Séance du Lundi 13 Avril 2020Voir VidéocorrespondanteMathématiques FinancièresProf : M. Redouaby

(1)

Séance du Lundi 13 Avril 2020

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Mathématiques Financières

Prof : M. Redouaby

(2)

Rappel

A_n i

0 1 2 3 n

A₃ A₂

A₁ ^…….

…….

V_a V_A

Ø V_a ^{: est} la valeur actuelle de l’ensemble des n versements à la date 0

Ø V_A ^{: est} la valeur acquise de l’ensemble des n versements à la date du dernier

(3)

Ø La valeur acquise V_A est donc donnée par :

k

)n

i 1 A ⁿ

A

^k(

1 k

V _å

⁺ ^-

= =

a) Valeur acquise

« formule à retenir »

(4)

b)

Valeur actuelle

)

k

i 1 ( a A

^k

n 1 k

V _å

⁺ ^-

= =

Ø La valeur actuelle V_a est donc donnée par :

« formule à retenir »

(5)

Ø Quelque soit k^{, on a :}

A

_k ⁼

a

, on a alors :

3. Cas particulier des annuités constantes

k n

k

A ⁿ

(1 i)

ⁿ

(1 i)

1 k 1

k

+ - - ´

+

å

= =

=

= a

(6)

) i)

(1 i)

(1 1

(

^´ ⁺ ⁿ^-¹⁺ ⁺ ⁿ^-² ⁺^...⁺ ⁺ ⁺

=

) i)

(1 i)

(1

² ^... ⁿ ¹

(1

^´ ⁺ ⁺ ⁺ ⁺ ⁺ ⁺ ⁺ ^-

=

Somme des n premiers termes de la suite géométrique de premier terme u₁ ⁼1 ^{et de}

raison k ⁼1⁺i

(7)

Rappel

^–

C

^hapitre

1

Propriété 3 - suites géométriques

3) ;

1 n

2

p 1 )u

1 k

(k u

u u

u ^... _n ¹

n p

1

p -

= - +

+ +

å

⁼⁼ =

« somme des n premiers termes en fonction de la raison k et du premier terme »

u1

(8)

n -

´ +

Ainsi

(9)

Ø La valeur acquise est donnée par la formule :

3.

Cas particulier

« annuités constantes »

i

a ⁽ ¹ ⁺ i ⁾ ^- ¹

=

^´

n

A

(10)

Remarque

On peut calculer la valeur actuelle directement à partir de la valeur acquise calculée

précédemment : n n n

A (1 i)

i

1 )

i 1 ) (

i 1

a

V

(

a

V

⁼ ^´ ⁺ ^- ⁼ ^´ ⁺ ^- ^´ ⁺ ^-

i ) i 1 (

1 ⁿ

a

+ -

= ´ -

(11)

Ø La valeur actuelle est donnée par la formule :

3.

Cas particulier

« annuités constantes »

i

a i

n a

) -

1 (

1 ^- ⁺

=

^´

(12)

Remarques

1) Les deux formules précédentes doivent êtres

homogènes

^: ⁱ ^et ⁿ

(13)

Remarques

2)

Les deux formules

précédentes comportent chacune quatre inconnues (variables), la connaissance de trois variables permet de calculer la quatrième

(sauf pour i … voir série d’exercices corrigés)

(14)

Remarques

= ´

= A a

3)

Supposons i = 0 ^:

il est évident dans ce cas que :

(15)

Remarques

D’autre part, on remarque que l’on a :

3)

Cas i = 0 ^:

a n

i a i

i

^´

- + =

^´

®

÷÷

ø ö

çç çç çç çç

è

æ n

Lim

-

) 1

( 1

0

Indication : Règle de l’Hospital

(16)

Remarques

Et également :

3)

Cas i = 0 ^:

a n

i a i

i

^´

+ - =

^´

®

÷÷

ø ö

çç çç çç çç

è æ

1 )

1 ( 0

n

Lim

Indication : Règle de l’Hospital

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