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ENAC Mathématiques toutes filières 2002 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Xavier Goaoc (ENS Cachan) ; il a été relu par Sébastien Gadat (ENS Cachan) et Éric Ricard (agrégé de mathématiques).
Cette épreuve est composée de trois parties indépendantes. Les deux premières traitent de polynômes, l’une du point de vue de l’analyse et l’autre sous l’angle de l’algèbre linéaire. La troisième partie, quant à elle, étudie une suite définie par des intégrales. D’une manière générale, les questions sont assez mal posées, probablement pour juger du sens critique des candidats.
• La première partie, la plus longue, porte sur les polynômes de Tchebychev.
Il s’agit de passer en revue diverses propriétés de ces polynômes, puis de les expliciter. On utilise au passage un peu d’arithmétique et quelques propriétés des solutions polynomiales d’une équation différentielle.
• La seconde partie s’intéresse à l’application linéaire f:
(E −→E
P 7−→(X7→P(X)−P(X−1))
oùEest l’espace des polynômes à une indéterminée. On se limite essentiellement à l’étude de la restriction de f à un sous-espace de dimension finie. On y manipule l’écriture matricielle def dans différentes bases.
• La dernière partie étudie les classiques intégrales de Wallis, c’est-à-dire la suite (In)n∈Ndéfinie par
In = Z π2
0
sinnxdx
Cette partie fait intervenir quelques outils classiques d’analyse ainsi que des raisonnements par récurrence.
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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 2/15 Indications
Partie I 1 MultiplierP
p q
parqn.
2 Utiliser la question 1 et le théorème des valeurs intermédiaires.
3 ExprimerPn en se servant de la formule de Moivre.
6 Utiliser la formule obtenue à la question 3 ainsi que la question 5.
7 Chercher les racines qui se trouvent dans [−1,1]et conclure en utilisant le degré dePn.
11 Appliquer le résultat de la question 9. Remarquer qu’une relation entre polynômes vraie sur[−1,1]est vraie sur toutR.
12 Pour décider des réponses C et D, utiliser le fait que deux suites coïncident si et seulement si elles ont même terme initial et suivent la même relation de récurrence.
13 Montrer quePnsatisfait aux hypothèses du polynômeQnde la question 12 (pour cela, on peut étudier sa parité) puis en utiliser le résultat.
14 Appliquer le théorème de Bézout.
15 Utiliser le résultat de la question 14.
Partie II
17 S’intéresser au degré de l’image d’un polynôme parf. 21 On peut utiliser le théorème du rang.
22 Montrer que lesAi sont définis de manière unique et vérifier les expressions pro- posées par l’énoncé pour A2et A3.
24 Utiliser la propriété qui définit les(Ai)i=0, ...,3. Partie III 26 Étudier le signe deIn−In−1.
27 Penser à une intégration par parties.
30 Pour montrer la convergence, prouver que la suite(In)est minorée.
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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 3/15 Partie I
Dans les problèmes I et II, nous identifions implicitement un polynôme et la fonction polynomiale associée.
1 Considérons un polynôme P à coefficients entiers admettant p
q comme racine, avecpetq premiers entre eux. On a alors
qnP p
q
=anpn+an−1pn−1q+. . .+a0qn = 0
soit p(anpn−1+. . .+a1qn−1) =−a0qn
Doncpdivisea0qn. Commepest premier avecq, il l’est aussi avecqn. En appliquant le théorème de Gauss, on en déduit quepdivisea0. De même,
q(an−1pn−1+. . .+a0qn−1) =−anpn Et un raisonnement identique permet de conclure queqdivisean.
A B C D E
La réponse C a été écartée en raison de sa justification insuffisante.
2 Si f admet une racine rationnelle p
q, avecp et q premiers entre eux, alors, en appliquant le résultat de la question 1,pdivise−1et qdivise1. Par conséquent, les seuls rationnels qui peuvent être racines def sont1et−1. Calculons les valeurs que prendf en ces deux points :
f(1) =−1 et f(−1) = 1
Il s’ensuit que la réponse B est fausse, puisquef n’admet aucune racine rationnelle.
D’autre part, un polynôme P de degré impair a toujours au moins une racine réelle. En effet,
x→+∞lim P(x) = +∞ et lim
x→−∞P(x) =−∞
Il existe donc deux réelsaetbtels queP(a)>0etP(b)<0. Comme une fonction po- lynôme est continue, il suffit d’appliquer le théorème des valeurs intermédiaires pour obtenir l’existence d’une racine réelle entreaetb. La réponse C est donc incorrecte.
Pour déterminer si la réponse D est vraie, examinons le signe def aux bornes de l’intervalle proposé :
f −
√3 3
!
= 2√ 3
9 −1<0 et f −
√3 3
!
=−2√ 3
9 −1<0
Le signe def étant le même aux extrémités de l’intervalle, f s’y annule un nombre pair de fois, si l’on compte les racines avec leurs multiplicités. Si f a deux racines complexes conjuguées et une racine réelle, cette dernière est de multiplicité1(carf est de degré 3). Il en résulte que la réponse D est elle aussi fausse.
A B C D E
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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 4/15 On peut d’emblée écarter la réponse A puisque le nombre de racines réelles d’un polynôme n’est pas caractérisé par le nombre de racines de sa dérivée (considérer les polynômes X2,X2+ 1et X2−1par exemple).
3 Fixonsn∈Net exprimonsPn au moyen de la formule de Moivre.
∀t∈R (cost+isint)n= cos(nt) +isin(nt)
Or (cost+isint)n=
n
P
k=0
Ckniksinktcosn−kt
Donc cosnt=
E(n2) P
k=0
C2kn (−1)ksin2ktcosn−2kt
ou encore cosnt=
E(n2) P
k=0
C2kn (−1)k(1−cos2t)kcosn−2kt
Donc Pn est un polynôme de degrénà coefficients entiers relatifs.
La fonctioncosest surjective de Rdans [−1,1]. Par conséquent, si un polynôme Qvérifie
∀t∈R Q(cost) = cosnt
alorsQcoïncide avecPn sur l’intervalle [−1,1], ce qui implique queQ = Pn. Donc, pour toutn, Pn est défini de manière unique.
A B C D E
Les propositions A et B peuvent être rapidement écartées en observant que P0(X) = 1 etP1(X) = X.
4 Par définition de Pn, on a
P0(X) = 1 et P1(X) = X
A B C D E
5 Pour commencer, remarquons que les réponses A et B sont fausses. Pour s’en convaincre il suffit de prendrea= 0 et b= 0. La formule correcte, proche de celles proposées, est
cosacosb= 1
2(cos(a+b) + cos(a−b))
Utilisons-la pour exprimer la relation de récurrence entre les Pn. Fixons n∈N∗ et t∈R; on a
2 costcosnt= cos(n+ 1)t+ cos(n−1)t Il s’ensuit que
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