Master 1 EADM 2010-2011 CAPES externe
UE 8 Epreuve sur dossier´
DOSSIER
Analyse 3 Th` eme : Fonctions, sens de variation
L’exercice propos´e au candidat
Soit f : [a, b] → R une fonction deux fois d´erivable sur [a, b] avec a < b.
On suppose que la d´eriv´ee second f00 est positive ou nulle sur [a, b] et on se propose d’´etudier la position de la courbe repr´esentative C de f par rapport `a ses tangentes et s´ecantes.
1. Quelles sont les fonctions dont la d´eriv´ee seconde est la fonction nulle ? On supposera par la suite que f n’est pas de ce type.
2. Soit c ∈]a, b[.
(a) D´eterminer la fonction affine t repr´esent´ee par la tangente `a C au point de coordonn´ees (c, f (c)).
(b) En ´etudiant la fonction δ d´efinie par δ(x) = f (x) − t(x) sur [a, b], estimer la position de la courbe par rapport `a sa tangente.
3. On consid`ere les points extr´emaux A(a, f (a)) et B(b, f (b)) de C.
(a) D´eterminer la fonction affine s repr´esent´ee par la droite (AB).
(b) On note ∆ la fonction d´efinie par ∆(x) = f (x) − s(x) sur [a, b].
D´emontrer que la fonction d´eriv´ee ∆0 s’annule en un r´eel m ∈]a, b[.
Le travail `a exposer devant le jury
1. Pr´esenter les principaux r´esultats, la nature des m´ethodes et les diff´erents outils utilis´es dans la r´esolution de cet exercice.
2. Indiquer le ou les niveaux auxquels s’adresse cet ´enonc´e et les difficult´es qu’il peut repr´esenter pour des ´el`eves.
3. En consid´erant f (λa+(1−λ)b) pour λ ∈ [0, 1], proposer une autre mani`ere de prouver le r´esultat de la question 3b.
4. Proposer des exercices sur le th`eme des fonctions mettant en jeu l’´etude du sens de variation, pour plusieurs niveaux, y compris la classe de seconde.
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