A50197. Cinquième et carré
Déterminer l’entierntel que la somme des puissances cinquièmes des entiers de 1 ànsoit le carré d’un nombre de 6 chiffres (en écriture dcimale).
Solution
Les identités (k2+k)2−(k2−k)2 = 4k3 et (k2+k)3−(k2−k)3 = 6k5+ 2k3 montrent que
12k5 = (k2+k)2(2k2+ 2k−1)−(k2−k)2(2k2−2k−1), d’où la sommation 12
n
X
1
k5 = (n2+n)2(2n2+ 2n−1).
Pour que
n
X
1
k5 = r2, il faut et il suffit que 2n2 + 2n−1 = 3m2; alors r=mn(n+ 1)/2 = (3m3+m)/4.
On a (2n+ 1)2= 6m2+ 3, 3 divise 2n+ 1 = 3p, 3p2−2m2 = 1.
Cette dernière équation a pour solution généralep√
3 +m√ 2 = (√
3 +√ 2)j, avec j entier impair.
Au moyen des polynômes de Tchebychev, avecj= 2i+ 1, p= (Ti+1(5) +Ti(5))/6,
n= (Ti+1(5) +Ti(5)−2)/4, m= (Ti+1(5)−Ti(5))/4,
r= (3T3i+2(5)−3T3i+1(5)−Ti+1(5) +Ti(5))/128.
Les premiers quintuplets (j, p, m, n, r) sont (1, 1, 1, 1, 1), (3, 9, 11, 13, 1001), (5, 89, 109, 133, 971299), (7, 881, 1079, 1321, 942162299).
Les valeurs successives dersont en progression d’un facteur voisin deT3(5) = 970 ou (√
3 +√
2)6; l’entier cherché estn= 133.
