Séance du Lundi 06 Avril 2020Voir VidéocorrespondanteMathématiques FinancièresProf : M. Redouaby

Séance du Lundi 06 Avril 2020

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Mathématiques Financières

Prof : M. Redouaby

2. Les annuités

Définition

Ø On appelle annuité une suite de règlements

« versements » effectués à intervalles de temps égaux

Ø La période est l’intervalle de temps entre deux règlements consécutifs

Ø Si les versements sont égaux, on parle d’annuité constante

Ø

Si la période est différente de l’année,

on parle de semestrialités, mensualités…

Attention

Lorsqu’on parle de semestrialités, mensualités, etc., il faut utiliser les taux d’intérêts équivalents appropriés

2. Les annuités

Ø On considère une suite de n versements

A

effectués aux époques k. Soit i le taux d’intérêt correspondant à la période. Sur un axe de temps, on peut représenter la succession des versements de la manière suivante :

A_n i

0 1 2 3 n

A₃ A₂

A₁ ^…….

…….

2. Les annuités

Définition ^{« à retenir »}

A_n i

0 1 2 3 n

A₃ A₂

A₁ ^…….

…….

V

V

Ø

V

Ø

V

a)

Valeur acquise

« Constitution d’un capital »

Valeur acquise : Elle se calcule à la date du

dernier versement : c’est la somme capitalisée des n versements

Le tableau suivant donne la valeur acquise de chaque versement à la date n :

versements date

Nombre de périodes restantes

Valeurs acquises

A_{1 1 n-1} A₁ (1+i)^n-1 A_{2 2 n-2} A₂ (1+i)^n-2

A_{3 3 n-3}

A₃ (1+i)^n-3

.

. .

.

. .

. .

A_k ^{k n-k} A_k (1+i)^n-k

.

. .

.

. .

. .

A_n ^{n 0} A_n

Ø La valeur acquise

V

k

) n

i 1 A

A

(

1 k

V _å

^-

=

a)

Valeur acquise

« formule à retenir »

Exemple

On verse 1000 ^DH le 01/5/2004, puis 2000 ^DH le 01/5/2005 et 3000 ^DH le 01/5/2006.

Ø Quelle est la valeur acquise de ces trois versements au taux annuel i = 8% ?

40 ,

6326 3000

08 ,

1 2000 08

, 1

1000

V

⁼

⁺

⁺

A₁ ⁼ 1000 A₂ ⁼ 2000 A₃ ⁼ 3000

2004

V

2005 2006

0=2003

Valeur actuelle : Elle se calcule à la date 0 : c’est la somme actualisée des n versements Le tableau suivant donne la valeur actuelle de chaque versement à la date 0 :

b)

Valeur actuelle

« Remboursement d’une dette »

versement date

Nombre de périodes précédentes

Valeurs actualisées

A₁ ^{1 1} A₁ (1+i)^-1

A₂ ^{2 2} A₂ (1+i)^-2

A₃ ^{3 3}

A₃ (1+i)^-3 .

.

. .

. .

. .

A_k ^{k k} A_k (1+i)^-k

. .

. .

. .

. .

A_n ^{n n}

A_n (1+i)^-n

b) Valeur actuelle

) k

i 1 ( a A

n 1 k

V _å

^-

=

Ø La valeur actuelle

V

« formule à retenir »

Exemple

Ø Calculer la valeur actualisée des trois versements précédents :

« 1000 DH le 01/5/2004, puis 2000 DH le 01/5/2005 et 3000 DH le 01/5/2006 au taux annuel i = 8% »

C’est-à-dire :

3 1 2

08 ,

1 3000 08

, 1 2000 08

, 1

a

1000

V ⁼

⁺

⁺

A₁ ⁼ 1000 A₂ ⁼ 2000 A₃ ⁼ 3000

2004

V

2005 2006

0=2003

a

5022 , 1

V

Remarque

On vérifie que :

et

Dans notre exemple :

08

, 1 4 , 6326 1

, 5022

V

^{= =}

)

i 1 ( V

V

+ -

= n

) i 1 ( V

V

A = +

0 n

V

V

1 2 …….

Exercices d’application

Voir

« S érie d’exercices corrigés »