Chapitre 3 GEOMETRIE
OBJETS DE BASE EN GEOMETRIE
1°) Le point.
Le point est la plus petite partie qui existe en géométrie, on ne peut pas le représenter avec précision, alors on le représente par une croix + ou ×.
2°) La droite.
Une droite est un ensemble infini de points, tous alignés. Entre deux points d’une droite, il y a toujours une infinité d’autres points. Une droite n’a pas de longueur, on ne peut pas la mesurer. On note (𝐴𝐵) ou 𝑑.
Les portions de droite :
Un segment est un ensemble de points infini avec un début et une fin. On note [𝐴𝐵].
Une demi-droite est un ensemble de points infini avec un début mais pas de fin, on ne peut pas la mesurer. On note [𝐴𝐵) si l’origine de la demi-droite est 𝐴.
3°) Positions relatives de deux droites.
Deux droites d’un même plan sont soit parallèles, soit sécantes. Si elles sont sécantes en formant un angle droit, alors on dit qu’elles sont perpendiculaires.
L’intersection entre deux droites est un point.
Notations :
Les droites 𝑑 et 𝑑′ se coupent en 𝐴 : 𝑑 ∩ 𝑑′ = {𝐴} (∩ se lit : « inter »)
Les droites 𝑎 et 𝑏 sont perpendiculaires : 𝑎 ⊥ 𝑏
Les droites 𝑑1 et 𝑑2 sont parallèles : 𝑑1 // 𝑑2
4°) Le plan.
Un plan est une infinité de points qui forment une surface plane, que l’on peut représenter par une feuille, la surface d’une table, un mur, un tableau…
Un plan est défini par deux droites sécantes (qui peuvent servir d’axes pour se repérer dans le plan) ou par deux droites parallèles.
5°) Distances.
a. Distance entre un point et une droite. 𝐻
+𝐴 𝑑
Comment mesurer la distance entre 𝐴 et 𝑑 ?
Méthode : on trace la perpendiculaire à 𝑑 qui passe par 𝐴, elle coupe 𝑑 en 𝐻. Alors 𝐴𝐻 est la distance entre 𝐴 et 𝑑.
b. Distance entre deux droites parallèles.
on a ∆ // 𝛿
𝐻1
∆
𝐻2
𝛿
Méthode : on trace la perpendiculaire aux droites parallèles, on appelle 𝐻1 et 𝐻2 les points d’intersection formés. La distance entre les droites ∆ et 𝛿 est la distance 𝐻1𝐻2.
6°) Distances et ensembles de points.
On considère une droite 𝑑. L’ensemble des points situés à une distance de 𝑘cm de la droite 𝑑 est une droite
∆ parallèle à 𝑑 et telle que la distance entre les deux droites soit de 𝑘cm.
Remarque : il y a deux droites que l’on peut former, de part et d’autre de 𝑑.
Exemple : trace une droite 𝑑 en noir puis trace en rouge l’ensemble des points situés à 3cm de 𝑑.
∆1 𝑑
∆2 3cm
L’ensemble des points qui se situe à une distance 𝑟 d’un point 𝑃 est le cercle de centre 𝑃 et de rayon 𝑟.
Exemple : place un point 𝑃 puis trace l’ensemble des points situés à 2cm du point 𝑃.
7°) Propriété métrique de la médiatrice et de la bissectrice.
a) La médiatrice.
La médiatrice d’un segment est une droite qui coupe le segment perpendiculairement et en son milieu.
Propriétés métriques de la médiatrice :
Si un point est sur la médiatrice d’un segment
Alors il est à égale distance des extrémités du segment.
Si un point est à égale distance des extrémités du segment Alors il est sur la médiatrice du segment.
EXERCICE (coté exercices)
Place deux points O et I distants de 5cm, trace un cercle (C) de centre O et de rayon 4cm, trace un cercle (C’) de centre I et de rayon 4cm. On appelle P et N les points d’intersection entre (C) et (C’).
Compare PO et PI. Que peux-tu en déduire pour le point P par rapport à [OI] ? Compare PO et NO. Que peux-tu en déduire pour le point O par rapport à [PN] ? Quelle est la nature du quadrilatère PONI ? Justifie.
b) La bissectrice.
La bissectrice d’un angle est une droite qui partage cet angle en deux angles de même mesure.
Propriétés métriques de la bissectrice :
Si un point est sur la bissectrice d’un angle
Alors il est à égale distance des deux côtés de l’angle.
Si un point est à égale distance des deux côtés de l’angle Alors il est sur la bissectrice de l’angle.
Sur le dessin ci-contre, on dit que (BC) est tangente au cercle en E, et (BA) est tangente au cercle en D.
