont-ils composantes d’un tenseur ? sont-ils sym´etriques ?

Bon app´etit !

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