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ENAC Physique toutes filières 2008 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Alban Sauret (ENS Lyon) ; il a été relu par Stéphane Ravier (Professeur en CPGE) et Jean-Julien Fleck (Professeur en CPGE).
Cette épreuve est un questionnaire à choix multiples constitué de six parties indépendantes s’appuyant sur le programme de première année. Les thèmes suivants sont abordés :
• électrocinétique, avec l’étude d’un filtre du premier ordre et, à la fin, l’étude d’un montage à amplificateur opérationnel particulier : un déphaseur ;
• optique, où l’on s’intéresse aux caractéristiques d’une loupe ;
• mécanique, avec l’étude d’un satellite ;
• thermodynamique, avec le cycle d’un moteur diesel ;
• électrostatique, où l’on calcule le potentiel et le champ électrique le long de l’axe d’un disque uniformément chargé.
Ce QCM comporte 6 questions par partie, soit 36 questions. Néanmoins il ne faut répondre qu’à 24 d’entre elles. L’épreuve se tenant tôt dans l’année, cela permet de passer les parties qui n’ont pas encore été vues en cours.
Toutes ces parties sont proches du cours et caractéristiques des épreuves de l’ENAC : on peut retrouver le thème de plusieurs de ces parties, comme l’étude d’un satellite ou de la loupe, dans les sujets de l’ENAC et de l’ICNA des années précé- dentes. De plus, au sein de ces parties, les questions s’enchaînent bien et ne posent en général pas de difficulté particulière.
Il ne faut pas oublier que cette épreuve est un QCM. De ce fait, les raisonnements permettant d’écarter rapidement les mauvaises réponses sont les bienvenus : étude de l’homogénéité des relations proposées, raisonnement effectué dans des cas particuliers, calcul d’ordres de grandeur, etc.
La première question de certaines parties demande de la réflexion, mais elle permet de traiter la suite assez rapidement : il est donc judicieux d’y consacrer un peu de temps.
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Indications
Électricité
4 À la dérivation temporelle de la fonction correspond une multiplication parjωde la valeur complexe associée.
Optique
8 Exprimer les angles θ et θ′ et expliciter G en fonction de Gt et de nouvelles longueurs.
Mécanique
13 Le satellite est soumis à la force de gravitation qui est une force centrale.
14 Écrire le principe fondamental de la dynamique pour un mouvement circulaire.
17 Déterminer la vitesse du satellite dansRGest équivalent à calculer celle du point coïncidant avec la surface terrestre.
Thermodynamique
19 Dans le cas d’une évolution adiabatique et réversible, on peut appliquer la loi de LaplaceP Vγ.
22 Dans le cas d’une évolution isochore,Qse calcule en utilisant l’énergie interneU; pour une évolution isobare, il est plus aisé d’utiliser la fonction enthalpie H.
24 Sur un cycle∆U = 0.
Électrostatique
25 Pour une densité surfaciqueσ, le potentiel s’écrit V(M) =
Z
S
σ 4πε0rdS
30 Envisager les termes qui changent dans les calculs effectués précédemment.
Électricité
32 |T| ne dépend pas de ω si le numérateur et le dénominateur sont complexes conjugués.
36 Établir une relation de proportionnalité entreIe etVe.
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Électricité
C R2
R1
Ve Vs
1 Le résistor de résistanceR1et le condensateur de capacité Cplacés en parallèle ont une impédance complexe équivalente égale à
1 Z = 1
R1
+ jCω
Le schéma proposé représente un pont diviseur de tension, par conséquent on peut relier la tension d’entréeVe et la tension de sortieVs par
Vs= Z R2+ ZVe
ainsi T(jω) = Vs
Ve
= 1
1 + R2/Z = 1
1 + R2(1/R1+ jCω)= 1 R1+ R2
R1
+ jR2Cω Finalement, la fonction de transfert peut s’écrire
T(jω) =
R1
R1+ R2
1 + j R1R2
R1+ R2
Cω Celle-ci est bien de la forme demandée
T(jω) = T0
1 + j ω ω0
À condition de poser T0= R1
R1+ R2
A B C D E
2 Pour que la relation établie à la question précédente ait la forme demandée, il faut en outre poser
ω0= R1+ R2
R1R2C
A B C D E
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3 Le gain en tension s’écritGdB= 20 log|T(jω)|. Ce montage est un filtre passe-bas du premier ordre, ainsi on doit avoir
ωc =ω0= R1+ R2
R1R2C
Pour que ce gain diminue de trois décibels par rapport à sa valeur maximale, il faut que la pulsationω soit telle que le module de la fonction de transfert à cette valeur soit égale à
|T(ωc)|= Tmax
√2 = T0
√2
ce qui s’écrit T0
p1 +ωc2/ω02 = T0
√2 On obtient, en simplifiant et en élevant au carré,
1 + ωc 2
ω02 = 2 Finalement, ωc=ω0= R1+ R2
R1R2C La valeur de la fréquence de coupure est alors
fc= ωc
2π = 1 2π
R1+ R2
R1R2C = 15,9 kHz
A B C D E
4 À la dérivation temporelle d’une fonction sinusoïdale de pulsationω correspond une multiplication par jω de la grandeur complexe associée. Ainsi, partant de l’ex- pression de la fonction de transfertVs/Ve, on a
Vs
1 + jω
ω0
= T0Ve
Cette relation peut s’écrire, en notation réelle et en explicitantω0et T0, R1R2C
R1+ R2
dVs
dt + Vs= R1
R1+ R2
Ve
qui est bien de la forme τdVs
dt + Vs= G0Ve
avec τ= R1R2C
R1+ R2
= 1 ω0
A B C D E
5 On déduit de la relation établie à la question précédente que G0= R1
R1+ R2
A B C D E
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