DS 04, Extraits de sujets de Bac

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Jeudi 19 mars 2009.

DS de Mathématiques. TS1 et TS2.

4 heures. Calculatrice autorisée.

EXERCICE 1. Amérique du nord, juin 2008. 6 points.

Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]1 ; +∞[ par : f(x) = lnx − 1 lnx .

On nomme C_f la courbe représentative de f et Γ la courbe d’équation y = lnx dans un repère orthogonal (O ; i^→ , j^→ ).

1. Etudier les variations de f et préciser les limites en 1 et en +∞.

2. a. Déterminer lim

x→+∞ [f(x) – lnx]. Interpréter graphiquement cette limite.

2. b. Préciser les positions relatives de C_f et Γ.

3. On se propose de chercher les tangentes à la courbe C_f passant par le point O.

a. Soit a un réel de ]1 ; +∞[.

Démontrer que la tangente Ta à Cf au point d’abscisse a passe par l’origine du repère si, et seulement si, f(a) – a f’(a) = 0.

Soit g la fonction définie sur l’intervalle ]1 ; +∞[ par g(x) = f(x) – x f’(x).

b. Montrer que sur ]1 ; +∞[, les équations g(x) = 0 et (lnx)³ – (lnx)² − lnx – 1 = 0 ont les mêmes solutions.

c. Après avoir étudié les variations de la fonction u définie sur IR par u(t) = t³ – t² − t – 1, montrer que la fonction u s’annule une fois et une seule sur IR. pour un réel α dont on donnera une valeur approchée à 10⁻² près par excès.

d. En déduire l’existence d’une tangente unique à la courbe C_f passant par le point O.

La courbe C_f et la courbe Γ sont données sur l’annexe jointe.

Tracer cette tangente le plus précisément possible sur cette figure.

4. On considère un réel m et l’équation f(x) = mx d’inconnue x.

Par lecture graphique et sans justification, donner, suivant les valeurs du réel m, le nombre de solutions de cette équation appartenant à l’intervalle ]1 ; 10].

EXERCICE 2. Polynésie, juin 2008. 5 points [non spé Math]

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une justification de la réponse choisie.

Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

1. Soit f la fonction solution sur IR de l’équation différentielle : y’ = − y + 2 telle que f(ln2) = 1.

Proposition 1 : « La courbe représentative de f admet au point d’abscisse 0, une tangente d’équation y = 2x ».

2. Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle [A ; +∞[ où A est un réel strictement positif.

Proposition 2 : « Si lim_x→+∞ f(x) = 0 alors lim_x→+∞ f(x)g(x) = 0 ».

3. On admet qu’un bloc de glace fond en perdant 10 % de sa masse par minute. Sa masse initiale est de 10 kg.

Proposition 3 : « A partir de la soixante−dixième minute, sa masse devient inférieure à 1 g ».

4. Soient A et B deux évènements d’un même univers Ω muni d’une probabilité p.

Proposition 4 ; « Si A et B sont indépendants et si p(A) = p(B) = 0,4 alors p(A ∪ B) = 0,8 ».

5. Une usine fabrique des pièces. Une étude statistique a montré que 2% de la production est défectueuse. Chaque pièce est soumise à un contrôle de fabrication. Ce contrôle refuse 99% des pièces défectueuses et accepte 97% des pièces non défectueuses. On choisit au hasard une pièce avant son passage au contrôle.

Proposition 5 : « La probabilité que la pièce soit acceptée est égale à 0,9508 ».

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EXERCICE 3. Nouvelle−Calédonie, novembre 2007. 4 points.

Pour chaque question, une seule des trois propositions est exacte.

Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.

Aucune justification n’est demandée.

Une réponse exacte rapporte 0,5 point ; une réponse fausse enlève 0,25 point ; l’absence de réponse est comptée 0 point.

Le plan est muni d’un repère orthonormé direct d’origine O.

1. Une solution de l’équation 2z + z– = 9 + i est :

a. 3 b. i c. 3 + i

2. Soit z un nombre complexe, |z + i| est égal à :

a. |z| + 1 b. |z – 1| c. |i z– + 1|

3. Soit z un nombre complexe non nul d’argument θ. Un argument de est : a. – π

3 + θ b. 2π

3 + θ c. 2π

3 − θ

4. Soit n un entier naturel. Le complexe ( 3 + i)ⁿ est un imaginaire pur si, et seulement si :

a. n = 3 b. n = 6k + 3 avec k entier relatif c. n = 6k avec k entier relatif

5. Soient A et B deux points d’affixes respectives i et −1. L’ensemble des points M d’affixe z vérifiant |z – i| = |z + 1| est : a. la droite (AB) b. le cercle de diamètre [AB] c. la perpendiculaire à (AB) passant par O.

6. Soit Ω le point d’affixe 1 – i. L’ensemble des points M d’affixe z = x + iy vérifiant |z – 1 + i| = |3 – 4i| a pour équation : a. y = −x + 1 b. (x – 1)² + y² = 5 c. z = 1 – i + 5 e^iθ avec θ réel.

7. Soient A et B les points d’affixes respectives 4 et 3i.

L’affixe du point C tel que le triangle ABC soit isocèle avec (AB^→ ; AC^→ ) = π/2 est :

a. 1 – 4i b. −3i c. 7 + 4i

8. L’ensemble des solutions dans CI de l’équation z - 2

z - 1 = z est :

a. {1 – i} b. l’ensemble vide c. {1 – i ; 1 + i}

Un joueur débute un jeu au cours duquel il est amené à faire successivement plusieurs parties.

La probabilité que le joueur perde la première partie est de 0,2.

Le jeu se déroule ensuite de la manière suivante :

− s’il gagne une partie alors il perd la partie suivante avec une probabilité de 0,05.

− s’il perd une partie, alors il perd la partie suivante avec une probabilité de 0,1.

1. On appelle : E₁ l’événement « le joueur perd la première partie » ; E₂ l’événement « le joueur perd la deuxième partie » ; E₃ l’événement « le joueur perd la troisième partie ».

On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de fois où le joueur perd lors des trois premières parties.

On pourra s’aider d’un arbre pondéré.

a. Quelles sont les valeurs prises par X ?

b. Montrer que la probabilité de l’événement (X = 2) est égale à 0,031 et que celle de l’événement (X = 3) est égale à 0,002.

c. Déterminer la loi de probabilité de X.

d. Calculer l’espérance mathématique de X.

2. Pour tout entier naturel n non nul, on note E_n l’événement : « le joueur perd la n−ième partie » et En



l’événement contraire, et on note p_n la probabilité de l’événement E_n.

a. Exprimer, pour tout entier naturel n non nul, les probabilités des événements E_n ∩ En+1 et E^_n ∩ En+1 en fonction de p_n. b. En déduire que pn+1 = 0,05pn + 0,05 pour tout entier naturel non nul.

3. On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n non nul, par un = pn − 1 19 .

a. Montrer que (u_n) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

b. En déduire, pour tout entier naturel n non nul, u_n puis p_n en fonction de n.

c. Calculer la limite de p_n quand n tend vers +∞.

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EXERCICE 5. France, Septembre 2008. 5 points [spé Math uniquement]

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct (O u v; , ). On réalisera une figure en prenant 4 cm comme unité graphique sur chaque axe.

On considère le point A d'affixe z_A=1. Partie A

k est un réel strictement positif ; f est la similitude directe de centre O de rapport k et d'angle 3

π _{. On note}

A0 =A et pour tout entier naturel n, An₊1=f

( )

An ^.

1. a. Étant donné un point M d'affixe z, déterminer en fonction de z l'affïxe z’ du point M’ image de M par f.

b. Construire les points A₀, A₁, A₂ et A₃ dans le cas particulier où k est égal à 1 2. 2. a. Démontrer par récurrence que pour tout entier n, l'affixe z_n du point A_n est égale à ³

in

k en π

. b. En déduire les valeurs de n pour lesquelles le point A_n appartient à la demi droite [O u; )

et, dans ce cas, déterminer en fonction de k et de n l'abscisse de A_n.

Partie B

Dans cette partie toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.

Désormais, k désigne un entier naturel non nul.

1. Donner la décomposition en facteurs premiers de 2008.

2. Déterminer, en expliquant la méthode choisie, la plus petite valeur de l'entier naturel k pour laquelle k⁶est un multiple de 2008.

3. Pour quelles valeurs des entiers n et k le point An appartient-il à la demi droite [O u; )

avec pour abscisse un nombre entier multiple de 2008 ?

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Annexe à rendre avec votre copie. NOM :

Figure de l’exercice 1.

y = lnx

C

_f

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

2

-1

-2

0 1

1

x y

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Corrigé

http://mathemitec.free.fr/resources/download.php?file=986

EXERCICE 2. Polynésie, juin 2008. 5 points.

EXERCICE 3. Nouvelle−Calédonie, novembre 2007. 4 points.

EXERCICE 5. Spé, bref corrigé

A1a. D’après le cours, on a z' 0 keⁱ³(z 0)

− = π − ^cadz' ke zⁱ³

= π puisque k est un réel positif.

A1b. Pour le tracé, il s’agit d’utiliser le fait que f =h r où r est la rotation de centre O et d’angle 3

π et h l’homothétie de

centre O et de rapport k = 0.5.

A2a. Soit Pn la proposition « ³

in n

zn k e

= π^».

> P0 est vraie puisque z₀ = =1 k e⁰ ⁱ⁰

> Supposons que Pn soit vraie à un rang n cas que ³

in n

zn k e

= π .

Dans ce cas

( 1)

3 3 3 1 3

1

n n

i i i i

n n

z ke z ke k e k e

π π π + π

+ = = × = + . La proposition est donc vraie pour tout n.

A2b. Pour que A_n∈[Ou)

il faut et il suffit que arg( ) 0 [2 ] 2 6

3

n

zn∈ℝ⁺ ⇔ z ≡ π ⇔nπ ≡ Kπ ⇔ ≡n K où K est un entier relatif.

B1. La décomposition en facteurs premiers est 2008 = 2³×251 où 251 est premier puisque non divisible par les premiers inférieurs à 251≈15.8.

B2. On veut que 2008 | k : comme pgcd(2 , 251)³ =1, d’après le théorème de Gaus cela équivaut à 2 |8

251 | k

k



 .

Comme 2 et 251 sont premiers, il suffit pour cela que 2 | 251 |

k k



 . Le plus petit k possible est donc k = 2×251 = 502.

B3. [ On a A_n∈[Ou)

et 2008 | z ] _n ⇔[n≡0 (6)et 2008 |kⁿ]⇔[n≡0 (6) et k≡0 (502)].