Mathématiques Financières Prof : M. Redouaby Séance du Lundi 11 Mai 2020 Chapitre 4 Les Emprunts Indivis - Suite

(1)

Mathématiques Financières

Prof : M. Redouaby

Séance du Lundi 11 Mai 2020

C ^{hapitre 4}

Les Emprunts Indivis - Suite

(2)

Etude de Cas

Exemple 1

de Tableau d’amortissement

Cas général :

Les annuités sont différentes

(3)

Exemple

Période Capital dû

en début de période

Intérêt

de la période

Amortissement

de la période Annuité

de la période

1 D₀ = ? ? ? 5000

2 ? ? ? 4000

3 ? ? ? 3000

4 ? ? ? 2000

5 ? ? ? 1000

Compléter ce Tableau d’amortissement sachant que le taux d’intérêt i = 10%

(4)

Corrigé

On commence par calculer le montant D

₀

de l’emprunt :

5000 4000 3000 2000 1000

D₀⁼V_a D₀⁼

?

10%

0 1 2 3 4 5

le montant D₀ de l’emprunt est égal à la valeur actuelle « à la Date 0 » des 5 annuités

(5)

Ainsi

D

₀ ⁼ ⁵⁰⁰⁰ ^x

1,1

^-1 ⁺ ⁴⁰⁰⁰ ^x^1,1^{- 2}⁺ ³⁰⁰⁰ ^x^1,1^{- 3}

+ 2000 ^x1,1^{- 4}+ 1000 ^x1,1^{- 5}= 12092,13

le montant D₀ de l’emprunt est égal à la valeur actuelle « à la Date 0 » des 5 annuités

Ainsi, le montant de l’emprunt est

12092,13

(6)

On peut déjà calculer le coût de cet emprunt :

Remarque Importante

Coût

⁼

Somme des annuités – D

₀

Coût =(5000+4000+3000+2000+1000)–12092,13

Coût

^{= 2907,87} ^DH

(7)

On complète le Tableau d’Amortissement de proche en proche, c’est-à-dire ligne par

ligne : on commence par compléter la 1

^ère

ligne, ensuite on complète la 2

^ème

ligne,

jusqu’à la dernière ligne.

Comment compléter le Tableau

d’Amortissement ?

(8)

1)

1

^ère

ligne :

Le capital dû en début de la 1^ère période est :

Pendant la 1^ère période, cette somme produit un intérêt en DH, égal à :

12092,13

D

0

⁼

Ainsi, pour notre exemple :

1209,21 0,1

12092,13 i

D

I

₁

=

₀^´

=

^´

=

Intérêt de la 1

^ère

période

(9)

L’annuité fin de la 1

^ère

période est :

A

₁

= 5000

^DH

,

de sorte que l’amortissement en

^DH

de cette première période est :

3790,79

1209,21 5000

I A

M

₁

=

₁^- ₁

= - =

Amortissement de la 1

^ère

période

(10)

2)

2

^ème

ligne :

Le capital dû en début de la 2^ème période est :

Pendant la

2

^ème ^période, cette somme produit un intérêt en DH, égal à :

On a ainsi complété la 1

^ère

ligne, on passe alors à la 2

^ème

ligne :

8301,34 3790,79

12092,13 M

D

₁

=

₀

-

₁

= - =

830,13

0,1 8301,34

i D

I

₂

=

₁^´

=

^´

=

Intérêt de la 2

^ème

période

(11)

L’annuité fin de la 2

^ème

période est :

A

₂

= 4000

^DH

,

de sorte que l’amortissement en

^DH

de cette 2

^ème

période est :

3169,87

830,13 4000

I A

M

₂

=

₂^- ₂

= - =

Amortissement de la 2

^ème

période

(12)

Période Capital dû

en début de période

Intérêt

de la période

Amortissement

de la période Annuité

de la période

1 12092,13 1209,21 3790,79 5000 2 ^8301,34 ^830,13 ^3169,87 4000 3 ^5131,47 ^513,15 ^2486,85 3000 4 ^2644,62 ^264,46 ^1735,54 2000 5 ^909,08 ^90,91 ^909,09 1000

En répétant ce qu’on a fait pour la 2

^ème

période, on complète ligne par ligne et

on obtient le Tableau suivant :

(13)

1)

Somme empruntée

« Rappel : Chapitre 3 (annuités) »

C’est la somme actualisée des 5 versements : k

k 5

1

0 k

A (1 i)

D

^-

=

å +

=

Remarques

5 5

2 2

1 1

0

A (1 i) A (1 i) A (1 i)

D =

⁺ ^-

+

⁺ ^-

+ ... +

⁺ ^-

(14)

1)

Somme empruntée

Remarques

D

₀ ⁼

⁵⁰⁰⁰

^x

^1,1

^-1⁺

⁴⁰⁰⁰

^x

^1,1

^{- 2}⁺

³⁰⁰⁰

^x

^1,1

^{- 3}

+

2000

^x

1,1

^{- 4} ⁺

1000

^x

1,1

^{- 5} ⁼

12092,13

(15)

Remarques

2)

Coût de l’emprunt

Ø La somme totale remboursée est la somme de toutes les annuités (versements) :

A

₁ ⁺

A

₂ ^{+ …+}

A

₅

La somme empruntée au début est

D

₀

Le coût

de l’emprunt est donc :

C

⁼

A

₁ ⁺

A

₂ ^{+ …+}

A

₅^–

D

₀

= 2907,87

Dans notre exemple

(16)

Remarques

2)

Coût de l’emprunt

Ø

On peut également faire la somme des intérêts (somme de la colonne intérêts) :

Le coût

C

⁼

I

₁ ⁺

I

₂ ⁺

I

₃ ⁺

I

₄ ⁺

I

₅

= 1209,21 ⁺ 830,13 ⁺ 513,15 ⁺ 264,46 ⁺90,91

= 2907,86

Remarque : la différence entre les deux valeurs trouvées est due aux erreurs d’arrondi

(17)

Remarques

3)

Somme des amortissements

Ø La somme des amortissements est égale à la somme empruntée au début

D

₀ ^:

D

₀ ⁼

M

₁ ⁺

M

₂ ^{+ …+}

M

₅

En effet, dans notre exemple :

D

₀ ⁼

M

₁ ⁺

M

₂ ⁺

M

₃ ⁺

M

₄ ⁺

M

₅

= 3790,79 ⁺ 3169,87 ⁺ 2486,85 ⁺ 1735,54 ⁺909,09

= 12092,14

(18)

L es remarques précédentes concernant :

1.

La somme empruntée « montant de l’emprunt »

2.

Le coût de l’emprunt

3.

La somme des amortissements

sont toujours vraies

A retenir

(19)

1) Somme empruntée

ou montant de l’emprunt D

₀

« Rappel : voir Chapitre 3 (annuités) »

Ø C’est la somme actualisée des n versements :

A retenir

n 1

k

A (1 ) A (1 )

) (1

A

D

ⁿ _k

ⁱ

₁

ⁱ

_n

ⁱ

1 0 k

+ - + -

+ -

= + +

= å

=

...

(20)

2)

Coût de l’emprunt

Ø La somme totale remboursée est la somme de toutes les annuités (versements) :

A

₁ ⁺

A

₂ ^{+ …+}

A

_n

Ø La somme empruntée au début est

D

₀

Le coût

C

⁼

(A

₁ ⁺

A

₂ ^{+ …+}

A

_n

)

^–

D

₀

A retenir

(21)

2)

Coût de l’emprunt

Ø On peut également faire la somme des intérêts (somme de la colonne intérêts) :

Le coût

de l’emprunt est donné par :

C

⁼

I

₁ ⁺

I

₂ ⁺ ^……+

I

_n

A retenir

(22)

3)

Somme des amortissements

Ø

L

^{a somme} des amortissements (somme de la colonne amortissements) est égale à

la somme empruntée au début

D

₀ ^:

D

₀ ⁼

M

₁ ⁺

M

₂ ^{+ …+}

M

_n

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