Lyc´ee Benjamin Franklin TS, PTSI−2013-2014
L. Gomes, D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚12
Fonctions homographiques et suites r´ ecurrentes
Exercice 104 (´Etude d’une suite r´ecurrente d´ependant d’un param`etre) Pour toutn∈N∗, on d´efinit la fonctionfn par :
fn: [0,+∞[→R; x7→ n x+ 1 x+ 2n. 1. On fixe ici un entier natureln0sup´erieur ou ´egal `a 2.
(a) Montrer que l’´equation
fn0(x) =x
d’inconnue x∈[0,+∞[ poss`ede une unique solution. On noteraαn0 cette derni`ere et on en donnera une expression en fonction den0.
(b) D´emontrer que pour toutx∈[0,+∞[, pour touty∈[0,+∞[ :
|fn0(x)−fn0(y)| ≤ 1
2 |x−y|.
(c) Soit (um)m∈Nla suite d´efinie paru0∈[0,+∞[ et la relation de r´ecurrenceum+1 =fn0(um) valable pour toutm∈N.
i. Justifier que :
|um+1−αn0| ≤ 1
2 |um−αn0| pour toutm∈N.
ii. En d´eduire, `a l’aide d’un raisonnement par r´ecurrence, que :
|um−αn0| ≤
1
2
m
|u0−αn0|
pour toutm∈N.
iii. Conclure quant au comportement asymptotique de la suite (um)m∈N. (d) Les r´esultats
α4=√
5−2 ; 212= 4096 ; √
5<3
´etant donn´es, d´eduire de ce qui pr´ec`ede un algorithme qui retourne une valeur approch´ee rationnelle de√
5 avec une erreur inf´erieure `a 0,001.
2. On fixe ici un nombre r´eelxpositif ou nul. On note (xn)n∈N la suite d´efinie parxn =fn(x) pour tout n∈N∗.
(a) ´Etudier le sens de variation de la suite (xn)n∈N∗. On distinguera plusieurs cas.
(b) D´eterminer le comportement asymptotique de la suite (xn)n∈N∗.
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