ENAC Physique toutes filières 2007 — Corrigé

(1)

c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 1/17

ENAC Physique toutes filières 2007 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Alban Sauret (ENS Lyon) ; il a été relu par Emmanuel Bourgeois (ENS Lyon) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE).

Cette épreuve est constituée de six parties totalement indépendantes, chacune traitant d’un domaine du programme de première année : mécanique, avec l’étude d’un pendule soumis à une accélération ; optique, où des questions de cours sur les lentilles et sur un système optique sont posées ; électricité ; thermodynamique, avec l’étude d’un gaz parfait ; électrostatique, où l’on s’intéresse au champ qui dérive du potentiel de Yukawa ; et enfin magnétostatique.

Bien que ce QCM comporte 36 questions, il est demandé de ne répondre qu’à 24.

Ceci permet de ne pas traiter les parties du programme qui n’ont pas encore été étudiées lorsque se tient l’épreuve.

Les raisonnements nécessaires à la résolution de ces exercices sont proches du cours et les questions au sein de chaque exercice s’enchaînent bien, ne demandant que peu de calculs en général.

Il faut garder à l’esprit que cette épreuve est un QCM de deux heures seule- ment. Ainsi, tous les raisonnements permettant d’écarter des réponses fausses sont les bienvenus afin de perdre le minimum de temps : utilisation de l’homogénéité d’une relation, calcul d’ordre de grandeur des valeurs numériques à trouver, raisonnement sur des cas particuliers plus simples à traiter, etc. Les parties d’électricité et de thermodynamique de cet énoncé commencent par des questions qui nécessitent un peu de réflexion ; il est judicieux d’y consacrer le temps nécessaire car elles sont indispen- sables pour aborder les suivantes, qui sont beaucoup plus faciles.

Téléchargé gratuitement surwww.Doc-Solus.fr.

(2)

Indications

Mécanique

6 Linéariser l’équation obtenue à la question 4 en posantθ =θ0+ε avecε ≪ 1.

Penser aux formules de trigonométrie cos (Arctan (x)) = 1

√x²+ 1 et sin (Arctan (x)) = x

√x²+ 1

Optique

9 Le système doit être afocal, c’est-à-dire que le plan focal image de la première lentille doit être confondu avec le plan focal objet de la seconde lentille.

12 Le grandissement transversal du système est le produit du grandissement transversal de chaque lentille.

Électricité

13 La moyenne d’un produit de deux fonctions sinusoïdales est ha bi= 1

2Re(a·b^⋆)

17 Reprendre l’expression de la puissance trouvée à la question 13 et la ramener à une équation du second ordre enR1.

18 La tension aux bornes du générateur est en phase avec le courant qu’il débite si l’admittance est réelle.

Thermodynamique 19 Utiliser la première loi de Joule et la relation de Mayer.

21 Le système à considérer est le gaz uniquement. Initialement il n’y a pas de parti- cules dans le volumeVB.

23 Effectuer un raisonnement à l’aide de l’identité thermodynamique et la différen- tielle logarithmique de l’équation d’état des gaz parfaits.

Électrostatique

30 Appliquer le théorème de Gauss sur une sphère de rayon R dans les deux cas limites oùR = 0et R−→⁺∞.

31 Utiliser le principe de superposition.

Magnétostatique 34 Appliquer le théorème d’Ampère.

(3)

Mécanique

1 Plaçons-nous dans le référentiel terrestre supposé galiléen et étudions le point matériel P. Les forces qui s’exercent sur le pendule sont son poids, d’une part, et la tension du fil, d’autre part (en négligeant les forces de frottement). Or, la force de tension est orientée perpendiculairement au mouvement, son travail est donc nul.

• L’énergie cinétique du pendule s’écrit : Ec= 1

2m

ℓdθ dt

²

• L’énergie potentielle de pesanteur est, en prenant comme origine la position d’équilibre du pendule(θ= 0),

Ep= 1

2m g ℓ(1−cosθ)

Le système n’est donc soumis qu’à des forces conservatives (poids) ou qui ne tra- vaillent pas. Par suite son énergie mécanique se conserve.

Ec+ Ep= C^te

Si on dérive cette expression par rapport au temps, on obtient dθ

dt d²θ

dt² +g ℓsinθ

= 0

En éliminant la solutionθ˙= 0, on déduit alors l’équation d’évolution du pendule d²θ

dt² +g

ℓsinθ= 0

Cette équation peut aussi se retrouver avec le théorème du moment cinétique, comme à la question 4.

Dans le cadre des petits mouvements,θ ≪ 1 d’où sinθ≃θ. L’équation précédente devient alors

d²θ dt² +g

ℓθ= 0

On reconnaît l’équation d’un oscillateur harmonique, la période est donc donnée par T = 2π

rℓ g

d’où ℓ= gT²

4π² = 0,248 m

A B C D E

L’énoncé semble confondre la notion de référentiel, qui est un concept physique, avec la notion de repère, qui est un outil mathématique permettant de projeter des équations.

(4)

c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 4/17 2 La force d’inertie d’entraînement s’écrit

−

→Fie=−m→−a (R^′/R) =−m a−→ex

Le moment −→ M^O^′(−→

Fie) par rapport au point O^′ fixe dans R^′ de la force d’inertie d’entraînement qui s’applique au pointPdans le référentielR^′ est

−→M^O^′(−→

Fie) =−−→

O^′P∧−→

Fie= (ℓsinθ−→ex−ℓcosθ−→ey)∧(−m a−→ex) Compte tenu du fait que(−→ex,−→ey,−→ez)est une base directe,

−→M^O^′(−→

Fie) =−m aℓcosθ−→ez

A B C D E

3 Le référentiel R^′ est en translation par rapport à R, ainsi la force d’inertie de Coriolis,−→

Ficqui s’applique au point P dansR^′, est nulle. On conclut donc

−→ M^O^′(−→

Fic) =−→0

A B C D E

On peut étudier l’homogénéité des relations proposées, ce qui permet d’éli- miner les réponses A et C.

4 Appliquons le théorème du moment cinétique enO^′, point fixe dansR^′, qui s’écrit d−→

L^O^′ dt =−→

M^O^′(−→ P ) +−→

M^O^′(−→ Fie) La vitesse du point P dansR^′ est

−→VP = d−−→

O^′P dt

= d(ℓ sinθ−→ex−ℓcosθ−→ey)

−→ dt VP =ℓdθ

dt(cosθ−→ex+ sinθ−→ey)

Cela permet de déterminer la dérivée du moment cinétique par rapport àO^′dansR^′: d−→

L^O^′

dt = d−−→

O^′P∧(m−→

VP)

dt =m ℓ²d²θ dt²−→ez

Le moment−→

M^O^′(−→P )par rapport àO^′ du poids du point P de massemest

−→ M^O^′(−→

P ) =−−→

O^′P∧(−m g−→ey) =−m g ℓsinθ−→ez

Le théorème du moment cinétique, appliqué en O^′ dans R^′ au point matériel P, conduit alors, en projection suivant−→ez, à l’équation différentielle

m ℓ²d²θ

dt² =−m g ℓsinθ−m a ℓcosθ

Finalement, d²θ

dt² =−g

ℓsinθ−a ℓcosθ

A B C D E