I. Planètes extra-solaires

PCSI 1 - Stanislas DM de PHYSIQUE N^◦7 - 11/03/20 - CORRIGÉ A. MARTIN

MÉCANIQUE

I. Planètes extra-solaires

1. a)La force exercée par l’étoile sur la planète s’écrit −→

F =−GmM EP³.−−→

EP=−GmM

r² .~er, qu’on notera F(r)~e_r. Pour calculer l’énergie potentielle d’interaction, on peut supposer l’étoile fixe et donc seule- ment la force de l’étoile sur la planète.

δW=−→ F .d−−→

EP=F(r)~e_r.(dr~e_r+rd~e_r) =F(r)dr

car~e_r.d~e_r= 0 (car il est de norme constante). On en déduitδW=−dE_p(r) en posantE_p(r) =−GmM r , qui est bien nulle à l’infini.

b)On note~vla vitesse de la planèteP dansR. Le théorème du moment cinétique appliqué àP au pointEfixe dansRgaliléen s’écrit :

d~σ(E) dt

_R

=−−→ EP∧−→

F =r~e_r∧F(r)~e_r=~0 ⇒ ~σ(E) =−−→

EP∧m−→v =−−−−−−→

constante =~σ0.

Ainsi, à tout instant le vecteur position−−→

EPest orthogonal au moment cinétique constant~σ0, donc la trajectoire du mouvement appartient au plan orthogonal à~σ0passant parE.Le mouvement est donc plan.

2. a)On utilise les coordonnées et la base polaires dans un repère centré sur l’étoileE. Pour un mouvement circulaire de rayona, le Théorème de la Résultante Cinétique (TRC) dansRgaliléen conduit à

−maθ˙²=−K

a² selon ~u_r , avec K=GM m .

Ceci conduit à ˙θ²=^GM_a3, qui est une constante doncle mouvement est uniforme(ce qui découle aussi de la conservation du moment cinétique).La vitesse angulaire est donc égale à sa valeur moyenne:

θ˙ = ^2π

T

θ˙² = ^GM

a³







=⇒ a³ T² =GM

4π²

qui est la3ème loi de Kepler. Ainsi le rapport^a_T³2pour la trajectoire d’un satellite pour un même astre central fixe est le même quelque soit le satellite.

b)En prenant la masse du Soleil pour 51-Peg on obtient a= GMST² 4π²

!¹

3

= 7,4×10⁹m = 0,049 u.a.

3. a)La trajectoire elliptique est un état d’état d’énergie mécanique constanteE_m=¹₂mv²−^{GM m}

r² . Donc par conservation, la distance au centre de forcerdiminue lorsquevaugmente et vice versa.

Ainsila vitesse maximalev_Mest obtenue pourr_M minimale, donc au périastre(ou péri- centre).

Inversementla vitesse minimalevmest obtenue pourr_M maximale, donc à l’apoastre(ou apocentre).

b)Le moment cinétique deP enEest conservé, et s’écrit~σ(E) =mr~u_r∧( ˙r~u_r+rθ~˙u_θ) =mr²θ ~˙u_z. Il est constant doncC=r²θ˙est constante. À l’apocentre et au péricentre ˙r= 0 donc~v=rθ~˙u_θ=^C_r~u_θ

1

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en ces positions. On en déduit |C|=r_mv_m=r_Mv_M.

On rappelle quer_m=rmax=a+cetr_M=rmin=a−cici. D’où v_m

v_M=r_M r_m=a−c

a+c=1−^a_c

1 +_a^c ⇔ v_m v_M =1−e

1 +e . Ce rapport est bien positif care <1 pour une ellipse.

SCHEMA ellipse,a,c,rmaxetrmin.

Autre méthode possible (pas celle suggérée par cet énoncé...) : introduire l’équation polaire de la trajectoire et la paramètrep,r=_{1+ecos(θ−θ}^p

0). On en déduitr_m=rmax=_1−e^p etr_M=rmin=_1+e^p , d’où le résultat.

c) La relation précédente repose sur la conservation du moment cinétique, donc il faut maintenant chercher une relation issue de la conservation de l’énergie. Pour une trajectoire elliptique on aE_m=

−_2a^K, donc dans le but de réutiliser le résultat précédent :

K

rm = ¹₂mv²_m+^K_2a

K

rM = ¹₂mv²_M+_2a^K







⇒r_M r_m =

v_m² v²_M+^GM

av_M²

1 +^GM

av_M²

⇔ 1−e 1 +e=

(1−e)² (1+e)²+^GM

av²_M

1 +^GM

av_M²

⇔ GM av²_M

2e

1 +e=1−e 1 +e

1−1−e

1 +e

=1−e 1 +e

2e

1 +e ⇔ v_M= sGM

a . s1 +e

1−e . Cette vitesse devient infinie poure→1 car alorsc→a(qui est fixé et fini) et donc le péricentre est confondu avec le centre de force, d’où une énergie potentielle infinie négative.

Méthode plus rapide que celle suggérée par l’énoncé : 1

2mv_M² = K r_M−K

2a avec r_M=a−c=a(1−e). . . d’où le résultat.

d)En2.a)on a trouvé ˙θ²=^GM_a3. Or pour un mouvement circulairev0=||~v0||=a|θ|, d’où˙ v0= sGM

a et v_M

v0

= s

1 +e

1−e . On retrouve bienv_M=v0pour un mouvement circulaire, pour lequele= 0.

Application numérique : ^v_v^M

0 ≈2,3 pour 16 CygB.

4. a) Le barycentre est défini par m−−→ OP+M−−→

OE=~0 ⇔ −−→ EO= m

m+M

−−→ EP, d’où

V~ =d−−→ OE dt

_R

=−m M

d−−→ OP dt

_R

=−m

M~v ⇒ V =m Mv .

b)La loi de Kepler trouvée précédemment pourvdonnait pour un mouvement circulairev= ^2πa_T =

2π T

_{GM T}2 4π²

¹₃

=^2πGM_T

1

3. D’où V =m 2πG

M²T ¹₃

.

c) On en déduit m=V M²T 2πG

!¹₃

≈9×10²⁶kg. Il s’agit d’uneplanète géante.

5. On peut réutiliser la relation trouvée en4.a)d’oùm=M^V_v^M

M, et celle trouvée en3.d):v_M=v0 q1+e

1−e

avecv0 =^2πGM_T

1

3 d’après4.b). Ceci conduit à m=V_M M²T 2πG

!¹

3 s

1−e

1 +e ≈7×10²⁵kg∼10M_T. Cette planète est doncprobablement telluriquecar de masse plus proche de celle de la Terre.

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