Nom : Lundi 17 mai – 1h00
Devoir surveillé n°8
Fonction dérivée – Fonctions de deux variables
EXERCICE8.1(3 points).
Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes :
• f(x)=(2x+3)p
x • g(x)=(x2+4x+3)3
EXERCICE8.2(3 points).
La courbeC de la figure ci-contre est une partie de la courbe représentative, relativement à un repère orthogonal, d’une fonctionf définie et dérivable surR.
On donne les renseignements suivants :
• la courbe admet une tangente horizontale au point d’abscisse 1 ;
• le pointB(2; 1) appartient àC;
• la tangente à la courbeC au pointBpasse par le pointC(4; 0) ;
1 2 3
−1
−2
−3
1 2 3 4 5
−1
−2 O
B
C
A b
b
×
1. Déterminer graphiquementf(2),f′(1) etf′(2).
2. Une des représentations graphiques ci-dessous, représente la fonction dérivéef′def. En justifiant votre choixà l’aide d’arguments basés sur l’examen des représentations graphiques, déterminer la courbe associée à la fonction
f′.
1 2 3
−1
−2
−3
1 2 3 4 5
−1
−2 O b C1
b
1 2 3
−1
−2
−3
1 2 3 4 5
−1
−2 O
C2
b
b
1 2 3
−1
−2
−3
1 2 3 4 5
−1
−2 O
C3
b
b
David ROBERT 93
Nom : Lundi 17 mai – 1h00
EXERCICE8.3(8 points).
f est la fontion définie surR\{3} par :f(x)=x2−x11x−3+28.
On noteC la courbe représentative def dans un repère du plan.
On donne en annexe de la présente page un repère dans lequel une partie deC est déjà tracée.
On complètera le schéma avec les éléments rencontrés au fur et à mesure de l’exercice (points, tangentes, etc.).
1. f est dérivable surR\{3} et on notef′la fonction dérivée def. (a) Justifer quef′(x)=x2(x−−6x3)+25.
(b) Étudier le signe def′(x) selon les valeurs dexet établir le tableau de variation de la fonctionf (on indiquera les extremums locaux def).
2. (a) Déterminer, s’il y en a, les abscisses des points deC où la tangente est parallèle à l’axe des abscisses.
(b) SoitTla tangente àC au point d’abscisse 0. Déterminer une équation deT. 3. (a) Tracer les tangentes de la question2.
(b) Compléter le tracé deC.
FIGURE8.1 – Annexe de l’exercice8.3
5 10
−5
−10
−15
−20
5 10 15 20
−5
−10 O ~ı
~
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Nom : Lundi 17 mai – 1h00
EXERCICE8.4(6 points).
Pour les élèvesn’ayant pas suivil’enseignement de spécialité.
On considère un rectangle de dimensionsℓetL. On appellePson périmètre etSson aire.
1. ExprimerPen fonction deℓetL. Faire de même pourS.
2. On suppose maintenant que son périmètre est égal à 8 cm et que son aire est égale à 3,75 cm2. DéterminerℓetL.
3. On suppose que son périmètre est égal à 4 cm et on recherche maintenant les dimensions du rectangle de façon que son aireSsoit maximale.
(a) Expliquer pourquoiL=2−ℓ.
(b) En déduire une expression deSen fonction deℓ.
(c) On considère la fonctionf définie surRparf(x)=x(2−x).
Calculer la dérivéef′et étudier son signe. Dresser le tableau des variations def.
(d) En déduire les dimensions du rectangle dont le périmètrePest égal à 4 cm et l’aireSest maximale.
EXERCICE8.4(6 points).
Pour les élèvesayant suivil’enseignement de spécialité.
Une entreprise fabrique des savons et des bougies parfumées en quantités respectivesxetyexprimées en tonnes.
Le coût total de productionz, exprimé en milliers d’euros, est donné par la relationz=2x2−8x+y2−6y+18 avec x∈[0; 6] ety∈[0; 8].
1. La surfaceS représentant le coût en fonction dexety dans un repère orthogonal³
O;~ı,~,~k´
est donnée sur la figure8.2page suivante.
(a) Le pointA(3; 2; 3) appartient-il à la surfaceS ? Justifier.
(b) Les pointsFetGsont sur la surfaceS. Donner sans justifier leurs coordonnées.
(c) Les points suivants appartiennent àS :
• le pointBd’abscisse 5 et d’ordonnée 1 ;
• le pointCd’abscisse 4 et de cote 20 ;
• le pointDd’ordonnée 5 et de cote 30.
Les placer sur la figure8.2page suivante.
(d) Soity=2. Exprimer alorszsous la formez=f(x) puis donner la nature de la section de la surfaceS par le plan d’équationy=2 en justifiant.
2. On donne, sur la figure8.3page suivante, la projection orthogonale de la surfaceS sur le plan¡ xOy¢
(« vue de dessus de la surfaceS »).
(a) E′est la projection orthogonale dans le plan¡ xOy¢
d’un pointEsitué sur la surfaceS. i. Déterminer les coordonnées deE.
ii. On appelleE′′la projection orthogonale deEdans le plan¡ yOz¢
. Donner les coordonnées deE′′.
(b) Représenter sur la figure8.3page suivante les pointsB′,C′etD′, projections orthogonales respectives deB, CetDde la question1cdans le plan¡
xOy¢ .
David ROBERT 95
Nom : Lundi 17 mai – 1h00
FIGURE8.2 – Figure de l’exercice8.4(spécialité)
20 40 60
10 30 50
0
y
x z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 0
1 2
3 4
5 6
0-10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60
b F
b G
FIGURE8.3 – Figure de l’exercice8.4(spécialité)
bE’
y x
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 1 2 3 4 5 6
0-10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60
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