Feuille d’exercices n°12 Calcul de primitives

(1)

Lycée Benjamin Franklin PTSI−2014-2015

D. Blottière Mathématiques

Feuille d’exercices n°12 Calcul de primitives

Exercice 105

On fixe un repère orthonormé (O;−→ i ,−→

j) du plan. L’unité d’aire est donnée par l’aire du carré de côtéOI oùI est l’unique point du plan tel que−→

OI=→− i . 1. SoitI:=

Z₃

1 1+2x d x.

(a) Justifier l’existence deI.

(b) Reconnaître la courbe représentative de la fonction

¯

f : [1, 3] → R

x 7→ 1+2x.

(c) En déduire un calcul deIpar voie géométrique.

(d) Vérifier le résultat de la question précédente par voie algébrique.

2. SoitJ:=

Z1 0

p

1−x²d x.

(a) Justifier l’existence deJ.

(b) Reconnaître la courbe représentative de la fonction

¯

f : [0, 1] → R

x 7→ p

1−x². (c) En déduire un calcul deJpar voie géométrique.

(d) Vérifier le résultat de la question précédente par voie algébrique, à l’aide du changement de variable x=cos(t).

Exercice 106

1. Calculer toutes les primitives de Arctan surR. 2. Calculer toutes les primitives de Arcsin sur ]−1, 1[.

Exercice 107

Pour toutn∈N, on définit la fonctionfnpar

¯

fn : R → R

x 7→ xⁿe^x. 1. Calculer une primitive def1surR.

2. Calculer une primitive def2surR.

3. Proposer une démarche pour calculer une primitive defn de proche en proche, pour toutn∈N. On demande d’exposer une méthode, pas de la mettre en œuvre.

(2)

Exercice 108

Soit (a,b,c)∈R^∗×R×R. On introduit le trinôme du second degréP:=aX²+bX+cet on note∆:=b²−4acson discriminant. On expose une méthode pour déterminer une primitive de la fonction

x7→ 1

ax²+bx+c

sur un intervalleIdeRsur lequel cette fonction est définie (i.e. sur un intervalle deRqui ne contient aucune racine deP). On distingue 3 cas.

• Cas où P possède deux racines réelles distinctes (i.e.∆>0)

Dans ce cas, si on noter1etr2les deux racines réelles deP, le calcul de la forme canonique deP, permet d’écrirePsous la forme

P=a(X−r1)(X−r2).

On peut alors déterminer deux constantes réellesα1etα2telles que pour toutx∈I: 1

ax²+bx+c= 1

a(x−r1)(x−r2)=1 a

µ α1

x−r1+ α2

x−r2

¶ .

En utilisant l’expression de droite dans la précédente égalité, on peut alors calculer une primitive de x7→_ax2+bx+c¹ surI(cf. primitive d’une fonction « du type » ^u_u^′).

• Cas où P possède une racine réelle double (i.e.∆=0)

Dans ce cas, si on noterla racine réelle deP, le calcul de la forme canonique deP, permet d’écrireP sous la forme

P=a(X−r)². On a donc pour toutt∈I

1

ax²+bx+c= 1 a(x−r)²=1

a 1 (x−r)².

En utilisant l’expression de droite dans la précédente égalité, on peut alors calculer une primitive de x7→_ax2+bx+c¹ surI(cf. primitive d’une fonction du « type » u^′×u^α, avecα6= −1).

.

• Cas où P ne possède aucune racine réelle (i.e.∆<0)

Dans ce cas, le calcul de la forme canonique dePpermet d’écrirePsous la forme P=a¡

(X+α)²+β¢ o˘α∈Retβ∈]0,+∞[. On a donc pour toutx∈†I:

1

ax²+bx+c = 1 a¡

(x+α)²+β¢= 1 aβ

1 µ

xp+α β

¶2

+1 .

En utilisant l’expression de droite dans la précédente égalité, on peut alors calculer une primitive de x7→_ax2+¹bx+csurI(cf. primitive d’une fonction du « type » u^′×Arctan^′(u)).

Appliquer cette méthode pour répondre aux trois questions suivantes.

1. Déterminer une primitive de la fonction

f:x7→ 1 4x²−12x+9 sur tout intervalle réelIsur lequel la fonctionf est bien définie.

(3)

g:x7→ 1 x²−4x+8 sur tout intervalle réelIsur lequel la fonctiongest bien définie.

h:x7→ 1 3x²−2x−5 sur tout intervalle réelIsur lequel la fonctionhest bien définie.

Exercice 109

Rappel : La notion de dérivabilité pour une fonction de la variable réelle à valeurs complexes et la notion de dérivée d’une fonction de la variable réelle à valeurs complexes dérivable ont toutes deux été définies dans l’exerice 104.

1. SoitI un intervalle deRet soitf :I→Cune fonction dérivable surI. Soitλun nombre complexe de forme algébriqueλ=r+i s, où (r,s)∈R². On noteλf la fonction définie par

¯

λf : I → C x 7→ λf(x).

(a) Montrer queλf est dérivable surI.

(b) Montrer que pour toutx∈I, (λf)^′(x)=λf^′(x).

2. Soit (α,β)∈R²\ {(0, 0)}.

(a) Soit l’application

¯

g : R → R

x 7→ e^αxcos(βx).

Déduire de l’exercice 104 et de la question 1. qu’une primitive degest donnée par la fonction

¯

G : R → R

x 7→ Re

µ 1

α+iβe^(α⁺^iβ)x

¶ . (b) Soit l’application

¯

h : R → R

x 7→ e^αxsin(βx).

Déduire de l’exercice 104 et de la question 1. qu’une primitive dehest donnée par la fonction

¯

H : R → R

x 7→ Im

µ 1

α+iβe^(α⁺^iβ)x

¶ . 3. (a) Déterminer toutes les primitives de la fonction

¯

f1 : R → R

x 7→ e⁻^xcos(2x).

surR.

(b) Déterminer toutes les primitives de la fonction

¯

f2 : R → R

x 7→ e^3xsin(x).

surR.

(4)

Exercice 110

1. Déterminer toutes les primitives surRde

¯

f1 : R → R

x 7→ th(x).

2. Déterminer toutes les primitives sur ]−1, 1[ de

¯

f2 : ]−1, 1[ → R

x 7→ 1−2x

p1−x². 3. Déterminer toutes les primitives surRde

¯

f3 : R → R

x 7→ cos⁴(x).

¯

f4 : R → R

x 7→ 1

x²+x+1. 5. Déterminer toutes les primitives surRde

¯

f5 : R → R

x 7→ cos(x) sin⁵(x).

¯

f6 : R → R

x 7→ 1

ch(x). 7. Déterminer toutes les primitives surRde

¯

f7 : R → R

x 7→ x+1 x²+1. 8. Déterminer toutes les primitives sur ]0,+∞[ de

¯

f8 : ]0,+∞[ → R

x 7→ e^p^x px. 9. Déterminer toutes les primitives surRde

¯

f9 : R → R

x 7→ sin²(x).

10. Déterminer toutes les primitives sur ]0,+∞[ de

¯

f10 : ]0,+∞[ → R

x 7→ p

x+1 x.

(5)

¯

f11 : ]0,+∞[ → R

x 7→ ln²(x) x . 12. Déterminer toutes les primitives sur ]0,+∞[ de

¯

f12 : ]0,+∞[ → R

x 7→ Arctan

µ1 x

¶ . 13. Déterminer toutes les primitives surRde

¯

f13 : R → R

x 7→ e^xsin(5x).

¯

f14 : ]1,+∞[ → R

x 7→ 1

x²−1. 15. Déterminer toutes les primitives surRde

¯

f15 : R → R

x 7→ e^x 1+e^x. 16. Déterminer toutes les primitives sur ]0, 1[ de

¯

f16 : ]0, 1[ → R

x 7→ 1

xln(x). 17. Déterminer toutes les primitives surRde

¯

f17 : R → R

x 7→ x²e^−x. 18. Déterminer toutes les primitives suri

0,π 2 h

de

¯

f18 : i 0,π

2 h

→ R

x 7→ 1

tan(x). 19. Déterminer toutes les primitives sur ]0, 1[ de

¯

f19 : ]0, 1[ → R

x 7→

r x

1−x³. 20. Déterminer toutes les primitives surRde

¯

f20 : R → R

x 7→ sin(2x) 2+cos(x).