D1941 – Une jolie miniature
Soient et 'deux droites orthogonales passant par l'orthocentre d'un triangle ABC.
La droite coupe (BC), (CA), (AB) en P,Q,R respectivement.
La droite ' coupe (BC), (CA), (AB) en P',Q',R' respectivement.
On note P";Q",R" les milieux de [PP'], [QQ'], [RR'] repectivement.
Il s'agit de montrer que P", Q", R" sont alignés.
Solution proposée par Pierre Renfer
On va utiliser les coordonnées barycentriques dans le repère affine (A,B,C).
Soienti ,, les angles du triangle en A,B,C.
Alors les coordonnées de l'orthocentre H sont :
an t tan tan H
Posons : ttan , utan , vtan
1) Expression amalytique de l'involution canonique
Pour les points à l'infini, la somme des trois coordonnées est nulle.
L'involution canonique de la droite de l'infini échange les points à l'infini de deux droites orthogonales.
Pour un point à l'infini , de coordonnées (a,b,c), il s'agit de trouver les coordonnés (a',b',c') de son image '().
On obtient la formule :
vtb vua ' c
uva utc ' b
tuc tvb ' a
Comme est une homographie, il sufft de vérifier la formule pour trois points de la droite de l'infini.
Le point à l'infini de la droite (BC) a pour image par le point à l'infini ' de la droite (AH).
La point a pour coordonnées (0, 1, -1).
La droite (AH) a pour équation : uz vy 0 z
v 0
y u 0
x t 1
Le point ' a donc pour coordonnées (-u-v, u, v)
En remplaçant dans la formule (a,b,c) par (0, 1, -1), on trouve bien pour (a',b',c') un triplet proportionnel à (-u-v, u, v).
Par permutation circulaire, on vérifie la formule pour les points à l'infini des droites (CA) et (AB).
2) Solution du problème
Soit une droite passant par H et par un point à l'infini , de coordonnées (a,b,c).
Son équation est : (vb uc) x (tc va) y (ua tb) z 0 v
c z
u b y
t a x
On en déduit les coordonnées des points P,Q,R :
tc va
tb ua 0 P
uc vb 0
ua tb Q
0 vb uc
va tc
R
La droite ' passe par la point à l'infini '()
On obtient les coordonnées des points P',Q',R' en remplaçant a,b,c par a',b',c' dans celles de P,Q,R.
En utilisant la formule de 1) et en tenant compte de abc0, on trouve :
b ) v u t ( tv
c ) v u t ( tu 0 ' P
a ) v u t ( uv 0
c ) v u t ( ut ' Q
0
a ) v u t ( vu
b ) v u t ( vt '
R
Par homogénéité, on obtient aussi :
vb uc 0 ' P
va 0 tc ' Q
0
ua tb ' R
Pour obtenir les coordonnées de P", il suffit de normaliser les coordonnées de P et de P' (de sorte qu'elles aient même somme), puis de les additionner.
La somme des coordonnées de P vaut (tuv)a.
) uc vb )(
tc va (
) uc vb )(
tb ua ( 0 P
a ) v u t ( vb
a ) v u t ( uc 0 ' P
ba ) v u t ( v ) uc vb )(
tc va (
ca ) v u t ( u ) uc vb )(
tb ua ( 0
"
P
On obtient par permutation circulaire les coordonnées de Q" et R".
Pour prouver que P",Q",R" sont alignés, il reste à vérifier que le déterminant D des colonnes de leurs coordonnées est nul.
0 ab
) v u t ( v ) va tc )(
uc vb ( ba ) v u t ( v ) uc vb )(
tc va (
ac ) v u t ( u ) tb ua )(
vb uc ( 0
ca ) v u t ( u ) uc vb )(
tb ua (
bc ) v u t ( t ) tb ua )(
va tc ( cb ) v u t ( t ) va tc )(
ua tb ( 0
D
Or D est bien nul puisque la somme des colonnes est nulle.
Analyse complémentaire
Rappelons d'abord le troisième théorème de Desargues :
Soit F un faisceau de coniques et D une droite qui ne passe par aucun des points communs aux coniques de F.
Alors il existe une involution de D qui, pour toute conique de F, échange les deux points d'intersection de D et .
On peut démontrer le résultat suivant :
Soient ABC un triangle et H un point quelconque non situé sur un côté du triangle.
Soit D une droite ne passant par aucun des quatre points A,B,C,H.
Soit l'involution de Desargues de D, relative au faisceau F des coniques passant par A,B,C,H.
Soient et ' deux droites passant par H et coupant D en des points échangés par . La droite coupe (BC), (CA), (AB) en P,Q,R respectivement.
La droite ' coupe (BC), (CA), (AB) en P',Q',R' respectivement.
La droite D coupe (BC), (CA), (AB) en U,V,W respectivement.
On note P" le conjugué de U par rapport à P et P'.
On note Q" le conjugué de V par rapport à Q et Q'.
On note R" le conjugué de W par rapport à R et R'.
Alors les trois points P", Q", R" sont alignés.
Pour la démonstration, il suffit de considérer, dans le plan projectif, la droite D comme "droite de l'infini" et de reprendre exactement les mêmes calculs que dans la démonstration précédente.
Les coordonnées (t,u,v) sont cette fois quelconques (non liées aux tangentes des angles) puisque H n'est plus l'orthocentre.
L'involution de Desargues est déterminée par les points à l'infini des trois coniques dégénérées du faisceaux : (AH) U (BC), (BH) U (CA) , (CH) U (AB).
On peut remarquer que dans le cas particulier où H est l'orthocentre du triangle ABC, toutes les coniques non dégénérées du faisceau sont des hyperboles équilatères ( Leurs deux points à l'infini sont échangées par l'involution canonique).
