A112 - Premières pluies

A112 - Premières pluies

Solution

On désigne par n le nombre de jours où il est tombé i millimètres d’eau avec i variant de 0 à _i 9.

Comme il y a 91 jours au cours des trois mois de septembre, octobre et novembre, on a



 9 i

0 i

n = 91 pour i = 0 à 9 avec les neuf sommes partielles i



 k j

0 j

n qui sont toutes des nombres k

premiers (donc impairs) pour k=0, puis pour k variant de 0 à 1, puis pour k variant de 0 à 2,…. enfin pour k variant de 0 à 8.

Pour i > 1, tous les termes n sont des nombres pairs. S’il n’en était pas ainsi, on passerait _i d’une somme partielle de rang k impaire à une somme partielle de rang k+1 paire, ce qui est incompatible avec la parité de tous les



 k j

0 j

n et k



 9 i

0 i

ni = 91 pour i = 0 à 9.

Pour i=1, n peut être un nombre impair si ₁ n =2. ₀

Supposons que n soit un nombre pair. Dès lors la quantité d’eau tombée au cours des trois ₁ mois qui est égale à n₁2n₂3n₃....9n₉serait un nombre pair, ce qui est incompatible à nouveau avec le fait que cette quantité est un nombre premier. n est donc un nombre impair ₁ et n₀=2. Il y a donc eu 2 jours sans pluie.

Une séquence possible de termes n pour i variant de 0 à 9 est la suivante : 2, 39, 26, 4, 2, 6, _i 4, 4, 2 et 2. Elle vérifie l’équation



 9 i

0 i

ni = 91 et d’autre part les sommes partielles qui donnent le nombre de jours où il est tombé moins de k mm d’eau, constituent la séquence de nombres premiers : 2,41,67, 71, 73, 79, 83, 87, 89. La quantité d’eau tombée au cours des trois mois est égale à



 9 i

0 i

ni

.

i = 227 qui est également un nombre premier.