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ENAC Physique toutes filières 2003 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jean-Julien Fleck (ENS Ulm) ; il a été relu par Aurélien Fraisse (ENS Cachan) et Arnaud Gossart (Professeur en CPGE).
Ce sujet est divisé en cinq parties totalement indépendantes, qui abordent une grande part du programme de première année :
• La première partie est consacrée à l’électrocinétique. On y étudie un dispositif de mesure de fréquence par équilibrage d’un pont d’impédances.
• La deuxième traite d’électrostatique et de magnétostatique par l’étude des in- teractions de deux fils infinis chargés ou parcourus par des courants.
• La troisième présente un filtre linéaire à amplificateur opérationnel.
• La quatrième étudie la cinématique de la chute d’une barre, connaissant le mouvement de ses extrémités. Il s’agit principalement de géométrie dans le plan et dans l’espace.
• La cinquième partie, quant à elle, traite d’optique géométrique via un système de trois lentilles qui généralise le principe de la lunette de Galilée.
Ce sujet est plutôt facile puisque constitué d’une juxtaposition de cinq exercices de type « colles » ne comportant généralement qu’une seule question un peu calculatoire.
Chaque partie permet de vérifier que l’on a bien compris les chapitres du programme correspondants par des questions d’application du cours quasi-directes.
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Indications
Électrocinétique
1 Faire un schéma faisant apparaître très clairement les différentes mailles du circuit, puis exprimerVCet VD en fonction deVB et E grâce à des diviseurs de tension.
Électrostatique et magnétostatique
5 Utiliser les symétries du système pour appliquer le théorème de Gauss.
7 Différentier la relationtanθ=HM
d pour obtenirdℓen fonction de dθ.
9 Utiliser les symétries du système pour appliquer le théorème d’Ampère.
11 Projeter−e→ϕsur−→exet −→ey.
Filtre linéaire à amplificateur opérationnel
13 Utiliser les deux propriétés d’un amplificateur opérationnel en régime linéaire pour éliminerVA etVB de la relation de Millman en B.
Cinématique
19 Le théorème d’Al Kashi s’écrit, pour un triangle ABC quelconque, AC2= AB2+ BC2−AB·BC cosABC[
20 Utiliser le fait queρest la projection de du segment [AB] sur le plan(xOy).
21 La projection de J sur le plan(xOy)est le milieu du segment [OB].
23 Une valeur moyenne sur un temps T se calcule par la formule hfi= 1
T Z T
0
f(t) dt
Optique géométrique
27 La lentilleL2ne joue aucun rôle pour des rayons en provenance de l’infini.
28 Utiliser la formule de conjuguaison de Newton FA×F′A′=−f′2
30 Exprimer le grandissement γ en fonction de p ou p′ uniquement à l’aide de la formule de Descartes.
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I. Électrocinétique
1 Trouver la force électromotrice de Thévenin re- vient à calculer la différence de potentiel entre les bornes C et D à vide (on parle de tension de circuit ouvert). La difficulté principale est bien souvent de redessiner le circuit pour bien identifier les quantités à calculer. Dans cette optique, le circuit se réarrange comme sur le schéma ci-contre.
On reconnaît ainsi deux diviseurs de tension :
VD−VB = R R +nRE VC−VB = Z2
Z1+ Z2
E
d’où VD−VC = 1
n+ 1 − Z2
Z1+ Z2
E
Eth = Z1−nZ2
(n+ 1) (Z1+ Z2)E
V
C V
B E D
C
B A
R
Z
1
Z
2
i
CB i
DB
nR V
D V
B
Une autre méthode, efficace à coup sûr, consiste à utiliser la loi des nœuds et la loi des mailles. On a ainsi
E =iDB(nR + R) et E =iCB(Z1+ Z2) De plus iDBR = VD−VB et iCBZ2= VC−VB
d’où VD−VC=iDBR−iCBZ2
VD−VC= 1
n+ 1 − Z2
Z1+ Z2
E
Eth = Z1−nZ2
(n+ 1) (Z1+ Z2)E ce qui mène bien au même résultat.
Remarquons que le choix, fait par l’énoncé, de représenter un générateur de tension alternative par le symbole d’un générateur de tension continue n’est pas des plus heureux. Nous conservons néanmoins cette notation qui a le mérite de rappeler comment remplacer le générateur lors du calcul de l’impédance équivalente d’un circuit : lorsqu’on enlève le cercle, le générateur de tension se transforme en fil tandis que le générateur de courant fait office d’interrupteur ouvert.
A B C D E
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2 Pour calculer l’impédance équivalente, on éteint les sources indépendantes du circuit en remplaçant les sources de tension par des fils et les sources de courant par des interrupteurs ouverts. Ici, seule la source de tensionEdevient un fil et on a
Z
2 B A
D
C
R nR
Z
1
qui devient
C R
eq
Z
eq D
avec 1
Req
= 1 R+ 1
nR et 1 Zeq
= 1 Z1
+ 1 Z2
où l’on somme les conductances car il s’agit de montages parallèles. Il ne reste plus qu’à additionner les impédances restantes (assemblées en série) pour obtenir
Zth = nR
n+ 1 + Z1Z2
Z1+ Z2
A B C D E
3 Le courant est nul dans la branche CD lorsque Eth= 0
c’est-à-dire Z1=nZ2
ou encore Z1Y2=n
Un condensateurC1 en série avec une résistanceR1 a une impédance Z1= ZC1 + ZR1 = 1
jC1ω + R1
Un condensateurC2 en parallèle avec une résistanceR2a une conductance Y2= YC2+ YR2 =jC2ω+ 1
R2
La condition d’équilibreZ1Y2=ns’écrit alors 1
jC1ω + R1 jC2ω+ 1 R2
=n
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