Afrique, 2005, Logarithme

Afrique, 2005.

SUJET Partie 1.

On appelle f et g les deux fonctions définies sur l’intervalle [0 ; +∞[ par f(x) = ln(1 + x) − x et g(x) =ln(1 + x) − x + x²

2 .

1. Etudier les variations de f et de g sur [0 ; +∞[

2. En déduire que, pour tout x ≥ 0, x − x²

2 ≤ ln(1 + x) ≤ x Partie 2.

On se propose d’étudier la suite (un) de nombres réels définie par : u1 = 3

2 et uⁿ⁺¹ = un (1 + 1 2ⁿ⁺¹ ) 1. Montrer par récurrence que un > 0 pour tout entier naturel n ≥ 1.

2. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n ≥ 1 : ln un = ln(1+1

2 ) + ln(1 + 1

2² ) + … + ln(1 + 1 2ⁿ ) 3. On pose : Sn = 1

2 + 1 2² + 1

2³ + … + 1

2ⁿ et Tn = 1 4 + 1

4² + 1

4³ + … + 1 4ⁿ . A l’aide de la première partie, montrer que : Sn − 1

2 Tⁿ ≤ ln un ≤ Sn

4. Calculer Sn et Tn en fonction de n. En déduire limn→+∞ Sn et limn→+∞ Tn. 5. Etude de la convergence de la suite (un).

a. Montrer que la suite (un) est strictement croissante.

b. En déduire que (un) est convergente. Soit L sa limite.

c. On admet le résultat suivant : si deux suites (vvnn) et (wn) sont convergentes et telles que vvnn ≤ wn pour tout n entier naturel, alors limn→+∞ vvnn ≤ limn→+∞wnn. .

Montrer alors que 55//66 ≤≤ llnn LL ≤≤ 11 et en déduire un encadrement de L.

Partie 1.

1. Etudions les variations de f et de g sur [0 ; +∞[.

Construites par composition et somme de fonctions dérivables sur [0 ; +∞[, f et g sont dérivables sur [0 ; +∞[

f’(x) = 1

1 + x − 1 = -x 1 + x

Sur [0 ; +∞[, −x ≤ 0 et 1+x > 0 donc f’(x) ≤ 0 donc f . De plus, comme f(0) = 0, f(x) ≤ 0

g’(x) = 1

1 + x − 1 + x = x² 1 + x

Sur [0 ; +∞[, x² ≥ 0 et 1+x > 0 donc g’(x) ≥ 0 donc g De plus, comme g(0) = 0, g(x) ≥ 0.

2. Déduisons en que, pour tout x ≥ 0, x − x²

2 ≤ ln(1 + x) ≤ x

On a vu que : pour x ≥ 0, f(x) ≤ 0 donc ln(1 + x) ≤ x. De même, g(x) ≥ 0 donc ln(1 + x) ≥ x − x² 2 . Ainsi, pour tout x ≥ 0, x − x²

2 ≤ ln(1 + x) ≤ x.

Partie 2.

On se propose d’étudier la suite (un) de nombres réels définie par : u1 = 3

2 et uⁿ⁺¹ = un (1 + 1 2ⁿ⁺¹ )

- 2 –

D. PINEL, Site Mathemitec : http://perso.numericable.fr/~pinedavi/mathemitec/Index.html 1. Montrons par récurrence que un > 0 pour tout entier naturel n ≥ 1.

Soit P(n) la proposition « un > 0 ».

initialisation : u1 = 3/2 donc u1 > 0 donc la proposition est vraie pour n = 1.

hérédité : supposons que un > 0 et montrons que un+1 > 0 pour tout entier n ≥ 1, 1 + 1

2ⁿ⁺¹ > 0 donc si un > 0 alors un+1 > 0 conclusion : pour tout entier naturel n ≥ 1, un > 0

2. Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel n ≥ 1 : Q(n) « ln un = ln(1+1

2 ) + ln(1 + 1

2² ) + … + ln(1 + 1

2ⁿ ) » est vraie.

initialisation : u1 = 3/2 donc ln u1 = ln(3/2) = ln(1+1

2 ) donc la proposition est vraie pour n = 1.

hérédité : supposons que un = ln(1+1

2 ) + ln(1+1

2² ) + … + ln(1+1

2ⁿ ) et montrons que un+1 = ln(1+1 2 ) + ln(1+1

2² ) + … + ln(1+ 1 2ⁿ⁺¹ ) On a : un+1 = un (1 + 1

2ⁿ⁺¹ ) et les deux membres de cette égalité sont > 0 donc ln un+1 = ln [un(1 + 1

2ⁿ⁺¹ )] = ln un + ln (1 + 1

2ⁿ⁺¹ ) = ln(1+1

2 ) + ln(1 + 1

2² ) + … + ln(1 + 1

2ⁿ ) + ln (1 + 1

2ⁿ⁺¹ ). On obtient bien le résultat souhaité …

conclusion : pour tout entier naturel n ≥ 1, ln un = ln(1+1

2 ) + ln(1 + 1

2² ) + … + ln(1 + 1 2ⁿ )

3. On pose : Sn = 1 2 + 1

2² + 1

2³ + … + 1

2ⁿ et Tn = 1 4 + 1

4² + 1

4³ + … + 1 4ⁿ . On a montré que pour tout x ≥ 0, x − x²

2 ≤ ln(1 + x) ≤ x pour x = 1

2 , on obtient 1 2 − 1

2 ×1

4 ≤ ln(1 + 1 2 ) ≤ 1

2 pour x = 1

2² , on obtient 1 2² − 1

2 ×1

4² ≤ ln(1 + 1 2² ) ≤ 1

2²

…..

pour x = 1

2ⁿ , on obtient 1 2ⁿ − 1

2 ×1

4ⁿ ≤ ln(1 + 1 2ⁿ ) ≤ 1

2ⁿ

En ajoutant ces n encadrements membre à membre, on obtient Sn − 1

2 Tⁿ ≤ ln un ≤ Sn

4. Calculons Sn et Tn en fonction de n.

→Sn = 1 2 + 1

2² + 1

2³ + … + 1

2ⁿ est la somme de n termes consécutifs d’une suite géométrique de raison 1 2 . Par conséquent, Sn = Sn − 1

2 Tⁿ × 1 - (1/2)ⁿ

1 - 1/2 = 1 − 1

2ⁿ et quand n → +∞, 2ⁿ → +∞ car 2 > 1 donc limn→+∞ Sn = 1.

→Tn = 1 4 + 1

4² + 1

4³ + … + 1

4ⁿ est la somme de n termes consécutifs d’une suite géométrique de raison 1 4 . Il s’en suit que Tn = 1

4 × 1 - (1/4)ⁿ 1 - 1/4 = 1

3 (1 − 1

4ⁿ ) et quand n → +∞, 4ⁿ → +∞ car 4 > 1 donc limn→+∞ Tn = 1/3.

5. Etude de la convergence de la suite (un).

a) un+1 = un (1 + 1

2ⁿ⁺¹ ) et ∀ n ∈ IN, un > 0

Par conséquent : un+1

un = 1 + 1

2ⁿ⁺¹ et 1

2ⁿ⁺¹ > 0 donc un+1

un > 1 ce qui prouve que un+1 > un et donc que (un) est strictement croissante.

b) On a vu que : pour tout n ≥ 1, ln un ≤ Sn donc un ≤ e^Sn

Or Sn est croissante (Sn+1 − Sn = 1/2ⁿ⁺¹ > 0) et tend vers 1 donc Sn ≤ 1 donc e^Sn ≤ e.

On a alors : pour tout n ≥ 1, un ≤ e ce qui prouve que (un) est majorée : (un) étant croissante et majorée, (un) converge vers un réel L.

c) On a vu que : pour tout n ≥ 1, Sn − 1

2 Tⁿ ≤ ln un ≤ Sn : comme (Sn), (Tn) et (un) donc (ln un) sont convergentes, d’après le résultat donné : limn→+∞( Sn − 1

2 Tⁿ ) ≤ limn→+∞ln un ≤ limn→+∞Sn, c’est à dire 1 − 1 2 ×1

3 ≤ ln L ≤ 1 soit 5/6 ≤ ln L ≤ 1.

Finalement, 5/6 ≤ ln L ≤ 1 donc e^5/6 ≤ L ≤ e (la fonction exp est croissante sur IR).

Merci à ma collègue pour ce corrigé.

- 4 –

D. PINEL, Site Mathemitec : http://perso.numericable.fr/~pinedavi/mathemitec/Index.html annabac 2006 p 47. Afrique. juin 2005.

Partie 1.

On appelle f et g les deux fonctions définies sur l’intervalle [0 ; +∞[ par f(x) = ln(1 + x) − x et g(x) =ln(1 + x) − x + x²

2 .

1. Etudier les variations de f et de g sur [0 ; +∞[

2. En déduire que, pour tout x ≥ 0, x − x²

2 ≤ ln(1 + x) ≤ x Partie 2.

On se propose d’étudier la suite (un) de nombres réels définie par : u1 = 3

2 et uⁿ⁺¹ = un (1 + 1 2ⁿ⁺¹ ) 1. Montrer par récurrence que un > 0 pour tout entier naturel n ≥ 1.

2. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n ≥ 1 : ln un = ln(1+1

2 ) + ln(1 + 1

2² ) + … + ln(1 + 1 2ⁿ ) 3. On pose : Sn = 1

2 + 1 2² + 1

2³ + … + 1

2ⁿ et Tn = 1 4 + 1

4² + 1

4³ + … + 1 4ⁿ . A l’aide de la première partie, montrer que : Sn − 1

2 Tⁿ ≤ ln un ≤ Sn

4. Calculer Sn et Tn en fonction de n. En déduire limn→+∞ Sn et limn→+∞ Tn. 5. Etude de la convergence de la suite (un).

a) Montrer que la suite (un) est strictement croissante.

b) En déduire que (un) est convergente. Soit l sa limite.

c) On admet le résultat suivant : si deux suites (vv_nn) et (wn) sont convergentes et telles que vv_nn ≤ wn pour tout n entier naturel, alors limn→+∞ vvnn ≤ limn→+∞wnn

MoMonnttrreerr aalloorrss qquuee 55//66 ≤≤ llnn ll ≤≤ 11 eett eenn ddéédduuiirree uunn eennccaaddrreemmeenntt ddee ll..

annabac 2006 p 47. Afrique. juin 2005.

Partie 1.

On appelle f et g les deux fonctions définies sur l’intervalle [0 ; +∞[ par f(x) = ln(1 + x) − x et g(x) =ln(1 + x) − x + x²2 .

1. Etudier les variations de f et de g sur [0 ; +∞[

2. En déduire que, pour tout x ≥ 0, x − x²

2 ≤ ln(1 + x) ≤ x Partie 2.

On se propose d’étudier la suite (un) de nombres réels définie par : u1 = 3

2 et uⁿ⁺¹ = un (1 + 1 2ⁿ⁺¹ ) 1. Montrer par récurrence que un > 0 pour tout entier naturel n ≥ 1.

2. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n ≥ 1 : ln un = ln(1+1

2 ) + ln(1 + 1

2² ) + … + ln(1 + 1 2ⁿ ) 3. On pose : Sn = 1

2 + 1 2² + 1

2³ + … + 1

2ⁿ et Tn = 1 4 + 1

4² + 1

4³ + … + 1 4ⁿ . A l’aide de la première partie, montrer que : Sn − 1

2 Tⁿ ≤ ln un ≤ Sn

4. Calculer Sn et Tn en fonction de n. En déduire limn→+∞ Sn et limn→+∞ Tn.

5. Etude de la convergence de la suite (un).

d) Montrer que la suite (un) est strictement croissante.

e) En déduire que (un) est convergente. Soit l sa limite.

f) On admet le résultat suivant : si deux suites (vvnn) et (wn) sont convergentes et telles que vvnn ≤ wn pour tout n entier naturel, alors limn→+∞ vvnn ≤ limn→+∞wnn

MoMonnttrreerr aalloorrss qquuee 55//66 ≤≤ llnn ll ≤≤ 11 eett eenn ddéédduuiirree uunn eennccaaddrreemmeenntt ddee ll..