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ENAC Mathématiques toutes filières 2000 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Vincent Nesme (ENS Ulm) et Sébastien Desreux (ENS Ulm) ; il a été relu par Yacine Dolivet (ENS Ulm) et Pierre-Yves Rivaille (ENS Lyon).
L’épreuve se compose de deux problèmes indépendants.
Le premier problème, qui porte sur l’analyse, vise à étudier quelques résultats tournant autour d’une équation différentielle. Il fait appel aux fonctions ch et sh, dont on doit connaître les variations et les dérivées, ainsi qu’aux développements limités et aux intégrales (en particulier le théorème d’intégration par parties).
Le second problème est consacré à l’étude sommaire d’une application linéaire entre deux espaces vectoriels ne possédant pas la même dimension. Il fait appel à des manipulations simples de matrices et à des considérations autour du théorème de la dimension.
Cette épreuve est particulière pour deux raisons.
Premièrement, c’est un QCM. Une réponse partielle ou en partie fausse ne donne pas de point ; il faut donc être sûr de sa réponse, ce qui est d’autant plus difficile que l’énoncé est par endroits ambigu ; il faut alors se demander s’il s’agit d’un piège ou d’une simple négligence de l’auteur du sujet.
Deuxièmement, il y a 30 questions mais il ne faut répondre qu’à 25 d’entre elles.
Il s’agit de se montrer sage dans le choix des réponses, d’autant plus que, comme nous le verrons, les réponses proposées sont truffées de pièges. Il faut savoir choi- sir selon son tempérament ; vous sentez-vous plus assuré avec une courte réponse théorique ou une longue réponse calculatoire ? Si les deux vous conviennent, nous vous conseillons d’écarter en premier les questions pour lesquelles au moins l’une des réponses proposées est ambiguë (en particulier les questions 15, 18 et 24).
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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 2/21
Indications
Partie I
Avant toute chose, étudier la parité def. 1 Se ramener à un terme de la forme 1
1−u, oùutend vers0.
2 Exploiter la parité dexchx−sh x.
4 Utiliser la définition de la dérivée en un point.
5 Exploiter les résultats de la question 3.
6 Prendre garde aux justifications proposées.
8 Étudierf(x)−xet utiliser la parité def. 9 Penser au recollement en0.
10 PrendreA = 1pour y0. 13 Peut-on intégrer les DL ? 14 Intégrer par parties.
16 Utiliser le résultat de la question 13.
17 Utiliser l’expression def et celle de G trouvée à la question 14.
19 Intégrer par parties.
20 C’est une application directe de la question 19.
21 Se ramener à un développement limité au voisinage de0.
Partie II
23 Utiliser la définition de la matrice associée à une application linéaire.
27 Utiliser le théorème du rang.
28 Les lignes de M sont proportionnelles entre elles ; ses colonnes également.
29 Quand peut-on définir le produit de deux matrices ?
30 Que peut-on dire d’une matrice à la fois symétrique et antisymétrique ? Quand peut-on calculer le déterminant d’une matrice ?
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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 3/21
Partie I
Dans toute cette partie, même si cela n’est pas stipulé dans l’énoncé, ε désigne à chaque question une application définie sur un voisinage de 0 à valeurs dans R telle que lim
x→0ε(x) = 0 (sauf à la question 21). C’est une fonction « générique », une notation, dans le sens où l’on considère qu’elle peut changer d’une ligne à l’autre pendant le calcul sans que son nom change.
Remarquons qu’il faudrait s’assurer que εest intégrable, puisqu’on l’in- tègre dans le sujet. Mais en fait chaqueεest continue (donc intégrable).
Enfin, il est judicieux d’étudier la parité de la fonction f dès à présent.
Les fonctionsx∈R7→xchx−shxetx∈R7→chx−1étant respectivement impaire et paire,
f R∗ est impaire.
Ce résultat sera souvent utile par la suite. En particulier, dans tout dévelop- pement limité def en0, les termes de degré pair doivent être nuls.
1 La fonction ch est la partie paire de l’exponentielle. Par suite, son DL en 0 à l’ordre 5 est la partie paire du DL en 0 à l’ordre 5 de l’exponentielle, soit
chx−1 = x2 2 +x4
24+x5ε(x)
Pour calculer le DL en 0 de1/(chx−1), il faut utiliser celui de1/(1−u): 1
1−u= 1 +u+u2+u3+. . .+un+un+1ε(u)
donc 1
chx−1 = 1 x2
2 +x4
24+x5ε(x)
= 2 x2
1 1 + x2
12+x3ε(x)
soit 1
chx−1 = 2 x2
1−x2
12 +x3ε(x)
A B C D E
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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 4/21
2 Supposons que l’on ait trouvé un DL en 0 à l’ordrende la fonctionx7→xchx−
shx(il se termine parxnε(x)). Pour trouver celui def, il faut multiplier le premier DL par celui de1/(ch x−1), dont la partie principale est2/x2. Ce faisant, on abaisse de 2 l’ordre du développement limité.
Pour obtenir un développement limité defà l’ordre 3, il faut effectuer un développement limité de la fonctionx7→xchx−sh xà l’ordre5.
Au voisinage de 0,
chx= 1 +x2 2 +x4
24+x5ε(x) shx=x+x3
6 + x5
120+x6ε(x) Par conséquent : xchx−shx= x3
3 +x5
30+x6ε(x)
La réponse d) pouvait être exclue d’emblée car la fonctionx7→xchx−sh xétant impaire, tous les termes pairs de son DL en0 doivent être nuls.
A B C D E
3 Au voisinage de 0, on a : f(x) =
x3 3 +x5
30+x6ε(x) 2 x2
1−x2
12+x3ε(x)
= 2x
3 +x3
15+x4ε(x) 1−x2
12+x3ε(x)
= 2x 3 −x3
18+x3
15+x3ε(x) f(x) = 2x
3 +x3
90+x3ε(x) On en déduit lim
x→0f
R∗ (x) = 0, d’où :
f est continue sur Rsi est seulement sil= 0.
Dans la suite de cette partie, on pourra utiliserf(0) = 0.
A B C D E
4 La justification donnée en a) est bien sûr absolument fausse. Par exemple, l’ap- plicationx∈R7→ |x| est continue surR, mais pas dérivable en0.
La justification donnée en b) est également erronée. Par exemple, si g est une fonction dérivable surR, alors sa restriction à R∗ prolongée en 0 par la valeurg(0) est dérivable surR, puisque les deux fonctions sont identiques.
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