Bonjour à tous !
J’espère que vous allez tous bien...
Pour poursuivre notre mise au point en algèbre, je vous propose cette semaine des exercices sur les équations. Il s’agit encore de points de matière dont vous aurez tous besoin pendant les années à venir. Je vous propose de me renvoyer (par mail [email protected]) vos réponses pour ce dimanche 7/6.
Bon travail et bonne semaine à tous !
Mise au point sur les équations
Rappels :
a) Qu’est-ce que c’est ?
Une équation est une égalité où les valeurs d'un ou de plusieurs nombres sont inconnues. Ces valeurs inconnues sont remplacées par des lettres.
Par exemple, 𝑥 + 2 = 6𝑥 + 27 est une équation. L'inconnue est 𝑥.
Résoudre une équation d'inconnue 𝑥, c'est déterminer toutes les valeurs de 𝑥 (si elles existent) pour lesquelles l’égalité est vraie. Chacune de ces valeurs est appelée une solution de l'équation.
Par exemple, pour l’équation 𝑥 + 2 = 6𝑥 + 27, 𝑥 = −5 est solution car, lorsqu’on remplace 𝑥 par
−5 dans l’égalité, celle-ci est vraie : −5 + 2 = 6. (−5) + 27 (= −3). Par contre, pour cette même équation, 𝑥 = 1 n’est pas solution de cette équation car, lorsqu’on remplace 𝑥 par 1, l’égalité est fausse : 1 + 2 ≠ 6.1 + 27.
b) Equations particulières :
• Equation impossible : C’est une équation qui n’est jamais vraie et donc qui n’a aucune solution.
Par exemple : 0x=100=10S=O (ensemble vide)
• Equation indéterminée : C’est une équation qui est toujours vraie (quelle que soit la valeur de 𝑥) et donc qui a une infinité de solutions.
Par exemple : 0x=00=0S = (ensemble des réels) c) Principes d’équivalence :
• Principe d’addition : Tout terme qui change de membre change de signe.
Par exemple : 𝑥 + 3 = 0 ⟺ 𝑥 = −3 donc 𝑆 = {−3}
• Principe de multiplication : Tout facteur non nul qui change de membre devient diviseur et inversement.
Par exemple : 2𝑥 = 6 ⟺ 𝑥 = 6
2 = 3 donc 𝑆 = {3}
d) Equations du 1er degré :
Il suffit d’isoler l’inconnue en utilisant les principes d’équivalence rappelés ci-dessus.
Par exemple : 2𝑥 − 7 = 5𝑥 + 3 ⟺ 2𝑥 − 5𝑥 = 3 + 7 ⟺ −3𝑥 = 10 ⟺ 𝑥 = −10
3 donc 𝑆 = {−10
3 } e) Equations produit nul :
C’est une équation qui s’écrit sous la forme : 1er facteur . 2e facteur = 0. Il faut annuler séparément chacun des facteurs.
Par exemple : 𝑥. (𝑥 − 2) = 0 𝑥 = 0 ou 𝑥 − 2 = 0
𝑥 = 2 𝑆 = {0; 2}
Remarque : Une équation qui ne l’est pas au départ peut être transformée en une équation produit nul en mettant tout dans un membre et en le factorisant.
Par exemple : 𝑥2= 1 ⟺ 𝑥2− 1 = 0 ⟺ (𝑥 − 1). (𝑥 + 1) = 0 𝑥 = 1 ou 𝑥 = −1 𝑆 = {−1; 1}
f) Equations du 2e degré :
Pour trouver les solutions de l’équation du second degré à une inconnue ax²+bx+c=0, il faut : 1) Calculer la valeur du discriminant =b²−4ac
2) * Si > 0, l’équation admet deux solutions : 𝑥 = −𝑏±√∆2𝑎
* Si = 0, l’équation admet une solution : 𝑥 = − 𝑏
2𝑎
* Si < 0, l’équation n’admet pas de solution dans ℝ, elle est impossible.
Par exemples :
• 𝑥2− 5𝑥 + 4 = 0 a pour ∆= (−5)2− 4.1.4 = 25 − 16 = 9 et a donc 2 solutions
⟺ 𝑥 = −(−5)±√9 2.1 = 5±3
2 . 𝑆 = {1; 4}
• 4𝑥2− 12𝑥 + 9 = 0 a pour ∆= (−12)2− 4.4.9 = 144 − 144 = 0 et a donc 1 solution ⟺ 𝑥 = −−12
2.4 =12
8 =3
2. 𝑆 = {3
2}
• −2𝑥2+ 𝑥 − 5 = 0 a pour ∆= 12− 4. (−2). (−5) = 1 − 40 = −39 et n’a donc aucune solution. 𝑆 = ∅
g) Equations de degré 3 ou plus : Pour résoudre une telle équation, il faut :
1) Tout mettre dans un seul membre.
2) Factoriser ce membre.
3) Utiliser la règle du produit nul.
Par exemple : 4𝑥3+ 4𝑥 = 8𝑥² ⟺ 4𝑥3− 8𝑥2+ 4𝑥 = 0 ⟺ 4𝑥. (𝑥2− 2𝑥 + 1) = 0
⟺ 4𝑥. (𝑥 − 1)2 = 0
4𝑥 = 0 ou (𝑥 − 1)2= 0
⟺ 𝑥 = 0 ⟺ 𝑥 − 1 = 0 ⟺ 𝑥 = 1 𝑆 = {0; 1}
h) Equations fractionnaires :
Ce sont des équations dans lesquelles l’inconnue apparaît au moins une dois au dénominateur.
Pour les résoudre, il faut :
1) Imposer des CE : les dénominateurs doivent être différents de 0.
2) Transformer l’écriture de l’équation en une forme : fraction = fraction.
3) Effectuer un produit en croix (le produit des moyens est égal au produit des extrêmes).
4) Résoudre l’équation obtenue.
5) Vérifier que les solutions trouvées sont acceptables par rapport aux CE.
Par exemple : 𝑥 + 1 𝑥−1 = 6
𝑥+1 CE : 𝑥 ≠ 1 et 𝑥 ≠ −1
⟺ 𝑥−1+1 𝑥−1 = 6
𝑥+1
⟺ 𝑥 𝑥−1 = 6
𝑥+1⟺ 𝑥. (𝑥 + 1) = 6. (𝑥 − 1)
⟺ 𝑥2+ 𝑥 = 6𝑥 − 6 ⟺ 𝑥2− 5𝑥 + 6 = 0 → ∆= 25 − 24 = 1
⟺ 𝑥 = 5±1
2 ⟺ 𝑥 = 3 ou 𝑥 = 2 → solutions acceptables → 𝑆 = {−3; −2}
Exercices :
1] Pour chacune des équations, sans la résoudre, vérifie que 𝑥 = 2 est solution :
Oui Non Justification
12 − 𝑥 = 10𝑥 𝑥 − 2 = −(𝑥 − 2)
2𝑥 = 0 𝑥
2= 3𝑥 − 5
2] Résous, dans ℝ, les équations suivantes : a) 7𝑥5= 28𝑥3
b) 5. (2𝑥 − 1)3. (4𝑥2− 12𝑥 + 9). (𝑥2+ 𝑥 − 8) = 0 c) (𝑥 − 3)2= 16
d) 𝑥+9 6−𝑥 = 0 e) 𝑥+9
6−𝑥 = 2𝑥−1
𝑥
f) (1 − 𝑥). (4𝑥 + 3) = −2
g) 1
𝑥−1 − 1 𝑥+2 = 3
𝑥+7 h) 3𝑥3+ 5𝑥2= 6𝑥 + 2 3] Ecris une équation :
a) qui admet 5 comme unique solution.
b) du 2e degré qui admet 1 et 3 comme solutions.
c) qui admet une infinité de solutions.
d) qui n’admet aucune solution.
e) du 3e degré qui admet 0 comme solution.
