Porteur exercices variables aléatoires

(1)

Porteur exercices variables aléatoires

Exercice 1

Une entreprise produit des rondelles métalliques. Ces rondelles peuvent présenter deux défauts : un défaut de diamètre ou un défaut d'épaisseur.

Le pourcentage des pièces présentant uniquement un défaut de diamètre est de 1 %, et celui des pièces présentant uniquement un défaut d'épaisseur est de3 %.

Le pourcentage des pièces présentant les deux défauts est de5 %.

Soit X la variable aléatoire qui à toute pièce de cette production prise au hasard compte le nombre de défauts observés sur la pièce.

1) Combien de défauts peut posséder une rondelle de cette production ? 2) Quelles sont les valeurs possibles prises par X?

3) Donner sous la forme d'un tableau la loi de probabilité de la variable aléatoireX.

Corrigé

1) Une rondelle de cette production peut avoir aucun défaut, un seul défaut ou deux défauts au maximum.

2) Par 1)X ∈ {0 ; 1 ; 2}.

3) D'après l'énoncé, il y a 5 % des pièces qui présentent les 2 défauts, donc, pour X = 2, on a P(X = 2) = 0,05.

Il y a 1 % des pièces qui présentent un défaut de diamètre seulement et 3 % des pièces qui ont un défaut d'épaisseur seulement, donc, pourX = 1, on aP(X = 1) = 0,04.

Le reste des pièces n'a aucun défaut, soit 91 %, c'est à direP(X = 0) = 0,91.

Variable X 0 1 2

Probabilité P(X =k) 0,91 0,04 0,05

(2)

Exercice 2

Dans un devoir, un des exercice est un QCM avec trois questions.

Pour chaque question, il y a trois réponses proposées et une seule est correcte.

Arnaud n'a pas du tout appris son cours et décide de répondre totalement au hasard à toutes les questions.

On note C l'évènement La réponse donnée par Arnaud est correcte . 1) Quelle est la probabilité que la première réponse

soit correcte ?

Quelle est la probabilité que la première réponse soit fausse ?

2) Compléter l' arbre de la situation (avec les trois questions).

3) Le barème est le suivant : +1 pour une réponse correcte ; −0,5 pour une réponse fausse. Le total est ramené à0 pour une somme négative.

On noteX la variable aléatoire qui compte le total de l'exercice.

a) Sachant qu'Arnaud a répondu à toutes les questions au hasard, donner les valeurs possibles pourX. (on nira de compléter l'arbre donné) b) En déduire la loi de probabilité deX.

c) Calculer l'espérance deX. Interpréter cette valeur.

C C

C

C C

issue valeur de X

CCC 3

CCC 1,5

... ...

Corrigé

Lycée du Bois d'Amour - Poitiers

(3)

3

La probabilité que la première réponse soit fausse estP(C) = 1− 1

3 = 2 3 2) Voir ci-contre :

3)a) Voir ci-contre

b) On en déduit la loi de probabilité suivante :

Variable X 0 1,5 3

Probabilité P(X =k) 20/27 6/27 1/27 c) On a : E(X) = 0×20

27 + 1,5× 6

27+ 3× 1 27 Donc, E(X) = 12

27 = 4 9. On a 4

9 ≈ 0,44, autrement dit, en cochant au hasard, il obtiendra en moyenne 0,44 /3 à ce QCM.

C C

C

C C

issue valeur de X

CCC 3

CCC 1,5 CCC 1,5

CCC 0

CCC 1,5

CCC 0

(4)

Exercice 3

On tire au hasard une boule de l'urne ci-contre.

1) Calculer les probabilités des évènements suivants :

• J : "Tirer une boule jaune"

• B : "Tirer une boule bleue"

• R : "Tirer une boule rouge"

• V : "Tirer une boule verte"

2) Avec cette urne, on joue au jeu suivant.

• Si on tire une boule verte, on gagne 10 points.

• Si on tire une boule bleue, on gagne 2 points.

• Si on tire une boule rouge ou jaune, on gagne 3 points.

On note X la variable aléatoire qui associe à chaque tirage le nombre de points obtenus. Déterminer la loi de probabilité deX.

3) Reprendre la question précédente si on tire deux boules successivement avec remise dans l'urne.

4) Reprendre la question précédente si on tire deux boules successivement sans remise dans l'urne.

Corrigé 1) On a P(J) = 2

9 ;P(R) = 3 9 = 1

3 ; P(B) = 1

3 etP(V) = 1 9 2) D'après l'énoncéX ∈ {2 ; 3 ; 10}.

On a P(X = 2) =P(B) = 1

3,P(X = 10) =P(V) = 1

9 et P(X = 2) =P(J) +P(R) = 2 9+ 3

9 = 5 9. D'où la loi de probabilité :

Variable X 2 3 10

Probabilité P(X =k) 5/9 1/3 1/9

3) Si on tire successivement 2 boules, avec remise, peut obtenir les évènements suivants :

(J; J) (soit 6 points) (J; R) (soit 6 points) (J; B) (soit 5 points) (J; V) (soit 13 points) OU(R; R) (soit 6 points) (R; J) (soit 6 points) (R; B) (soit 5 points) (R; V) (soit 13 points) OU(B;B)(soit 4 points) (B; R)(soit 5 points) (B; J)(soit 5 points) (B; V) (soit 12 points) OU(V ; V)(soit 20 points) (V ; R)(soit 13 points) (V ; J)(soit 13 points) (V ; B)(soit 12 points) Autrement dit, X ∈ {4 ; 5 ; 6 ; 12 ; 13 ; 20}.

On a P(X = 4) =P(B,B) =

1

3 2

= 1 9

P(X = 5) =P(J; B) +P(R; B) +P(B; J) +P(B;R) = 2 9 × 1

3+ 1 3× 1

3+ 1 3× 2

9 +1 3 ×1

3 = 10 27 Lycée du Bois d'Amour - Poitiers

(5)

P(X = 12) =P(B; V) +P(V ; B) = 1 3 × 1

9+ 1 9× 1

3 = 2 27 P(X = 13) =P(J; V) +P(R; V) +P(V ;R) +P(V ; J) = 2

9× 1 9+ 1

3× 1 9 +1

9 ×1 3 +1

9 × 2 9 = 10

81 P(X = 20) =P(V ; V) = 1

9× 1 9 = 1

81 On en déduit la loi de probabilité suivante :

Variable X 4 5 6 12 13 20

Probabilité P(X =k) 1/9 1/3 25/81 2/27 10/81 1/81

4) En faisant le même raisonnement, mais en faisant bien attention au fait qu'il n'y a pas de remise (donc on enlève des cas et on change les probas de la 2ème étape.

On en déduit la loi de probabilité suivante :

Variable X 4 5 6 12 13

Probabilité P(X =k) 1/12 5/12 5/18 1/12 5/36

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Exercice 4

Un sac contient 26 jetons marqués avec les 26 lettres de l'alphabet. On tire un premier jeton, puis un second jeton sans remettre le premier dans le sac.

On gagne 5 e par voyelle tirée et on perd 1 e par consonne tirée.

Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire égale au gain du joueur.

Corrigé

On poseC l'évènement la lettre est une consonne , on a l'arbre suivant :

C C

issue valeur de X

CC −2

CC 4

CC 10

On en déduit la loi de probabilité suivante :

Variable X -2 4 10

Probabilité P(X =k) 38/65 24/65 3/65 Par exemple,P(X =−2) = 20

26 ×19 25 = 38

65

(7)

On lance deux dés cubiques dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Les dés sont supposés équilibrés.

On s'intéresse à la variable aléatoire X donnant la somme des chires obtenus.

1) Quelles sont les valeurs possibles pour la variable X? Donner la loi de probabilité de X.

Variable X Probabilité P(X =k)

Indice : Construire un tableau double entrée (puisqu'on lance deux dés) permettant de lister toutes les issues possibles et écrire la somme obtenue avec les deux dés lancés à l'intersection de chaque ligne et colonne.

2) Donner l'espérance de la variable X. Comment l'interpréter ?

Corrigé

1) On a le tableau à double entrée suivant :

HH H

HH HH

HH

dé2

dé1 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

On en déduit alors, par une simple lecture du tableau précédent :

Variable X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Probabilité P(X =k) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

2) On a :E(X) = 2× 1

36+3× 2

36+4× 3

36+5× 4

36+6× 6

36+7× 6

36+8× 5

36+9× 4

36+10× 3

36+11× 2

36+12× 1 36 Donc,E(X) = 252

36 = 7.

Si on répète cette expérience un grand nombre de fois, on obtiendra en moyenne la valeur 7.

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Exercice 6

On te propose le jeu suivant : Etape 1 : Tu mises 1 e.

Etape 2 : On choisit au hasard un nombre entre 1 et 25 et on fait la somme de ses chires.

Etape 3 : Si la somme des chires est supérieure à 7, on te donne 2 e sinon on ne te donne rien.

Le jeu est-il équitable ?

Attention, faites bien le bilan du joueur entre avant et après le jeu...

Corrigé

Il faut déterminer si l'espérance de la variable aléatoire associée au gain algébrique du joueur, est égale à 0.

On pose : X la variable aléatoire qui donne le gain algébrique du joueur, on a X = 1 ou X = −1 (il ne faut pas oublier que la mise est donnée au début, donc, pas récupérée....)

On a P(X = −1) = 17

25 (situation réalisée pour les valeurs 1 ;2 ;3 ;4 ;5 ;6 ;10 ;11 ;12 ;13 ;14 ;15 ;20 ;21 ;22 ;23 et 24)

On aP(X = 1) = 8

25 (situation réalisée pour les valeurs 7 ;8 ;9 ;16 ;17 ;18 ;19 et 25) On en déduit l'espérance :E(X) = −17

25+ 8

25 =− 9

25 < 0, donc ce jeu n'est pas équitable mais défavorable au joueur....