DM de PHYSIQUE N

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^◦

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A. MARTIN

MÉCANIQUE

I. Astérosismologie

1.

L’interaction gravitationnelle entre deux points matériels M

1

(m

1

) et M

2

(m

2

) s’écrit :

−

→ F

1→2

= −G m

1

m

2

r

²

~ u avec ~ u =

−−−−→

M1M2 M1M2

ou − →

F

1→2

= −Gm

1

m

2

−−−−→

M

1

M

2

M

1

M

23

~ u

M

1

(m

1

)

M

2

(m

2

)

r

−

→ F

2→1

−

→ F

_1→2

2.

On obtient [R] = L, [M

_e

] = M et [G] = M

⁻¹

.L

³

.T

⁻²

. Comme [f] = T

⁻¹

, une forme f = k.M

_e^α

.R

^β

.G

^γ

donne nécessairement α = γ =

¹₂

et β = −

³₂

. Finalement on obtient f = k

s

M

_e

G

R

³

.

3.

Ce qui donne pour le Soleil f ≈ 6 × 10

⁻⁴

Hz.

C’est beaucoup trop grave pour être audible (entre 20 Hz et 20 kHz pour l’oreille humaine). En pratique ces fréquences sont transposées de 18 octaves, c’est-à-dire multipliées par 2

¹⁸

.

II. Mouvement d’un glaçon sur un tremplin

1.

On applique le Théorème de la Résultante Cinétique (TRC) au glaçon, dans le référentiel R du laboratoire, considéré galiléen.

Le glaçon subit uniquement son poids m~ g, ainsi qu’une réaction normale à la rampe N, donc ~

m d~ v dt

_R

= m~ g + N . ~

Le mouvement étant rectiligne sur la rampe, on projette selon le vecteur directeur de la rampe, ~ u

_X

= cos α~ u

_x

+ sinα~ u

_z

, ce qui permet d’éliminer la réaction normale. Notons (A

_X

) l’axe dirigé par ~ u

_X

. La coordonnée X permet d’écrire la vitesse ~ v = ˙ X ~ u

_X

et l’accélération ~a = ¨ X ~ u

_X

. D’où

X ¨ = −g~ u

_z

.~ u

_X

= −g sin α ⇒ v(t) = ˙ X(t) = −g sin(α) t + v

_A

donc ~ v(t) = (v

_A

− g sin(α) t) ~ u

_X

.

2.

En considérant la position initiale X(0) = 0, on intègre de nouveau :

X(t) = v

_A

t − 1

2 g sin(α) t

²

. Le point B est atteint lorsque X = AB =

_tan^R

α

. Cela se produit à l’instant t

_B

tel que R

tan α − v

_A

t

_B

+

¹₂

g sin(α) t

²_B

= 0

ce qui est possible uniquement si le discriminent v

_A²

−

^2Rg_tan^sin_α^α

= v

²_A

−2Rg cos α est positif, donc si v

_A

≥ v

_l

avec v

_`

=

^p

2Rg cos α = 5, 8 m.s

⁻¹

.

1

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3.

Il existe 2 instants solutions t

_B

=

_g^v_sinα^A

±

√

v_A²−v²

`

gsinα

. On choisi la plus petite valeur car la grande correspond au retour du glaçon en B après s’être arrêté plus loin, si la rampe se poursuivait après le point B. Donc

t

_B

= v

_A

gsin α −

q

v

²_A

− v

²_`

g sin α .

4.

En injectant cette valeur dans v(t) = ||~ v(t)|| = |v

_A

−g sin(α) t|, on obtient v

_B

=

q

v

²_A

− v

²_`

=

q

v

²_A

− 2Rg cos α .

5.

Maintenant le mouvement est circulaire de rayon R tant que le glaçon

reste en contact avec le profil. Donc la vitesse s’écrit ~ v = R θ~ ˙ u

_θ

, et le TRC s’écrit dans la base polaire :

m(−R θ ˙

²

~ u

_r

+ R θ) ¨ ~ u

_θ

= N ~ u

_r

− mg cos θ~ u

_r

+ mg sin θ~ u

_θ

⇔







~ u

_r

: −R θ ˙

²

=

^N_m

− g cos θ (1)

~ u

_θ

: R θ ¨ = g sin θ (2)

6.

La seconde équation peut être intégrée à condition d’être au préalable multipliée par ˙ θ, et en appliquant les conditions initiales du mouvement circulaire en t = t

_B

pour la constante :

R θ ˙ θ ¨ − θ g ˙ sin θ = 0 ⇒ R 2

θ ˙

²

+ gcos θ = R 2

θ ˙

²

(t

_A

) + g cos(θ(t

_A

)) = v

_B²

2R + g cos α d’où θ ˙ = −

s

v

²_B

R

²

+ 2g

R (cos α − cos θ) , car on a ˙ θ < 0.

7.

On reprend maintenant l’équation (1) dans laquelle on injecte le précédent résultat : N/m = −R θ ˙

²

+g cos θ = − v

²_B

R + −2g(cos α −cos θ) +g cos θ ⇔ N = − mv

_B²

R + mg(3 cos θ − 2 cos α) , avec N ~ = N ~ u

_r

.

8.

On souhaite que N (θ) ne s’annule jamais entre θ = −α et le sommet θ = 0. Or sur ce domaine, N (θ) est croissante en θ, minimale en θ = −α et maximale en θ = 0. Donc une condition nécessaire et suffisante pour que le glaçon ne décolle pas avant le sommet est que

N(−α) > 0 ⇔ − mv

_B²

R + mg(3 cos α − 2 cos α) > 0 ⇔ v

_B

<

^p

gR cos α . Comme v

_B²

= v

_A²

− v

_`²

= v

²_A

− 2gR cos α, on obtient finalement v

_A

< v

⁰_`

=

^p

3gR cos α = 7, 1 m.s

⁻¹

.

9.

Si la condition précédente n’est pas vérifiée, c’est-à-dire si v

_A

> v

_`⁰

, alors le décollage a lieu en θ

_d

= α, dès

l’arrivée sur le cercle.

Sinon on cherche θ

_d

vérifiant N(θ

_d

) = 0, sachant que N (θ) = − mv

_B²

R +mg(3 cos θ − 2 cos α) = − mv

_A²

R + 2mg cos α + mg(3 cos θ −2 cos α) = − mv

²_A

R + 3mg cos θ , d’où θ

_d

= arccos v

²_A

3gR

!

.

En l’occurrence, on a v

_`

< v

_A

< v

⁰_`

, donc le glaçon atteint le sommet sans décoller, et la dernière relation donne θ

_d

= 0, 59 rad = 33

^◦

.

2

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III. Mouvement d’une bille sur un rail

1.

On connaît l’équation intrinsèque de la trajectoire c’est-à-dire le lien entre les coordonnées. Ceci permet d’écrire le vecteur vitesse comme proportionnel à θ ˙ par exemple :

~

v = ˙ r ~ u

_r

+ r θ ~ ˙ u

_θ

+ ˙ z ~ u

_z

= ˙ θ

βr ~ u

_r

+ r ~ u

_θ

− β tan α r ~ u

_z

= r θ ˙

β ~ u

_r

+ ~ u

_θ

− β tan α ~ u

_z

On fabrique le vecteur tangent ~ u

t

en divisant ~ v par sa norme, car ~ v = v ~ u

t

, avec v = ||~ v|| : v = r θ ˙

s

β

²

+ 1 + β

²

tan

²

α car θ > ˙ 0 , donc ~ u

_t

= 1

q

1 + β

²

/ sin

²

α

β ~ u

_r

+ ~ u

_θ

− β tan α ~ u

_z

,

en utilisant que 1 +

_tan¹₂

α

=

_sin¹₂

α

.

2.

On applique le théorème de la résultante cinétique à la bille dans le référentiel du laboratoire R considéré galiléen, en travaillant avec ~ u

_t

:

m d~ v dt

_R

= m v ~ ˙ u

_t

+ mv d~ u

_t

dt

_R

= m~ g + N , ~

où N ~ représente la réaction du support, qui est orthogonale à ~ u

_t

en l’absence de frottements.

En projetant selon ~ u

_t

, on peut donc éliminer l’accélération normale ainsi que la réaction : m v ~ ˙ u

_t

.~ u

_t

+ mv d~ u

_t

dt

_R

.~ u

_t

= m~ g.~ u

_t

+ N .~ ~ u

_t

⇔ v ˙ = −g~ u

_z

.~ u

_t

= gβ tan α

^q

1 + β

²

/sin

²

α c’est-à-dire ˙ v = gβ cos α

p

sin

²

α + β

²

= constante . On a utilisé que

^d~^u^t

dt

_R

.~ u

_t

= 0 car ||~ u

_t

|| = constante .

3.

En intégrant avec une vitesse initiale nulle, on obtient v(t) = gβ cos α

p

sin

²

α + β

²

t .

Les équations différentielles portant sur les coordonnées sont obtenues par identification des composantes de ~ v = v.~ u

_t

, ce qui donne d’abord :

˙

r(t) = β v(t)

q

1 + β

²

/ sin

²

α

= gβ

²

cos α sin α

sin

²

α + β

²

t ⇒ r(t) = gβ

²

cos α sin α 2(sin

²

α + β

²

) t

²

+ r

0

, puis

θ(t) = ˙ v(t) r(t)

^q

1 + β

²

/ sin

²

α

= r(t) ˙

βr(t) ⇒ θ(t) = 1 β ln

r(t) r

0

,

et enfin

˙

z(t) = − β v(t) tanα

^q

1 + β

²

/ sin

²

α

= − 1

tan α r(t) ˙ ⇒ z(t) = − 1

tan α r(t) = − gβ

²

cos

²

α 2(sin

²

α + β

²

) t

²

+ z

0

avec z

0

= − r

0

tan α .

Remarque : on retrouve bien un mouvement circulaire horizontal dans les cas particuliers β = 0 ou α =

^π₂

.

4.

En projetant le théorème de la résultante cinétique m

^d~_dt^v

R

= m~ g + N ~ selon ~ u

_z

, on obtient m¨ z = −mg + N

_z

⇒ N

_z

= mg 1 − β

²

cos

²

α

sin

²

α + β

²

!

= constante .

Remarque : de nouveau, on vérifie dans le cas du mouvement circulaire horizontal (β = 0 ou α =

^π₂

) que cela donne N

_z

= mg. Dans ce cas la réaction normale compense simplement le poids, ce qui est cohérent.

3