PARTIE II

SESSION 2010

CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE (ENSI) FILIERE PC

MATHEMATIQUES 2

PARTIE I

I.1. Soitx∈ D. Chaqueun(x),n∈N, existe. De plus,un(x) ∼

n→+∞

1

n² > 0.Comme 1

n² est le terme général d’une série deRiemannconvergente, la série numérique de terme généralun(x)converge.

La série de fonctions de terme généralun,n∈N^∗, converge simplement surD.

I.2. I.2.1.Soitn∈N^∗. La fonctionun est de classeC^∞ surR\ {−n}en tant que fraction rationnelle définie surR\ {−n}

et pourp∈N^∗ et x∈R\ {−n},

u^(p)n (x) = (−2)×(−3)×. . .×(−p−1)

(n+x)^p+2 = (−1)^p(p+1)!

(n+x)^p+2 . I.2.2.Soientaet bdeux réels tels que−1 < a < b. Soitp∈N^∗.

Pour toutn∈N^∗et toutx∈[a, b]⊂] −1,+∞[,

|u^(p)n (x)|= (p+1)!

(n+x)^p+2 6 (p+1)!

(n+a)^p+2 (carn+x>n+a > 1−1=0).

Comme la série numérique de terme général (p+1)!

(n+a)^p+2,n∈N^∗, converge car (p+1)!

(n+a)^p+2 ∼

n→+∞

(p+1)!

n^p+2 avecp+2 > 1, on a montré que la série de fonctions de terme généralu^(p)n ,n∈N^∗, converge normalement sur[a, b].

∀p∈N^∗, la série de fonctions de terme généralu^(p)n ,n∈N^∗, converge normalement sur [a, b].

I.2.3.En résumé, pour tout[a, b]⊂] −1,+∞[,

•la série de fonctions de terme généralun,n∈N^∗, converge simplement vers la fonctionUsur[a, b],

•chaque fonction un,n∈N^∗, est de classeC^∞ sur[a, b],

•pour chaquep∈N^∗, la série de fonctions de terme généralu^(p)n converge normalement sur[a, b].

D’après une généralisation du théorème de dérivation terme à terme, la fonction U est de classe C^∞ sur [a, b] pour tout [a, b] ⊂] −1,+∞[ et ses dérivées successives s’obtiennent par dérivation terme à terme. Ceci étant vrai pour tout [a, b]⊂] −1,+∞[, on a montré que

la fonction Uest de classeC^∞ sur] −1,+∞[.

I.3. I.3.1.SoitN∈N^∗. Pourx∈ D,

U(x) = X+∞

n=1

1 (n+x)² =

XN

n=1

1 (n+x)² +

+∞X

n=N+1

1 (n+x)²

=UN(x) +

+∞

X

n=1

1

(n+x+N)² =UN(x) +U(x+N).

I.3.2.Soit N∈ N^∗. La fonction UN est de classe C^∞ sur] − (N+1), N[ en tant que somme de fonctions de classe C^∞ sur] − (N+1), N[. D’autre part, la fonctionx7→x+N est de classeC^∞ sur] − (N+1), N[ à valeurs dans] −1, 0[et la fonctionUest de classeC^∞ sur] −1, 0[. Donc la fonctionx7→U(x+N)est de classeC^∞ sur] − (N+1), N[. Mais alors la fonctionUest de classeC^∞ sur] − (N+1), N[en tant que somme de deux fonctions de classeC^∞ sur] − (N+1), N[.

http ://www.maths-france.fr 1 c Jean-Louis Rouget, 2010. Tous droits réservés.

De plus, les dérivées successives deUNsur]−(N+1), N[s’obtiennent par dérivation terme à terme car la somme considérée est finie et les dérivées successives deU(x+N) s’obtiennent par dérivation terme à terme carx+N∈] −1, 0[. Donc les dérivées successives deUsur] − (N+1), N[ s’obtiennent par dérivation terme à terme. On a montré que

Uest de classeC^∞ surDet∀p∈N,∀x∈ D, U^(p)(x) = (−1)^p(p+1)!

X+∞

n=1

1 (n+x)^p+2.

I.3.3.On en déduit encore

∀p>2, ∀x∈ D, X+∞

n=1

1

(n+x)^p = (−1)^pU^(p−2)(x) (p−1)! .

I.4. Soit N ∈ N^∗. UN(x) = XN

n=1

1

(n+x)² =

x→−N

1

(x+N)² +O(1). D’autre part, par continuité de la fonction U en 0, U(x+N) =

x→−NO(1). Par suite,

U(x) =

x→−N

1

(x+N)² +O(1), et en particulier,

U(x) ∼

x→−N

1 (x+N)².

I.5. I.5.1. Chaque fonction un, n∈ N^∗, est strictement décroissante sur ] −1,+∞[ et la série de fonctions de terme généralun,n∈N^∗, converge simplement vers Usur] −1,+∞[. Donc

la fonctionUest strictement décroissante sur] −1,+∞[.

I.5.2.Soit x > 0. Pour n ∈N^∗, puisque 0 < n−1+x6n+x6n+1+x et que la fonctiont 7→ 1

t² est continue et décroissante sur]0,+∞[, on peut écrire

Zn+1+x n+x

1

t² dt6un(x) = 1 (n+x)² 6

Zn+x n−1+x

1 t² dt.

En sommant ces inégalités, on obtient Z+∞

x+1

1 t² dt=

X+∞

n=1

Zn+1+x n+x

1

t² dt6U(x) =

+∞X

n=1

1 (n+x)² 6

+∞X

n=1

Zn+x n−1+x

1 t² dt=

Z+∞

x

1 t² dt.

Ainsi, pourx > 0, 1 x+1 =

Z+∞ x+1

1

t² dt6U(x)6 Z+∞

x

1

t² dt= 1

x ou encore x

x+1 6xU(x)61. Comme lim

x→+∞

x x+1 =1, le théorème des gendarmes permet d’affirmer que lim

x→+∞xU(x) =1ou encore que U(x) ∼

x→+∞

1 x.

I.6. Soitx∈R. x

2 ∈−N^∗⇔x∈−2N^∗⇒x /∈ D et x−1

2 ∈−N^∗⇔x∈1−2N^∗⇒x /∈ D. Par contraposition, six∈ D, alors x

2 ∈ Det x−1

2 ∈ D. Soit alorsx∈ D.

U(x) =

+∞X

n=1

1 (n+x)² =

+∞X

p=1

1 (2p+x)² +

X+∞

p=1

1 (2p−1+x)²

= 1 4

+∞X

p=1

1 p+x

2 ²+1

4

+∞X

p=1

1

(p+x−1 2

² = 1 4

Ux 2

+U x−1

2

.

∀x∈ D, U(x) = 1 4

Ux

2 +U

x−1 2

.

PARTIE II

II.1. II.1.1.Soitp∈N.fp(t) = t^p+1 e^t−1 ∼

t→0

t^p+1

t =t^p. Donc

tlim→0fp(t) =

1sip=0 0sip>1 .

II.1.2.Soitp∈N. fp(t) = t^p+1 e^t−1 ∼

t→+∞

t^p+1

e^t =t^p+1e^−t.

II.2. II.2.1. Soitx∈R. La fonctiont7→ te^−xt

e^t−1 est continue sur ]0,+∞[. Puisque de plus, la fonction t7→ te^−xt e^t−1 est positive sur]0,+∞[,ϕ(x)existe si et seulement si la fonctiont7→ te^−xt

e^t−1 est intégrable sur]0,+∞[

•Quand ttend vers 0, te^−xt

e^t−1 = t(1+o(1))

t+o(t) =1+o(1). Donc la fonction t7→ te^−xt

e^t−1 se prolonge par continuité en 0 et en particulier est intégrable sur un voisinage de0 à droite.

•Quandttend vers+∞, te^−xt

e^t−1 ∼ te^−xt

e^t =te^−(x+1)t.

Six61, l’inégalitéte^−(x+1)t>tmontre que la fonctiont7→te^−(x+1)tn’est pas intégrable sur un voisinage de+∞et il en est de même de la fonctiont7→ te^−xt

e^t−1. Dans ce cas,ϕ(x)n’existe pas.

Six >−1, alorst²×te^−(x+1)t=t³e^−(x+1)t_t→

→+∞ 0 d’après un théorème de croissances comparées et donc te^−(x+1)t o

t→+∞

1 t²

. On en déduit que la fonction t7→te^−(x+1)t est intégrable sur un voisinage de+∞et il en est de même de la fonctiont7→ te^−xt

e^t−1. Dans ce cas,ϕ(x)existe.

En résumé, pour tout réelx,ϕ(x)existe si et seulement six >−1.

Le domaine de définition de la fonctionϕ est] −1,+∞[.

II.2.2. Soient p ∈ N et a > −1. Pour x > a, on a pour tout t > 0, −xt 6 −at puis e^−xt 6 e^−at et finalement 06fp(t)e^−xt 6fp(t)e^−at puisquefp(t)>0.

La fonctiont7→fp(t)e^−at est continue sur]0,+∞[, prolongeable par continuité en0 carfp(t)e^−at ∼

t→0t^pet négligeable devant 1

t² en+∞cart²fp(t)e^−at ∼

t→+∞t^p+3e^−(a+1)t_t →

→+∞ 0cara+1 > 0. Donc,

∀p∈N,∀a >−1, la fonctiont7→fp(t)e^−at est intégrable sur]0,+∞[.

II.2.3.Soita >−1. Posons Φ : [a,+∞[×]0,+∞[ → R (x, t) 7→ te^−xt

e^t−1 .

• Pour chaque x ∈ [a,+∞[, la fonction t 7→ Φ(x, t) = f0(t)e^−xt est continue par morceaux et intégrable sur ]0,+∞[ d’après la question précédente.

•La fonctionφadmet sur[a,+∞[×]0,+∞[des dérivées à tous ordres par rapport à sa première variablexdéfinies par

∀p∈N,∀(x, t)∈[a,+∞[×]0,+∞[, ∂^pΦ

∂x^p(x, t) = t(−t)^pe^−xt

e^t−1 = (−1)^pfp(t)e^−xt. De plus,

- pour chaquex∈[a,+∞[, la fonctiont7→∂^pΦ

∂x^p(x, t)est continue par morceaux sur]0,+∞[, - pour chaquet∈]0,+∞[, la fonction x7→ ∂^pΦ

∂x^p(x, t)est continue sur[a,+∞[, - pour chaque(x, t)∈[a,+∞[×]0,+∞[, d’après la question précédente,

∂^pΦ

∂x^p(x, t)

=fp(t)e^−xt 6fp(t)e^−at où la fonction t7→fp(t)e^−at est continue par morceaux et intégrable sur]0,+∞[.

D’après une généralisation du théorème de dérivation des intégrales à paramètre, la fonction ϕ est de classe C^∞ sur [a,+∞[et ses dérivées successives s’obtiennent par dérivation sous le signe somme. Ceci étant vrai pour tout réela >−1

La fonctionϕest de classeC^∞ sur] −1,+∞[et∀p∈N^∗,∀x > 0,ϕ^(p)(x) = (−1)^p Z+∞

0

t^p+1e^−xt e^t−1 dt.

II.2.4.La fonction t 7→ t

e^t−1 est continue sur ]0,+∞, prolongeable par continuité en 0 et de limite nulle en +∞. On en déduit que cette fonction est bornée sur]0,+∞[. Soit doncMun majorant de la valeur absolue de cette fonction sur ]0,+∞[.

Pour x >−0, 06ϕ(x)6M Z+∞

0

e^−xt dt=M e^−xt

−x t=+∞

t=0

= M

x . Quandxtend vers +∞, le théorème des gendarmes permet d’affirmer que

x→lim+∞ϕ(x) =0.

II.3. II.3.1.Soitx >−1. Alorsϕ(x)etϕ(x+1)existent et

ϕ(x) −ϕ(x+1) = Z+∞

0

te^−xt e^t−1 dt−

Z+∞

0

te^−(x+1)t e^t−1 dt=

Z+∞

0

t(e^−xt−e^−(x+1)t) e^t−1 dt

= Z+∞

0

te^−(x+1)t(e^t−1) e^t−1 dt=

Z+∞

0

te^−(x+1)tdt

= Z+∞

0

u

x+1e^−u du

x+1 = 1

(x+1)²Γ(1) = 1 (x+1)².

∀x >−1,ϕ(x) −ϕ(x+1) = 1 (x+1)². II.3.2.Soitx >−1. PourN∈N^∗,

XN

n=1

1 (x+n)² =

XN

n=1

(ϕ(x+n−1) −ϕ(x+n)) =ϕ(x) −ϕ(x+N)(somme télescopique).

Maintenant, d’après la question II.2.4, lim

t→+∞ϕ(t) =0 et donc lim

N→+∞ϕ(x+N) =0. QuandN tend vers+∞, on obtient U(x) =

+∞

X

n=1

1

(x+n)² =ϕ(x).

∀x >−1,ϕ(x) =U(x).

II.3.3.Soitp>2. D’après les questions ourx >−1, I.3.3, II.3.2 et II.2.3,

+∞

X

n=1

1

(n+x)^p = (−1)^p

(p−1)!U^(p−2)(x) = (−1)^p

(p−1)!ϕ^(p−2)(x) = 1 (p−1)!

Z+∞ 0

t^p−1e^−xt e^t−1 dt.

∀x >−1,∀p>2,

+∞X

n=1

1

(n+x)^p = 1 (p−1)!

Z+∞ 0

t^p−1e^−xt e^t−1 dt.

PARTIE III

III.1. Représentation graphique de g

1 2 3 4 5 6 7

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

1 2

−1

La fonctiongest continue surR, de classeC¹ par morceaux surRet2π-périodique. D’après le théorème deDirichlet, la série deFourierdefconverge simplement vers gsurR.

III.2. III.2.1.La fonctiongest paire et donc∀n∈N^∗,bn(g) =0.

III.2.2.Soitn∈N. an(g) = 2 π

Zπ 0

g(t)cos(nt)dt= 2 π

Zπ 0

π 2 −t

cos(nt)dt.

Donca0(g) = 2 π

Zπ 0

π 2 −t

dt= 1 π

− t−π

2 ^2π

0

=0 puis pourn∈N∗,

an(g) = 2 π

Zπ 0

π 2 −t

cos(nt)dt= 2 π

π

2 −tsin(nt) n

π

0

+ 1 n

Zπ 0

sin(nt)dt

= 2 nπ

−cos(nt) n

π

0

= 2(1− (−1)ⁿ) n²π

III.3. III.3.1.D’après ce qui précède, pour tout x∈[0, π]

π

2 −x=g(x) =

+∞X

n=1

2(1− (−1)ⁿ)

n²π cos(nx) = 4 π

X+∞

k=1

cos((2k−1)x (2k−1)² .

Pourx=0, on obtient en particulier 4 π

+∞

X

k=1

1

(2k−1)² = π

2 et donc

+∞

X

k=1

1

(2k−1)² = π² 8 .

III.3.2. π² 8 =

+∞X

k=1

1

(2k−1)² = 1 4

X+∞

k=1

1

k− 1 2

² = 1 4U

−1 2

. DoncU

−1 2

= π² 2 .

Maintenant, le résultat de la question I.6 appliqué àx=0fournitU(0) = 1 4

U(0) +U

−1 2

et donc U(0) = 1

3U

−1 2

= π² 6 .

U(0) =

+∞X

n=1

1 n² = π²

6 .

III.4. La fonctiongest continue par morceaux surRet2π-périodique. On peut donc appliquer la formule deParseval. On obtient

+∞X

k=1

1

(2k−1)⁴ = π² 16

+∞X

k=1

a²_2k−1(g) = π² 16

a²₀(g)

2 +

+∞X

n=1

(a²_n(g) +b²_n(g))

!

= π² 16 ×1

π Zπ

−π

g²(x)dx

= π 8

Zπ 0

t−π

2 2

dt= π 8

1 3

t−π

2 3^π

0

= π 24×2π³

8 = π⁴ 96.

En suite, d’après la question I.3.3,

+∞

X

n=1

1

n⁴ = U^′′(0)

6 . D’autre part,

+∞

X

k=1

1

(2k−1)⁴ = 1 16

+∞

X

k=1

1

k−1 2

4 = 1 16

U^′′

−1 2

6 .

Maintenant, en dérivant deux fois l’égalité de la question I.6 et en évaluant en0, on obtientU^′′(0) = 1 16

U^′′(0) +U^′′

−1 2

et doncU^′′(0) = 1 15U^′′

−1 2

. En résumé,

+∞

X

n=1

1

n⁴ = U^′′(0) 6 = 1

15 U^′′

−1 2

6 = 16 15

+∞

X

k=1

1

(2k−1)⁴ = 16 15×π⁴

96 = π⁴ 90.

+∞X

n=1

1 n⁴ = π⁴

90 et

+∞X

k=1

1

(2k−1)⁴ = π⁴ 96.

Remarque.Si on poseS=

+∞

X

n=1

1

n⁴ etS^′ =

+∞

X

k=1

1

(2k−1)⁴, on aS=

+∞

X

k=1

1 (2k−1)⁴ +

+∞

X

k=1

1

(2k)⁴ =S^′+ S

16 et on retrouve beaucoup plus simplementS= 16

15S^′.

III.5. III.5.1.gest continue surRet doncGest définie et dérivable surR.

• Montrons que G est impaire. Pour tout réel x, posons γ(x) = G(x) +G(−x). La fonction γ est dérivable sur R et pour tout réelx,γ^′(x) =g(x) −g(−x) =0 cargest paire. Donc la fonction γest constante sur Ret pour tout réelx, γ(x) =γ(0) =2G(0) =0. Finalement, pour tout réelx,G(−x) = −G(x)et doncG est impaire.

•Montrons queGest2π-périodique. Pour tout réelx, posonsγ(x) =G(x+2π) +G(x). La fonctionγest dérivable surR et pour tout réelx,γ^′(x) =g(x+2π) −g(x) =0 cargest2π-périodique. Donc la fonctionγ est constante surRet pour tout réelx,γ(x) =γ(0) =G(2π). Ensuite,

G(2π) = Z2π

0

g(t)dt=πa0(g) =0d’après III.2.2.

Finalement, pour tout réelx,G(x+2π) =G(x)et doncG est2π-périodique.

La fonctionGest impaire,2π-périodique.

III.5.2.PuisqueG est impaire,∀n∈N,an(G) =0. D’autre part, pourn∈N^∗,

bn(G) = 1 π

Z2π 0

G(t)sin(nt)dt= 1 π

−G(t)cos(nt) n

^2π

0

+ 1 n

Z2π 0

G^′(t)cos(nt)dt

!

= 1 n× 1

π Z2π

0

g(t)cos(nt)dt= an(g) n

= 2(1− (−1)ⁿ) n³π .

∀n∈N,an(G) =0et ∀n∈N^∗,bn(G) = 2(1− (−1)ⁿ) n³π .

La fonctionG est de classeC¹surRet 2π-périodique. Donc la fonctionGest égale en tout point deRà la somme de sa série deFourier.

III.5.3.D’après la formule deParseval

+∞

X

k=1

1

(2k−1)⁶ = π² 16

+∞

X

k=1

b²_2k−1(G) = π 16

Zπ

−π

G²(x)dx= π 8

Zπ 0

G²(x)dx= π 8

Zπ 0

Zx 0

π 2 −t

dt ²

dx

= π 8

Zπ 0

−x²+πx 2

²

dx= π 32

Zπ 0

x⁴−2πx³+π²x²

dx= π 32

π⁵

5 −2ππ⁴

4 +π²π³ 3

= π⁶ 32

1 5 −1

2+ 1 3

= π⁶

32 ×6−15+10 30 = π⁶

960. Posons ensuite S=

+∞X

n=1

1

n⁶ et S^′ = X+∞

k=1

1

(2k−1)⁶. On aS =

+∞X

k=1

1 (2k−1)⁶ +

+∞X

k=1

1

(2k)⁶ = S^′+ S

64 et doncS = 64 63S^′ = 64

63× π⁶ 960 = π⁶

945.

+∞

X

n=1

1 n⁴ = π⁶

945 et

+∞

X

k=1

1

(2k−1)⁴ = π⁶ 960.