Devoir Surveillé n˚ 8

1^ere STI Ch08 : Géométrie plan _{Vendredi11avril2007}

Devoir Surveillé n˚ 8

EXERCICE n^o 1

Reproduire la figure ci-dessous dont les cotes sont en cm, déterminer la position approchée à 1 mm près du centre de gravité Gde la pièce puis placer Gsur la figure.

2 1 3 6

4 4 4

4 4

2 1 3

EXERCICE n^o 2

Soit ||−→u||= 4, ||−→v||= 7 et (−→u ,−→v) =−π 6.

Calculer la valeur exacte de chacun des nombres suivants : 1. −→u .−→v

2. (2−→u −4−→u).(2−→u + 4−→v) 3. (4−→u −5−→v)²

EXERCICE n^o 3

Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O;−→ı ;−→) d’unité graphique 1cm.

Soient les points A(3; 0),B(0; 3),C(0; 6) etD(3;y)

1. (a) Quelle est la nature du triangleOAB? Justifier.

(b) En déduire la mesure en degrés des angles deOAB.

2. (a) Calculer les distances AB,BC etAC.

(b) Calculer la valeur exacte de cos(\BCA), en déduire la mesure, arrondie au degré, de l’angle

\BCA.

(c) En déduire la mesure de l’angle \BAC.

3. Déterminer par le calcul le ou les nombres y tel(s) que le triangle ACDsoit rectangle en D.

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Correction DS n˚ 8

EXERCICE n^o 1

• SoitG1(4; 4) le centre de gravité du triangle de côtés 12×12, de surface S1= 72cm². SoitG2(8; 8) le centre de gravité du carré de côté√

4²+ 4² = 4√

2, de surfaceS2 = 32cm². SoitG3(1; 4.5) le centre de gravité du rectangle de côtés 2×3, de surfaceS3 = 6 cm². SoitG4(4,5; 1)le centre de gravité du rectangle de côtés 2×3, de surfaceS4= 6 cm².

• Le centre de garvitéGde la forme est barycentre du système{(G¹, S1); (G², S2); (G³,−S3); (G⁴,−S4)}. donc,G barycentre de{(G1,72); (G2,32); (G3,−6); (G4,−6)}.

soit,G barycentre de{(G¹,36); (G²,16); (G³,−3); (G⁴,−3)}.

• Calcul de l’abscisse deG :xG= 36×4 + 16×8−3×1−3×4,5

36 + 16−3−3 = 255,5

46 ≈5,6 cm.

• Calcul de l’ordonnée deG :yG= 36×4 + 16×8−3×4,5−3×1

36 + 16−3−3 = 255,5

46 ≈5,6 cm.

• Conclusion : les coordonnées deG sont : G(5,6; 5,6)

EXERCICE n^o 2

1. −→u .−→v =||−→u|| × ||−→v|| ×cos(−→u ,−→v) = 4×7×cos(−^π6) = 28×^√2³ = 14√ 3

2. (2−→u −4−→v).(2−→u + 4−→v) = 4||−→u||²−16||−→v||² = 4×4²−16×7² = −720 3. (4−→u−5−→v)² = 16||−→u||²−2×4×5×−→u .−→v +25||−→v||² = 16×4²−40×14√

3+25×7²= 1481−560√ 3 EXERCICE n^o 3

1. (a) OA = OB et−→OA.−−→OB = 3×0 + 0×3 = 0donc, les vecteurs −→OA et −−→OB sont orthogonaux et le triangle OABest rectangle isocèle en O .

(b) AOB= 90˚, OAB=OBA= 45˚ 2. (a) AB=√

3²+ 3²=√

18 = 3√ 2 BC = 3 etAC =p

(−3)²+ 6² =√

45 = 3√ 5.

(b) D’une part, −−→CB.−→CA = ||−−→CB|| × ||−→CA|| ×cos(−−→CB,−→

CA) = 3×3√

5×cos(−−→CB,−→

CA) = 9√ 5× cos(−−→CB,−→CA).

D’autre part, −−→CB.−→CA=xx^′+yy^′= 0×3 + (−3)×(−6) = 18.

D’où : cos(\BCA) = 18 9√

5 = 2√ 5 5 .

\BCA= 27˚

(c) \CBA= 180˚−45˚= 135˚.

Donc, \BAC = 180˚−135˚−27˚= 18˚.

3. Le triangle ACD soit rectangle en Ddonc :−−→DC.−−→DA= 0

⇐⇒(−3)×0 + (6−y)×(−y) = 0⇐⇒y(6−y) = 0⇐⇒y = 0ou y= 6.

y= 0 correspond au point A. Conclusion : D(3; 6)

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