ENAC Physique toutes filières — Corrigé

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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 1/17

ENAC Physique toutes filières — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Stéphane Ravier (ENS Lyon) ; il a été relu par Chris- tophe Lepage (doctorant en mécanique des fluides) et Vincent Fourmond (ENS Ulm).

Ce problème se compose de six exercices indépendants qui permettent de tester les candidats sur une large part du programme de première année. Les thèmes abordés sont variés : optique géométrique, mécanique, thermodynamique, électrocinétique et électrostatique. Cet énoncé ne présente pas de difficulté majeure.

• L’exercice d’optique géométrique s’intéresse à la relation de conjugaison des lentilles minces convergentes. Il traite, entre autres, du « montage4f ».

• L’exercice de mécanique demande un peu de recul : il y a relativement peu de calculs à faire et il n’est pas très difficile si l’on s’y prend bien mais il peut être assez déroutant.

• Dans la partie de thermodynamique, on étudie une détente adiabatique irré- versible d’un gaz parfait.

• Le premier exercice d’électrocinétique permet de tester les candidats sur les lois de Kirchhoff et l’utilisation à bon escient de la notation complexe. Le deuxième exercice quant à lui s’intéresse au problème de la détermination et de l’amélio- ration d’un facteur de puissance. C’est clairement l’exercice le plus difficile de cette épreuve.

• Enfin, l’exercice d’électrostatique, très proche du cours, étudie champ et poten- tiel créés par une couche plane et infinie uniformément chargée.

Pour tenir compte de la spécificité d’une épreuve de QCM (les candidats doivent choisir une ou plusieurs bonnes réponses parmi celles proposées et ne doivent pas justifier leur choix), nous donnerons, chaque fois que c’est possible, des astuces per- mettant d’éliminer des propositions fausses voire de trouver rapidement la solution.

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Indications

Optique géométrique

1 Appliquer la relation de conjugaison des lentilles minces.

5 Montrer, par symétrie, queOest le milieu de[AA^′].

Mécanique

6 Faire un bilan de puissance. Dans tout cet exercice, ne pas oublier d’exprimer les grandeurs (notamment les vitesses) avec les unités de base du système international.

7 Appliquer la relation fondamentale de la dynamique. Séparer les variablestet v pour intégrer l’équation différentielle obtenue.

8 Par définition dev, dx=vdt. Utiliser l’expression de dtobtenue à la question 7.

Thermodynamique

11 Le travail des forces de pression peut être calculé facilement puisque la pression extérieure reste constante (égale à p^f pendant toute la transformation).

Combiner ce résultat avec l’expression de la variation d’énergie interne d’un gaz parfait.

14 La transformation est irréversible. Retrouver l’expression de l’entropie d’un gaz parfait en fonction de T et V en intégrant l’identité thermodynamique dU = TdS−pdV.

Électrocinétique

16 Appliquer les lois de Kirchhoff.

18 Utiliser la notation complexe.

20 Écrire la solution générale et appliquer la condition initiale donnée par l’énoncé pour déterminer la constante inconnue.

21 Remarquer queϕ₂= 0.

22 On rappelle que la puissance moyennePabsorbée par un dipôle soumis à une tension efficaceUet traversé par un courant I, s’écritP = U I cosϕoù ϕest le déphasage entre le courant et la tension.

25 Constater qu’il faut annuler les effets de la partie imaginaire deI₁.

Électrostatique

27-28 Appliquer le théorème de Gauss sur un cylindre de hauteur2xcentré enO.

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I. Optique géométrique

1 La relation de conjugaison d’une lentille mince s’écrit : 1

OA^′ − 1 OA = 1

OF^′ = 1 f

avecF^′ le foyer image etA^′ le point image deApar la lentilleL.

F 0

L Éran

O B

A

B 0 A

0

On réécrit cette équation OA−OA^′ OA^′OA = 1

f

Si l’on pose OA^′ = x, alors, comme OA−OA^′ = −AA^′ = −D, on a simplement OA =x−D. Il vient

x(D−x) =fD

Les positionsxde la lentille par rapport à l’écran sont donc les solutions de l’équation du second degré

x²−xD +fD = 0 dont le discriminant s’écrit ∆ = D (D−4f)

et les solutions





 x₁ = 1

2

D +p

D (D−4f)

x₂ = 1 2

D−p

D (D−4f)

La distancedcherchée n’est autre que la différencex₁−x₂, d’où d=p

D (D−4f) = 447 mm

On peut rappeler à l’occasion de cette question une propriété évidente mais rarement utilisée du discriminant d’un trinôme : il représente la différence entre les deux racines de ce trinôme. Cela permettait de conclure directement sans passer par l’écriture complète des racines.

A B C D E

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2 On sait que pour une lentille convergente qui donne une image réelle d’un objet réel, on s’attend à trouver un grandissement négatif. On a

G^t=OA^′ OA = x

x−D =

1± r

1−4f D

−2 + 1± r

1−4f D

!

Rappelons que, par définition du grandissement transversal, on a G^t=A^′B^′

AB

oùABest un objet placé orthogonalement à l’axe optique du système. Pour une lentille mince, G^t s’écrit aussi (avec les conventions usuelles)

G^t= OA^′ OA

Cette dernière égalité est une conséquence immédiate de l’application du théorème de Thalès aux deux trianglesOABetOA^′B^′.

Finalement G^t=

1± r

1−4f D

−1± r

1−4f D

=

(−2,62

−0,38

A B C D E

3 Il suffit de reprendre le résultat littéral obtenu à la question 1 en remplaçantf parf^′ et dpard^′:

d^′2= D (D−4f^′)

d’où f^′= 1

4

D−d^′2 D

= 160 mm

A B C D E

4 On est dans le cas où le discriminant obtenu à la question 1 est nul :

∆ = D^′′(D^′′−4f^′′) = 0

Il vient finalement f^′′=D^′′

4 = 300 mm

A B C D E