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ENAC Physique toutes filières 2000 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Benoît Faucherand (Ponts et Chaussées) ; il a été relu par Yannick Alméras (ENS Ulm).
Ce sujet propose un éventail des différents chapitres du programme de sup, allant de l’électromagnétisme à la thermodynamique en passant par l’optique géométrique, la mécanique et l’électricité. Les questions présentent rarement des difficultés insur- montables, si ce n’est quelques questions un peu calculatoires ; mais en revanche, le sujet fait appel à l’attention du candidat en proposant des réponses qu’une lecture trop rapide de l’énoncé sur les notations et conventions rendrait aisément fausses.
Insistons sur le fait que l’ENAC cherche, en posant des QCM, à tester les candidats sur un grand nombre de domaines du cours. Le but n’est pas de rédiger des réponses complètement le jour du concours, mais d’arriver à choisir le plus rapidement possible les cases à cocher.
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Indications
3 Calculerl en divisant par le diamètreala surface du cône occupée par le fil.
4 Utiliser la loi de Biot et Savart.
5 Multiplier le champ trouvé à la question précédente par la densité de spires dN et intégrer par rapport àren effectuant des changements de variables successifs.N 6 Utiliser la relation de Descartes.
9 Tracer les trajectoires des rayons lumineux pour un objet A0B0 situé à une dis- tanced0de l’objectif et raisonner à l’aide du schéma.
10 Considérer le même schéma qu’à la question 9.
11 Revenir à la définition de la puissance moyenne.
12 Une méthode consiste à considérer la puissance moyenne dissipée par effet Joule et à la comparer à la puissance moyenne consommée.
13 Calculer le module de l’impédance et en déduireL.
14 Exprimer le facteur de puissance en fonction der, L, C, et ω à l’aide de l’impé- dance.
17 Utiliser la loi de Laplace.
19 Utiliser l’équation d’état des gaz parfaits.
20 Prendre la différentielle de l’énergie interne.
21 Idem.
22 Faire un bilan d’énergie.
27 Calculer l’accélération d’entraînement dansR′. 28 Penser à la force d’inertie de Coriolis. . .
29 Appliquer le principe fondamental de la dynamique et résoudre le système obtenu.
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Partie I Magnétostatique
1 Nous allons ici étudier le champ magnétique créé par le système.
Pour déterminer dans un premier temps le nombreN de spires qui constituent le bobi- nage, considérons le schéma ci-contre.
Nous avons sinα=r2−r1 aN soit N = r2−r1
asinα
α
r2 r
1
2
z(r )1
z(r ) aN
a
A B C D E
2 On passe ici, et dans la suite, d’une description discontinue du bobinage à une description continue, ce qui est justifié dans le cas où le nombre total N de spires est important, c’est-à-dire pourN ≫ 1. Nous pouvons donc considérer un élément infinitésimal du bobinage.
Le dessin de droite nous donne cosα= dz
adN
soit dN = dz
acosα
dz
dr N ad
α
A B C D E
3 La section du fil est donnée par s = (πa2)/4. Il nous reste donc à calculer sa longueurl. Celle-ci est obtenue en divisant la surface du cône occupée par le fil, par le diamètreadu fil.
l=surface du cône
a = 1
a Z N
0
2πrnadN = Z z2
z1
2πrdz acosα
soit l=
Z r2
r1
2πrdr
asinα = π(r22−r12) asinα
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En remplaçantl par sa valeur dans l’expression deR, on obtient R =ρl
s = 4ρ(r22−r12) a3sinα
A B C D E
4 Le bobinage étant parcouru par un courant I constant, il est en fait demandé de retrouver le résultat classique du champ magnétique−→
B créé par une spire en un point de son axe. Regardons le schéma suivant qui correspond à notre cas.
dB
z
S
z n
α
r P
La loi de Biot et Savart donne pour un champ magnétique créé en S par un élément de longueur−→
dl orienté par le courantI de la spire
−→ dB = µ0I
4π
−
→dl∧−→ PS PS3 = µ0I
4π sin2α
r2 dl−→ n
Du fait de la symétrie de révolution de la distribution de courant autour de l’axeOz, le champ magnétique est dirigé suivant−→
z, sur lequel il reste donc à projeter dBz= µ0I
4πr2sin3αdl et à intégrer sur le périmètre de la spire considérée :
−→ B1=
Z 2πr
0
µ0I
4πr2sin3αdl−→
ez = 2πr µ0I
4πr2 sin3α−→ ez
soit −→
B1=µ0I
2r sin3α−→ ez
A B C D E
5 Pour calculer le champ magnétique total −→
B créé par la bobine, il faut intégrer suivantrpuisque α= Cte.
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