Devoir surveillé 8

Devoir surveillé 8

samedi 15 juin 2013

La calculatrice est interdite. Pour tout le sujet, on …xe un entierN 2N . On pourra utiliser, pour toute fonctionf 2C⁰([0;1];K), la tendance _n¹Pn

i=1f _n^{i n!1}! R1 0 f.

Exercice 1 (un équivalent d’une intégrale). Pour tout entiern2N, on noteJ_n:=R1

0 (ln (1 +t))ⁿdt.

1. Montrer l’égalité JN =R2

1 (lnx)^Ndx.

2. Montrer l’égalité N JN 1= 2 (ln 2)^N JN. 3. Montrer la comparaison J_N =o_N!1 (ln 2)^N . 4. Donner deux réels Aet B tels que JN

N!1 A NB^N.

Exercice 2 (moyenne géométrique). Soient (a₁; a₂; :::; a_N)2R^N₊

( ₁; ₂; :::; _N)2[0;1]^N tels que PN

i=1 i= 1.

1. E¤ ectuer un développement limité à l’ordre 1de PN

i=1 ia^t_i lorsque t!0.

2. En déduire un développement limité à l’ordre 0 de PN i=1 ia^t_i

1

t lorsque t!0.

3. Conclure à la tendance PN i=1 ia^t_i

1 t t!0

!QN i=1a_iⁱ.

Exercice 3 (étude de limites doubles). On dé…nit une applicationS :

( N ² ! R

(x; y) 7 ! Px i=1

1 x

qy

1 + _xⁱ

y . On souhaite étudiuer les "double-limites"lim_a!1lim_b!1S(a; b)etlim_b!1lim_a!1S(a; b).

1. Soita2N .

(a) Montrer la tendance S(a; b)^b!1! qQ^a a

i=1 1 +_aⁱ . (On pourra utiliser l’exercice précédent.) (b) Montrer la tendance lnqQ^a a

i=1 1 + _a^{i a!1}! R2 1 ln.

(c) En déduire que le réel lim_a!1lim_b!1S(a; b)fait sens et vaut ⁴_e. 2. Soitb2N .

(a) Montrer la tendance S(a; b)^a!1! R2 1

pn

tdt

b

.

(b) À l’aide d’un développement limité, montrer que la suite 1 + ¹_k ^k converge et donner sa limite.

(c) E¤ ectuer un développement limité à l’ordre 1 de 2pⁿ

2 1 lorsque n! 1. (d) En déduire un développement limité à l’ordre 0 de 2pⁿ

2 1 ⁿ lorsque n! 1. (e) Conclure que le réel limb!1lima!1S(a; b)fait sens et vaut ⁴_e.

3. Donner une applications:N²!Rtelle que les deux réelslim_a!1lim_b!1s(a; b)etlim_b!1lim_a!1S(a; b) font sens et di¤ èrent.

1

Exercice 0 (cadeaux).

1. Donner sens à et calculer les intégrales suivantes : (a) Re

1ln; (b) R2

0 e^{42 i}d ; (c) R₄

0 sin cos³; (d) R1

0

p1 x²dx; (e) R₂

0 e^2rcosr dr; (f) R0

2 dt t²+t+1; (g) R⁴⁵₈

0 pdz

9+z².

2. Soient n2N et f une fonction de classe Cⁿ au voisinage de 0. Donner (sans démonstration) le déve- loppement limité de f à l’ordre nau voisinage de 0.

3. Montrer l’existence et expliciter les développements limités suivants à l’ordre 5 au voisinage de 0 : (a) exp;

(b) sin; (c) t7!p

1 t; (d) a7! ln (1 a);

(e) arcsin; (f) argth; (g) tan.

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