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QUELQUES RÉSULTATS EXACTS POUR
L’ÉQUATION DE BURGERS ALÉATOIRE
U. Frisch, J.-D. Fournier
To cite this version:
U. Frisch, J.-D. Fournier. QUELQUES RÉSULTATS EXACTS POUR L’ÉQUATION DE
JOURNAL DE PHYSIQUE Colloque C5, supplément au n° 8, tome 39, août 1978, page C5-19
QUELQUES RÉSULTATS EXACTS POUR L'ÉQUATION
DE BURGERS ALÉATOIRE
U. FRISCH et J.-D. FOURNIER
Observatoire de Nice, B.P. 252, 06007 Nice Cedex, France
Résumé. — On présente quelques résultats exacts pour l'équation de Burgers avec conditions
initiales aléatoires. On montre en particulier qu'à l'instant tt de la première singularité le spectre
est plus raide que le spectre inertiel en k~2.
Abstract. — We present some exact results for the statistical Burgers equation. In particular,
it is shown that at the time ;„, of the first singularity, the spectrum is steeper than the inertiel k'2
spectrum.
La transformée de Fourier spatiale de la solution de l'équation de Burgers avec viscosité nulle, en phase régulière, possède une représentation explicite comme intégrale Lagrangienne
Ç + oo
û(t, k) = ik~l eto('•a, u\à) âa , (1)
où u(à) est la vitesse initiale, supposée nulle à l'infini, et x{t, a) — a + tu{a) la position à l'instant t de la particule partie de a à l'instant initial. Cette repré-sentation se généralise facilement à la phase dissipative (chocs) ; on obtient alors
fi + ÛO
û(t, k) = - ik~l r1 [eikX(,'a) - e'""] àa (2)
J - 0 0
où X(t, à) a la même définition que x(t, a) mais ne s'écrit plus a + tu(a). En particulier, lorsque a est dans un intervalle Lagrangien de choc, X{t, a) est constant, égal à l'abscisse Eulérienne du choc.
La représentation (2) n'est pas totalement explicite puisque la fonction X(t, a) doit être déterminée en étudiant les mouvements des chocs. Néanmoins elle se prête beaucoup mieux que la solution de Hopf-Cole à l'étude de l'équation de Burgers aléatoire avec conditions initiales statistiquement homogènes.
De l'équation (2) on peut déduire le spectre de la solution
/•+0O
E(t,k) = 2nk-2r2 dheikh[K(t,k,h)-K(t,k, oo)]
J - co
(3) où
m, k,h) = i exp ik(at, h) - Ç(t, O» > ; (4)
£(?, a) = X(t, à) — a désigne le déplacement Lagran-gien, les crochets désignent une valeur moyenne.
L'expression (3) se prête à un certain nombre de développements asymptotiques. Deux cas ont été étudiés pour l'instant.
1. Conditions initiales à gradient de vitesse presque
sûrement uniformément borné (pour assurer un temps
de régularité t^ fini). — On s'est, dans un premier temps, limité à t f t%. Soit P{b) la densité de probabilité
du gradient de vitesse initiale. On suppose
P(b) oc (b + Mf a > - 1 (5)
au voisinage de la borne inférieure — M du gradient de vitesse.
Uenstrophie (valeur quadratique moyenne du
gra-dient de vitesse) est alors donnée pour / f /„, par
(
reste fini a > 0- log ( / „ - / ) a = 0 (6) ( / , - / ) " - 1 < a < 0
alors que les fermetures prévoient Q(t) oc (/„, — i)~2.
Pour k -> oo et / \ /„, le spectre possède un déve-loppement asymptotique dont le terme dominant, pour a > — 1/2, s'écrit
E(t, k) oc A;-3"2^3 , FJi^ - 03/2] , (7)
où FJO) = 1 et Fx(z) décroît exponentiellement pour
z -> + oo.
Dans ce cas, à l'instant ?„, on a un spectre en k~ 3 ~ 2a'3
d'exposant toujours supérieur à 8/3.
Pour ; î t^ le spectre tend donc vers une forme
relativement universelle : elle ne dépend que de
l'expo-sant a et non du détail des conditions initiales (').
(') Le comportement asymptotique du spectre pour t > rt et,
en particulier pour t J, /„ est en cours d'étude. L'équation (3) semble
se prêter à une démonstration de la loi en A:-2 Gamais établie) du
folklore de la Burgulence (Saffman, Lectures on Homogeneous
Turbulence, 1966).
2. Conditions initiales Gaussiennes. - Le gradient de vitesse initiale peut, avec une probabilite finie,
prendre des valeurs negatives arbitrairement grandes ;
on a donc t , = 0 (contrairement aux rtsultats
obtenus par technique de fermeture DIA, MRCM,
EDQNM, ...). Le spectre E(t, k) est pour k fini une
fonction non analytique a t = 0, somme d'une fonc-
tion entiere et d'une fonction C" ayant toutes ses
dCrivCes initiales nulles (c.f. e-
"'".
Si l'on utilise des techniques formelles de theorie du champ (developpements en diagrammes de Feyn-
man, etc., ...), seule la partie analytique s'obtient.
Celle-ci posdde une representation explicite par quadrature
E f ( ~ , h ) = k-2 t - 2 dh eikh e - f 2 h 2 r ( 0 ) [e r 2 k 2 r ( h ) - 11
(8)
oh T(h) est la covariance des conditions initiales
(supposkes de valeur moyenne nulle). L'indice f
signifie formel.
Le dkveloppement asymptotique pour k + co et t
fixe du spectre formel s'kcrit (')
