EXERCICE 2 (5 points )
Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
Les parties A et B sont indépendantes.
On considère l’équation ( E ) :
z
3− (4 + i ) z
2+ (7 + i ) z − 4 = 0.
où z désigne un nombre complexe.
Partie A
1. a) Montrer que ( E ) admet une solution réelle, notée z
1.
b) Déterminer les deux nombres complexes a et b tels que, pour tout nombre complexe z, on ait : z
3− (4 + i)z
2+ (7 + i)z − 4 = (z − z
1)(z − 2 − 2i)(az + b).
2. Résoudre (E).
Partie B
Dans le plan muni d’un repère orthonormal direct (O, − → u , → − v ), on considère les trois points A, B et C d’affixes respectives 1, 2 + 2 i et 1 − i.
1. Représenter les points A, B et C.
2. Déterminer le module et un argument de 2 + 2i
1 − i . En déduire la nature du triangle OBC.
3. Que représente la droite ( OA ) pour le triangle OBC ? Justifier votre affirmation.
4. Soit D l’image de O par la rotation d’angle − π
2 et de centre C. Déterminer l’affixe de D.
5. Quelle est la nature de OCDB ?
3
EXERCICE 2 Partie A
1) a)Soitx∈R.
x3− (4+i)x2+ (7+i)x−4=0⇔(x3−4x2+7x−4) +i(−x2+x) =0
⇔
x3−4x2+7x−4=0 et
−x(x−1) =0
(puisquexest réel)
⇔
x=0
et
x3−4x2+7x−4=0 ou
x=1
et
x3−4x2+7x−4=0
⇔x=1(car1−4+7−4=0et0−0+0−46=0).
z1=1.
b)Soienta, bet ztrois nombres complexes.
(z−1)(z−2−2i)(az+b) = (z2+ (−2−2i−1)z− (−2−2i))(az+b) = (z2− (3+2i)z+ (2+2i))(az+b)
=az3+ (−(3+2i)a+b)z2+ ((2+2i)a− (3+2i)b)z+b(2+2i).
En considérant les coefficients dez3et de z0, on choisit alorsaet btels quea=1et b(2+2i) = −4. On a b(2+2i) = −4⇔b= −4
2+2i ⇔b= − 2
1+i ⇔b= − 2(1−i)
(1+i)(1−i) ⇔b= −2(1−i)
12+12 ⇔b= −1+i.
Maintenant, sia=1et b= −1+ialors
−(3+2i)a+b= −(3+2i) −1+i= −(4+i), et
(2+2i)a− (3+2i)b= (2+2i) − (3+2i)(−1+i) =2+2i+5−i=7+i.
Par suite,
pour tout nombre complexez,z3− (4+i)z2+ (7+i)z−4= (z−1)(z−2−2i)(z−1+i).
2) Soitz∈C.
z3− (4+i)z2+ (7+i)z−4=0⇔(z−1)(z−2−2i)(z−1+i) =0⇔z=1ouz=2+2iouz=1−i.
En notantS l’ensemble des solutions de l’équation(E), on a donc S ={1, 2+2i, 1−i}.
Partie B
1) Voir graphique à la fin de l’exercice.
2) 2+2i
1−i = 2(1+i)2
(1−i)(1+i) = 2(1+2i−1)
12+12 =2i=2eiπ/2et donc
2+2i
1−i
=2et arg
2+2i 1−i
= π 2 [2π].
On en déduit que
−OC,→ −OB→
=arg zB
zC
=arg
2+2i 1−i
= π 2 [2π].
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Par suite,
le triangleOBCest rectangle enO.
3) On azB =2+2i=2√ 2
1
√2 + 1
√2i
=2√
2eiπ/4. Donc(−−→ OA,−→
OB) = (−→u ,−→
OB) =arg(zB) = π 4. De même,zC=1−i=√
2e−iπ/4. Donc(−→
OC,−−OA) = −arg(z→ C) = π 4. Par suite,(−OC,→ −−OA) = (→ −−OA,→ −OB)→ et on a montré que
la droite(OA)est la bissectrice de l’angleOb du triangleOBC.
4) L’expression complexe de la rotation de centreCet d’angle−π 2 est
z′=e−iπ/2(z−zC) +zC= −i(z−1+i) +1−i= −iz+2, et en particulier
zD= −i×0+2=2.
zD =2.
5) On sait déjà que l’angleCOB[ est un angle droit. D’autre part, puisque−→ CO,−→
CD
= −π
2, l’angle\OCDest également un angle droit. On en déduit que
le quadrilatèreOCDNest un trapèze rectangle.
1 2 3
1 2
−1
b b
b
b b
O
A
B
C
D
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