REVISION-NOMBRES COMPLEXES-TERMINALES STI-STL-2009-2010

Exercice 1 (5 points)

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct .

L'unité graphique est 2 cm. On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument / 2. 1) Pour tout nombre complexe z, on pose : P z( )z³(2 2 4) z² (8 2)z16 2

a) Calculer ^P



^{2 2}



^.

b) Déterminer une factorisation de P(z) sous la forme : P z( ) ( z2 2)(z²az b )où ^aet b sont deux nombres réels que l' on déterminera.

c) Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation : ^{P z( ) 0} .

2) On note A, B et C les points d'affixes respectives :^z_A ^{ 2 2i} ,^z_B ^{ 2 2i}et z_C  2 2. a) Placer les points A, B et C dans le repère .

Démontrer que A, B, C sont sur un même cercle de centre O, dont on donnera le rayon.

b) Déterminer un argument du nombre complexe a puis un argument du nombre complexe b.

En déduire une mesure en radian de l'angle



^{OB OA ;}



^.

c) Déterminer alors une mesure en radian de l'angle



^{CB CA ;}



^.

d) Démontrer qu'une mesure de l'angle



^{ AB AC;}



^{est 3 / 8}

e) En déduire l'égalité :^{tan 3 /8}



^



^{ 1 2}

Exercice 2

On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d’argument /2. Soit z 1 i 3. 1) Ecrire sous forme algébrique les complexes z z z, , ², 2 /z.

2) Donner le module et un argument dez z z, , ², 2 /z.

3 a). Le plan est rapporté à un repère orthonormal d’unité graphique 2cm.

On appelle A, B, C et D les points d’affixes respectives z z z, , ², 2 /z. Placer A, B, C et D.

b) Montrer que les triangles ABC et DBC sont tous les deux rectangles.

c) Montrer que les points A, B, C et D sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.

Exercice 3

Soit i le nombre complexe de module 1 et d’argument / 2.

1. Vérifier que les nombres complexes 3 + i et 1 – i sont solution de l’équation z² 4z42i0. 2. Résoudre dans l’ensemble C des nombres complexes l’équation z² 4z60 ; On donnera les solutions sous la forme a + ib et sous la forme re^iavec des valeurs exactes pour a, b et r et une valeur approchée à 10^-2 près radians pour .

3. Représenter dans le plan muni d’un repère orthonormé d’unité 2 cm les points A, B, C, D d’affixes respectives 3 + i, 2i 2,1 – i, , 2i 2 .

4. Démontrer que le quadrilatère ABCD est un rectangle.

Exercice 4

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal d'unité 8 cm, on considère les points M0 d'affixe z0 = 1, M1 d'affixe ₁ ^{1 / 3} ₀

2

z  ei^ z , M2 d'affixe ₂ ^{1 / 3} ₁ 2

z  ei^ z , M3 d'affixe ₃ ^{1 / 3} ₂ 2

z  ei^ z , et de façon générale Mn+1 d'affixe ₁ ^{1 / 3}

2

n i n

z _  e^ z , n étant un entier naturel.

1. Déterminer le module et un argument de z1, z2, z3, donner leur forme algébrique et placer les points M0, M1, M2, M3.

2. Pour tout entier naturel n, on note n le module de zn. a. Déterminer la nature de la suite (n).

b. Exprimer la somme ^S_n^OM₀^OM₁^{ ... OM}_nen fonction de n.

c. Quelle est la limite de Sn quand n tend vers  ?

3. Prouver que pour tout entier n, z_n1z_n i 3z_n1. En déduire que le triangle OMnMn+1 est rectangle.

5. Exprimer la longueur de la ligne brisée M0M1…Mn en fonction de ^S_n.

Exercice 1 (5 points)

1) Pour tout nombre complexe z, on pose : P z( )z³(2 2 4) z² (8 2)z16 2

a) P( 2 2)  16 2 8(2 2 4) (8    2)( 2 2) 16 2   16 2 16 2 32 16 2 32 16 2 0      donc _{2 2} est une racine de ^{P z( )}

b)^{P z( )} peut s'écrire sous la forme :

P z( ) ( z2 2)( ²z az b )

P z( )z³az²bz2 2 ² 2 2z  az2 2b P z( )z³ (a 2 2)z² (b 2 2 )a z2 2b Par identification on a :

2 2 2 2 4 2 2 8 8 2 4 2 2 16 2 8

a a

b a

b b

   

   

    

  

 



P z( ) ( z2 2)( ² 4z  z8)

c) ( ) 0 ( 2 2)( ² 4 8) 0

2 2 0 ² 4 8 0

P z z z z

z ou z z

     

     

z 2 2 ou z² 4 z 8 0

  b^{² 4}ac 

 

^{4 2}    4 1 8 16 32  16

 

4i ²Donc deux solutions complexes conjuguées : ₁ ^{4 4} 2 2

2

z   i   i et z₂   z₁ 2 2i

2) On note A, B et C les points d'affixes respectives : zA ^{2 2}i , zB  ^{2 2}iet z_C  2 2 a) ^z_A^{ 2 2i} ; zA OA ^(2)²

 

^{2 2}  ^{4 4}  ^{8 2 2} .

^z_B ^{ 2 2i} ; zB OB ^(2)² 

 

^{2 2}  ^{4 4}  ^{8 2 2} et zC  ^{2 2} ^{2 2} OA = OB = OC donc A, B et C appartiennent au cercle de centre O et de rayon _{2 2}.

b) Soit A ^argzA , donc on a :

2 2

cos 2 2 2

2 2

sin 2 2 2

A

A





  



  



donc A^argzA^{/ 4 2} k avec kZ.et z_A4e^{i/ 4}

on sait que z_B z_A donc_B argz_B argz_A  argz_A / 4 2 k avec kZ.et z_B4e^{i/ 4}

2 3

-1 -2 -3

2 3

-1

-2

-3

1 1

y

A

B C

O

             

  ^{ }

; ; ; ; ; ; ; arg arg 2

; / 4 / 4 / 2

A B

OB OA OB u u OA u OB u OA u OA u OB z z k

OB OA



  

         

   

             

 

c) Les angles ACBetAOB interceptent le même arcAB. L'angle ACBest un angle inscrit et AOBest un angle au centre donc : ^ACB



^{1/ 2}



^AOB^{/ 4 2} ^k .



^{CB CA ;}



^{/ 4 2 k.}

d) L'affixe de C est réel donc C appartient à l'axe des réels , il est son propre symétrique par rapport à l'axe des réels. Les affixes de A et B sont conjugués donc A et B sont symétriques par rapport à l'axe des réels. Le triangle ABC est donc isocèle en C :

2.  

BAC ACH 2. ^{BAC/ 2}



^{1/ 2}



^{ACB/ 2/ 8 3 / 8 } . on a donc



^{ AB AC;}



^{3 /8 .}

e) Soit H le point d'affixe 2 ,c 'est à dire le projeté orthogonal des points A et B sur l'axe des réels ,on a : ^{CH  z}_CH^{  2 2 2  2 2 2} . ^{AH  z}_AH ^{  2 (2 2 )i   2i 2}.

Dans le triangle CAH rectangle en H on a : ^{tan tan 3 / 8}

 

^{2 2 2 1 2}

2 CAH CH

 AH ^

     .

Exercice 2

2 3 4

-1 -2

-3 -4

2 3

-1

-2

-3

-4

0 1

1

x y

A

B C

D

Exercice 3

2 3

-1 -2

2

-1 -2

1 1

y

A

B O

C

D

Exercice 4

Exercice 1 : 8points

Tous les résultats demandés seront justifiés.

Soit le nombre complexe 1 3(cos sin )

6 6

z _  _i 

. On pose :z₂ z₁, où z₁ désigne le nombre complexe conjugué de ^z₁, ^z₃ ^{ z}₂, z₄ z e₁ ^{2 / 3i} .

1. Déterminer la forme algébrique des nombres complexes z1, z2, et z3 . 2. Déterminer le module et un argument des nombres complexes z2, et z3. 3. Montrer que z₄ 3e^{i5/ 6}. Quelle est la forme algébrique de ^z₄?

4. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal (O; , )u v 

(unité graphique : 2 cm ).

0 1

1

x y

M₀ M₁

M₂

M₃ M₄

M₅ M₆

On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives^z₁, ^z₂, et ^z₃ et ^z₄ .

a. Montrer que les points A, B, C et D sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon. Construire ce cercle , puis placer les points A, B, C et D.

b. Calculer les distances AC et BD.

c. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD EXERCICE 2 : 8 points

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct (O; , )u v 

d’unité graphique 1 cm.

On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d’argument 2

 .

1. Résoudre dans l’ensemble C des nombres complexes l’équation : z²4 3z16 0 .

2. On considère les points A, B et C d’affixes respectives : ^z_A ^{2 3 2} ⁱ z_B 2 3 2 iet z_C 4e^{i/ 2}. a. Donner la forme algébrique du nombre complexe ^z_C.

b. Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes ^z_A,^z_B et ^z_C.

c. En déduire que les points A, B et C appartiennent à un cercle de centre O dont on précisera le rayon.

d. Placer les points A, B et C dans le repère (O; , )u v 

. e. Démontrer que le triangle ABC est un triangle isocèle.

3. On considère la rotation Rde centre O qui transforme A en B.

a. Vérifier que ^{B i / 3}

A

z e

z



 . En déduire l’angle θ de la rotation R . b. Préciser alors la nature du triangle OAB.

c. Établir que le point C est l’image du point B par la rotation R . d. Préciser la nature du quadrilatère OABC.

Exercice 3 5 points

1. Résoudre, dans l’ensemble Cdes nombres complexes l’équation d’inconnue z :



^{1 2 i z}



^{ (1 )i z 1 i}

2. Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal (O; , )u v 

d’unité graphique 4 cm, on considère les points A, B et D tels que :

– A est le point d’affixe ^z_A^{ 1 i},

– B est l’image du point A par la rotation R de centre O et d’angle / 3 – D est le symétrique du point A par rapport à O.

a. Faire une figure et la compléter au fur et à mesure.

b. Calculer le module et un argument de l’affixe ^z_A du point A.

c. Déterminer la forme algébrique de l’affixe^z_Ddu point D. Justifier.

d. Calculer le module et un argument du nombre complexe^z_Baffixe du point B.

e. Justifier que le triangle AOB est équilatéral, en déduire la valeur de la distance AB.

3. On note C l’image de B par la translation T de vecteur _w^ d’affixe  1 i. a. Établir l’égalité vectorielle ^_AD2BC^

b. Démontrer que le quadrilatère OBCD est un parallélogramme.

c. Prouver que CD = AB. En déduire que le quadrilatère ABCD est un trapèze isocèle.

Exercice 2

1. Résoudre dans l'ensemble Cdes nombres complexes l'équation z²4 3z16 0   b^{² 4}ac

 

^{4 3 2}  4 1 16 48 64    16

^{ }

4i ².

Donc deux solutions complexes conjuguées : ₁ ^{4 3 4} 2 3 2 2

z   i  i et z₂  z₁ 2 3 2 i 2. a. zC ⁴e^{i/ 2}^{4 cos(}



^{/ 2)}i^sin(^{/ 2)}



 ⁴i

b. module de ^{zA }

 

^{2 3 22²  12 4  16 4}

argument de zA : Soit_A^argz_A , donc on a :

2 3 3

cos 4 2

2 1

sin 4 2

A

A





  



  



donc arg 2

A zA 6 k

    

avec kZ.et z_A4e^{i/ 6}

z_B 2 3 2 i ; ^{zB OB}

 

^{2 3 2 ( 2)² 4 12  16 4 .SoitB argzB} , donc on a :

2 3 3

cos 4 2

2 1

sin 4 2

A

A





  



   



donc arg 2

B zB 6 k

      avec kZ.et z_B 4e^{i/ 6}

c. on a zA  zB  zC ⁴donc OA OB OC  4, par conséquent les points A,B et C appartiennent au même cercle de centre O et rayon 4 .

d. voir figure

e. z^_AB z_Bz_A2 3 2 i 2 3 2 i 4i, donc ^{z}_AB ^{ AB 4i 4i 4}

z^_BC z_C z_B   4i 2 3 2  i 2 3 2 i, donc zBC^ BC



^{2 3}



² ^{( 2)²} ^{12 4}  ^{16 4} On déduit que AB BC 4.et par conséquent le triangle ABC est un triangle isocèle en B .

3. a. de arg 2

A zA 6 k

     et zA ⁴ d’une part et arg 2

B zB 6 k

      et zB ⁴ On a : z_A4e^{i/ 6} et z_B 4e^{i/ 6}, donc

/ 6 / 6 / 6 / 3

/ 6

4 4

i i i i

B A i

z e

e e

z e

   



   

  

et on déduit que z_Bz_Ae^{i/ 3}. Par conséquent

B est l’image du point A par la rotation de centre O et d’angle / 3.

3.b. on a zA  zB ⁴ donc OA OB 4 il s’ensuit que le triangleOABest isocèle en O.

De plus B est l’image du point A par la rotation de centre O et d’angle / 3,donc



^{OA OB ;}



^{  / 3} et par conséquent le triangle OABest équilatéral

c.

/ 3 / 3 / 6 ( / 3 / 6)

/ 2

4 4

4 4

i i i i

B

i C

e z e e e

e i z

    



    



  

    .

Donc C est l’image du point B A par la rotation de centre O et d’angle / 3.

2 3 4

-1 -2 -3 -4

2 3 4

-1 -2 -3 -4

0 1

1

x y

A

C

B O

d. ^z_OA^{ 2 3 2 i} et zCB^ zBzC ^{2 3 2} i ⁴i^{2 3 2} i donc OA CB 

et on conclut que le quadrilatère OABCait deux côtés

consécutifs de même longueur c’est donc un losange . EXERCICE 3 5 points

1.



^{1 2i z}



^{(1 )i z 1 i}



^{1 2 1i i z}



^{1 i iz 1 i z 1 i i( 1 ) 1i i}

i

                         

 2. a. Voir plus bas

b. z_A  1 ( 1)  ²  1 1  2.

On peut donc écrire zA ^2 ₂²  ₂²i^ ^{2 cos}

 

^{/ 4}



i^sin



^{/ 4}

 

 ²e^{i/ 4}. Un argument dezAest donc ^{/ 4}.

c. On a ^z_D ^{ z}_A. Le module de^z_Dest égal à celui de soit ₂et un de ses arguments

est : ³

4 4

  

  

d. Par la rotation R un point d’affixe^z a pour image d’affixez'telle que : z'z e^{i/ 3}. Donc z_B z e_A ⁱ / 3 2e ⁱ / 4eⁱ / 3 2eⁱ 4 3 2eⁱ /12

 

   

  

 

  

    .

Le module de ^z_Best donc égal à ₂ et un de ses arguments est égal à 12



e. B est l’image du point A par la rotation Rde centre O et d’angle/ 3, donc OA = OB et

Le triangle AOB étant isocèle en O, ses trois angles ont pour mesure / 3 il est donc équilatéral. En particulier AB OA  z_A  2.

3. a. On a par définition : _{BC w}^{ }_ . D’autre part ^_AD2OD^_2w^, puisque D a pour affixe 1 i

  .

On a donc ^_AD2BC^ .

b. On vient de voir que ^{ }_{BC w} et _{OD w}^{ }_ , donc_{BC OD}^{ }_ .ODCB est un parallélogramme.

c. ODCB est un parallélogramme entraîne que CD = OB; mais OAB étant équilatéral OB = AB;

donc CD = AB.

d. A, O et D sont alignés ; (OD) est parallèle à (BC) : le quadrilatère ABCD a deux côtés opposés parallèles

: c’est un trapèze. D’autre part on a démontré que CD = AB : ABCD est donc un trapèze isocèle.