ENAC Maths toutes filières 2009 — Corrigé

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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 1/38

ENAC Maths toutes filières 2009 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Guillaume Dujardin (Chercheur à l’INRIA) ; il a été relu par Hervé Diet (Professeur agrégé) et Sophie Rainero (Professeur en CPGE).

Le sujet se compose de cinq exercices complètement indépendants.

• Le premier s’intéresse aux propriétés de l’application « valeur moyenne » définie pourf ∈C⁰(R,R)eta∈Rpar

∀x∈R r{a} ϕa(f)(x) = 1 x−a

Z x a

f(t) dt

On montre en particulier que c’est une application linéaire, on étudie son injectivité, sa surjectivité, ainsi que certaines propriétés de sa restriction à l’espace des fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal àn.

• Le deuxième exercice étudie les propriétés d’une courbe paramétrée du plan définie implicitement en coordonnées polaires, d’une hyperbole définie par une équation cartésienne, ainsi que leur lien au travers d’une inversion.

• Le troisième exercice étudie une bijection continue strictement croissante deR₊ dansR₊, sa réciproque, et des suites récurrentes réelles.

• Le quatrième exercice s’intéresse à l’espace des fonctions continues sur[−1 ; 1 ], aux sous-espaces des fonctions paires et impaires sur[−1 ; 1 ]ainsi qu’à leur lien via le produit scalaire usuel.

• Enfin, le cinquième exercice traite des solutions de l’équation aux dérivées par- tielles linéaire d’ordre 2

a∂²f

∂x² +b ∂²f

∂x ∂y+c∂²f

∂y² = 0

posée surR²lorsquec6= 0,(a, b)6= (0,0)et b²−4ac>0. On décrit l’ensemble des solutions à l’aide d’un changement de variables(x, y)7→(u, v)choisi judi- cieusement.

L’épreuve compte 36 questions, dont 24 doivent être traitées ; chacune com- prend quatre propositions, laissant ainsi moins d’une minute pour examiner chaque proposition. L’énoncé comporte un certain nombre d’imprécisions et d’erreurs.

Toutefois, il met en œuvre un nombre important de points du cours de première année, des matrices aux courbes paramétrées en passant par les fonctions de deux variables ; certaines questions permettent de tester, parfois même avec une certaine profondeur, sa connaissance du cours et sa capacité à mettre en action les méthodes étudiées en cours. Enfin, le découpage en exercices complètement indépendants per- met de tester ses connaissances uniquement sur les points du programme que l’on souhaite revoir.

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Indications

Exercice 1

2. Intuitivement,ϕa(f)(x)est la valeur moyenne de f sur [x;a]ou[a;x].

3. Montrer que ϕa est un endomorphisme de E. Concernant son éventuelle surjectivité, utiliser la dérivabilité de ϕa(f)surR r{a}.

7. Garder en mémoire le fait queEn’est pas de dimension finie.

8. Utiliser la question 7 et la dérivabilité deϕa(f)surR r{a}.

9. Fest un espace vectoriel de dimension finie. Quelle est sa dimension ?

10. Déterminer l’inverse de la matricePen observant que pour touti∈ {1, . . . , n+1}, Xⁱ⁻¹= ((X−a) +a)ⁱ⁻¹=

i

X

p=1

i−1 p−1

aⁱ⁻^p(X−a)^p⁻¹

12. Erreur probable d’énoncé : lireIn+1 au lieu deIn. Utiliser le fait que

∀λ∈R (λA−In+1) = P (λA^′−In+1) P⁻¹ ainsi que les autres résultats de la question 11.

Exercice 2

15. Examiner avec précaution le comportement deρau voisinage deπ/4.

16. Quel est l’élément d’aire en coordonnées polaires ? 19. Utiliser la formule trouvée en 18.b.

21. Utiliser les résultats obtenus aux questions 18 et 19.

22. Observer que I⁰₁ C^√2

2

= L^√2 2

r{0}

Exercice 3

23. Que dire de la dérivabilité de f en 0 en fonction de p? Souvenez-vous qu’une fonction strictement monotone est toujours injective.

24. Examiner la dérivabilité deg en0en fonction de p.

Exercice 4 28. E,PetIne sont pas de dimension finie.

Exercice 5 32. Remarquer queg∈C²(R²), puisquef ∈C²(R²).

34. Fixeru0∈Ret considérer l’applicationv7→ ∂g

∂u(u0, v). Que vaut sa dérivée ?

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Exercice 1

1 a) FAUX : (E,◦) n’est pas un groupe. Supposons que (E,◦) soit un groupe.

Ce dernier contient les fonctions continues f:

(R−→R

x 7−→0 et IdE:

(R−→R x7−→x

Puisque(E,◦)est un groupe,f est inversible et l’on peut donc poserg=f⁻¹◦IdE

pour définir un nouvel élément deE. Celui-ci vérifie la relationf◦g= IdE. Cependant, pourx∈R, on a

f◦g(x) =f(g(x)) = 0 et IdE(x) =x Enx= 1, on a donc en particulier1 = 0ce qui est absurde.

b) FAUX : (E,+) est un groupe commutatif, mais son élément neutre n’est pas IdE. En effet, on a par exemple

IdE+ IdE= 2 IdE6= IdE

ce qui contredit la neutralité deIdE.

c) VRAI. Le cours assure que(E,+,·)est un espace vectoriel. Il suffit de constater qu’il contient les fonctions polynomiales à coefficients réels pour affirmer qu’il contient une famille libre de cardinal infini et est donc de dimension infinie.

d) FAUX : (E,+,×) n’est pas un corps. En effet, si l’on suppose que (E,+,×) est un corps, alors l’élément unité est la fonction constante égale à 1. De plus, la fonctionIdE n’admet pas d’inverse pour la loi×car un inverse éventuel ne pourrait pas avoir une valeur finie en0.

A B C D E

2 a) FAUX : une fonctiong définie surRn’admet pas nécessairement de primitive.

On peut par exemple considérer la fonctiong:







R−→R x7−→

0 si x60 1 si x >0

En revanche, toute fonctiong continue surRadmet des primitives surR, et la fonctionx7→

Z x 0

g(t) dt en est une.

b) FAUX :ϕa n’est pas prolongeable par continuité ena. Cela ne veut tout sim- plement rien dire puisqueϕa est une application deE dansE.

c) VRAI. Considérons f ∈ E. Puisque f est continue en a, pour tout ε > 0, il existeη >0tel que

∀t∈[a−η;a+η] |f(t)−f(a)|6ε

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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 4/38 Par conséquent, pourx∈[a−η;a+η], on a

Z x a

f(t) dt−(x−a)f(a)

=

Z x a

(f(t)−f(a)) dt 6

Z max(a,x) min(a,x)

|f(t)−f(a)| dt 6|x−a|ε

Pourx∈[a−η;a+η]r{a}, en divisant par|x−a|, on a en particulier

|ϕa(f)(x)−f(a)|6ε

Ceci assure queϕa(f)(x)tend versf(a)quandxtend versa, doncϕa(f)est prolongeable par continuité enaen posant ϕa(f)(a) =f(a).

d) FAUX : ce résultat serait en contradiction avec la question 1.c en considérant comme fonctionf la fonction constante égale à 1.

A B C D E

3 a) FAUX. Tout d’abord, la propriété

∀(f, g)∈E² ϕa(f g) =ϕa(f)ϕa(g)

est fausse comme le montre l’exemplef =g= IdE. Dans ce cas, on a en effet pour toutx∈R

ϕa(f)(x) = x+a

2 donc ϕa(f)(x)ϕa(g)(x) = (x+a)² 4 alors que, pour toutx∈R r{a},

ϕa(f×g)(x) = 1 x−a

Z x a

t²dt= 1 x−a

"

t³ 3

#x

a

= x³−a³

3(x−a) =x²+ax+a² 3

Remarquons toutefois queϕa est bien un endomorphisme deE. En effet, sif ∈E alors le cours assure queϕa(f)est continue sur]⁻∞;a[∪]a;⁺∞[, et la question 2.c montre queϕa(f)est continue ena. En outre, si(f, g)∈E² et(λ, µ)∈R², alors

ϕa(λf+µg) =λϕa(f) +µϕa(g)

b) FAUX. Cette fois, la propriété

∀(f, g)∈E² ϕa(f+g) =ϕa(f) +ϕa(g)

est vraie. De même, le fait queϕasoit une application linéaire est vrai. En revanche, l’implication entre ces deux propriétés est fausse : le fait que la propriété

∀(f, g)∈E² ϕa(f+g) =ϕa(f) +ϕa(g)

soit vraie n’implique pas sans argument supplémentaire queϕa est linéaire. En effet, pour cela, il faudrait justifier que la propriété d’homogénéité est vérifiée :

∀f ∈E ∀λ∈R ϕa(λf) =λϕa(f)