Théorie $L^p$ pour l'équation de Cauchy-Riemann

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Preprint submitted on 8 Jan 2013

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Christine Laurent-Thiébaut

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Christine Laurent-Thiébaut. ThéorieL^p pour l’équation de Cauchy-Riemann. 2013. �hal-00771193�

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Christine LAURENT-THI ´EBAUT

Cet article propose une étude systématique de l’opérateur de Cauchy-Riemann relativement aux espaces L^p, 1< p <+∞, dans les variétés analytique complexes. L’intérêt des espaces L^p, 1 < p < +∞, est que leurs espaces duaux sont des espaces de même type, plus précisément le dual d’un espace L^p, 1< p < +∞, est un espace L^p^′, où p^′ est déterminé par ¹_p +_p¹′ = 1. Cette propriété prend toute son importance dans l’étude de la dualité de Serre.

Notons que si p = 2, alors p^′ = 2 et les espaces L² sont des espaces de Hilbert. Le cas particulier p = 2 a été très largement étudié via la théorie L² de L. Hörmander [12]

et l’étude de l’opérateur de Neumann initiée par G.B. Folland et J.J. Kohn [7] (voir [6]

et les références contenues dans sa bibliographie). Un travail récent de D. Chakrabarti et Mei-Chi Shaw [4] traite de la dualité de Serre dans ce cadre.

Une première partie s’intéresse à la cohomologie de Dolbeault L^p_loc à valeurs dans un fibré vectoriel holomorphe sur une variété analytique complexe. Nous prouvons l’existence de l’isomorphisme de Dolbeault entre la cohomologie de Dolbeault L^p_loc et la cohomologie de Dolbeault C^∞ ainsi que la cohomologie de Dolbeault pour les courants. Nous prouvons en particulier

Théorème 0.1. Soient X une variété analytique complexe de dimension complexe n, E un fibré vectoriel holomorphe sur X et p≥1. Si r est un entier tel que 0≤r≤n,

(i) pour toute f ∈ (L^p_loc)^r,q(X, E), q ≥ 1, telle que ∂f = 0, et tout voisinage U du support def, il existeg∈(L^p_loc)^r,q−¹(X, E) `a support dansU telle quef−∂g ∈ E^r,q(X, E);

(ii) si f ∈ (L^p_loc)^r,q(X, E), q ≥1, v´erifie f = ∂S pour un courant S ∈ D^′r,q−¹(X, E), alors pour tout voisinageU du support de S il existe g∈(W_loc¹^,p)^r,q−¹(X, E) `a support dans U telle que f =∂g sur X.

On obtient alors que sif ∈(L^p)^r,q(X, E), 0≤r ≤n,q ≥1, est une forme diff´erentielle

`

a support compact dansX, qui est exacte au sens des courants, il existeg∈(W¹^,p)^r,q−¹(X, E)

`

a support compact dansX telle quef =∂g surX. Cela répond à une question posée par G. Tomassini (voir [2] et [1]).

Il en résulte également un théorème d’extension du type Hartogs-Bochner-Severi pour les fonctions CR de régularité SobolevW¹⁻¹^p^,p.

UJF-Grenoble 1, Institut Fourier, Grenoble, F-38041, France

CNRS UMR 5582, Institut Fourier, Saint-Martin d’H`eres, F-38402, France 2010 A.M.S. Classification: 32C37, 32F10, 32W05 .

Key words: ´equation de Cauchy-Riemann, dualit´e de Serre, estimationsL^p.

1

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Dans la seconde partie nous définissons plusieurs complexes de Cauchy-Riemann pour L^p. Nous développons tout d’abord la théorie d’Andreotti-Grauert dans le cadreL^p, une première avancée dans ce domaine est due à N. Kerzman [13]. Pour ce faire, nous nous appuyons sur des résultats de compacité résultant des estimations Sobolev jusqu’au bord dues à R. Beals, P. Greiner et N. Stanton [3].

Ensuite nous précisons les propriétés de dualité reliant les différents complexes L^p et en appliquant des résultats abstraits nous développons la dualité de Serre dans ce cadre. Cela nous permet d’étudier la résolution du ∂ à support exact. Plus précisément nous considérons le problème de Cauchy faible suivant : Soit X une variété analytique complexe de dimension complexe n≥2, E un fibré vectoriel holomorphe sur X et D un domaine relativement compact dans X. Etant donnée une (r, q)-forme f à coefficients dans L^p(X, E), avec 0≤r≤n et 1≤q≤n, telle que

suppf ⊂D et ∂f = 0 au sens des distributions dans X, existe-t-il une (r, q−1)-forme g `a coefficients dans L^p(X) telle que

suppg⊂D et ∂g=f au sens des distributions dansX ?

Notons que lorsque q=n, la condition ∂f = 0 dans l’énoncé du problème de Cauchy est vide et qu’une condition de moment est nécessaire pour avoir une solution. Des conditions cohomologiques puis géométriques sur X et D sont données pour obtenir une réponse affirmative (voir les Théorèmes 2.19 et 2.20 et les corollaires qui suivent). La théorie développée ici donne un bien meilleur contrôle du support de la solution en fonction du support de la donnée par rapport aux résultats démontrés dans la première partie.

Finalement nous pouvons déduire de l’étude du problème de Cauchy des résultats d’extensions pour les formes différentielles CR, de résolution de l’équation de Cauchy- Riemann dans des anneaux et des théoremes de séparation pour certains groupes de cohomologie.

Je voudrais remercier ici Eric Amar pour les nombreux ´echanges que nous avons eu lors de la pr´eparation de cet article.

1 Cohomologie L

^p_loc

dans les vari´ et´ es complexes

SoientXune variété analytique complexe de dimension complexenetE un fibré vectoriel holomorphe surX, on note E^r,q(X, E), 0 ≤r, q ≤n, l’espace de Fréchet des (r, q)-formes différentielles à valeurs dansE de classeC^∞surX muni de la topologie de la convergence uniforme des formes et de toutes leurs dérivées sur tout compact de X et D^r,q(X, E), 0 ≤ r, q ≤ n, le sous espace de E^r,q(X, E) des formes à support compact muni de sa topologie usuelle de limite inductive de Fréchet. On désigne par ∂l’opérateur de Cauchy- Riemann associé à la structure complexe de X et pour tout 0 ≤ r ≤ n on considère les groupes de cohomologie H^r,q(X, E), 0 ≤ q ≤ n, du complexe (E^r,•(X, E), ∂) et les groupes de cohomologie Hc^r,q(X, E), 0 ≤ q ≤ n, du complexe (D^r,•(X, E), ∂). Il s’agit des groupes de cohomologie de Dolbeault et des groupes de cohomologie de Dolbeault à support compact de X à valeurs dansE, ils sont définis par

H^r,q(X, E) = E^r,q(X, E)∩ker∂

∂E^r,q−¹(X, E) et H_c^r,q(X, E) = D^r,q(X, E)∩ker∂

∂D^r,q−¹(X, E)

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et munis de la topologie quotient correspondante.

Si D^′r,q(X, E), 0 ≤ r, q ≤ n, désigne l’espace des courants de bidegré (r, q) à valeurs dansE surX, on peut étendre l’opérateur∂à cet espace en posant pourT ∈ D^′r,q(X, E),

< ∂T, ϕ >= (−1)^p⁺^q⁺¹ < T, ∂ϕ > pour toute formeϕ∈ D^{n−r,n−q−}¹(X, E^∗). On obtient ainsi un nouveau complexe (D^′r,•(X, E), ∂) dont les groupes de cohomologie sont not´es H_cour^r,q (X, E).

Pour 0≤r ≤n, notons Ω^r_E le faisceau des (r,0)-formes holomorphes sur X à valeurs dans E. Il résulte du lemme de Dolbeault et de l’isomorphisme de de Rham-Weil (voir par exemple le Théorème 2.14 dans [11]) que les groupes de cohomologie du faisceau Ω^p_E et les groupes de cohomologie de Dolbeault sont isomorphes, i.e.

H^q(X,Ω^r_E)∼H^r,q(X, E).

Le lemme de Dolbeault étant également valide pour les courants (voir par exemple le Théorème 2.13 dans [11]), les groupes de cohomologie du faisceau Ω^p_E et les groupes de cohomologie au sens des courants sont aussi isomorphes, i.e.

H^q(X,Ω^r_E)∼H_cour^r,q (X, E).

Dans cette section, nous allons généraliser ces résultats à la cohomologie L^p_loc, p≥1.

Pour faciliter la lecture de ce travail nous donnons en détail la plupart des démonstrations même lorsqu’elles sont similaires à celles de [11].

Considérons pourp≥1, le sous espace (L^p_loc)^r,q(X, E), 0≤r, q ≤n, deD^′r,q(X, E) des (r, q)-formes différentielles à valeurs dansEà coefficients dansL^p_locmuni de la topologie de la convergenceL^p sur tout compact deX. On définit l’opérateur∂ de (L^p_loc)^r,q(X, E) dans (L^p_loc)^r,q⁺¹(X, E) de la manière suivante : si f ∈(L^p_loc)^r,q(X, E) et g ∈(L^p_loc)^r,q⁺¹(X, E), on a ∂f = g si ∂f et g co¨ıncident au sens des courants et son domaine de définition Dom(∂) est l’ensemble des f ∈(L^p_loc)^r,q(X, E) telles que ∂f ∈ (L^p_loc)^r,q⁺¹(X, E). Notons que puisque ∂◦∂= 0, sif ∈Dom(∂) alors∂f ∈Dom(∂). On obtient ainsi un complexe d’opérateurs non bornés ((L^p_loc)^r,•(X, E), ∂).

Le lemme de Dolbeault est encore valable pour les formes à coefficients dans L^p_loc. En effet, pour tout x ∈ X, si U ⊂⊂ V sont deux voisinages de x contenus dans un ouvert de carte de X qui est aussi un domaine de trivialisation deE, χ une fonction à valeurs positives, de classe C^∞sur X, à support compact contenu dansV et identiquement égale

`

a 1 sur U et si f ∈ (L^p_loc)^r,q(X, E), q ≥ 1, après avoir identifiéU et V avec des ouverts de Cⁿ par un choix de coordonnées, on obtient, pour tout z ∈ V, par la formule de Bochner-Martinelli-Koppelman

(−1)^r⁺^q(χf)(z) =∂ Z

ζ∈V

(χf)(ζ)∧B(z, ζ)− Z

ζ∈V

∂(χf)(ζ)∧B(z, ζ),

où B(z, ζ) désigne le noyau de Bochner-Martinelli. Lorsque la forme différentielle f est

∂-ferm´ee alors

(−1)^r⁺^q(χf)(z) =∂ Z

ζ∈V

(χf)(ζ)∧B(z, ζ)− Z

ζ∈V

∂χ(ζ)∧f(ζ)∧B(z, ζ).

Rappelons que le noyau de Bochner-Martinelli vérifie B = τ^∗k_BM, où k_BM est une forme différentielle singulière à l’origine, à coefficients localement intégrables sur Cⁿ et

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τ l’application qui à (z, ζ) associeζ−z (cf. [14], chapitre III). Par conséquent, grâce aux propriétés de la convolution, la forme différentielle B(χfe )(z) =R

ζ∈V(χf)(ζ)∧B(z, ζ) est dans (L^p_loc)^r,q−¹(X, E).

La forme diff´erentielle R

ζ∈V ∂χ(ζ)∧f(ζ)∧B(z, ζ) est∂-fermée et de classe C^∞ sur U, car les singularités de B sont concentrées sur la diagonale et le support de ∂χ contenu dans V \U. Il résulte du lemme de Dolbeault pour les formes de classe C^∞ qu’il existe un voisinage U^′ ⊂ U de x et une forme différentielle g de classe C^∞ sur U^′ telle que R

ζ∈V ∂χ(ζ)∧f(ζ)∧B(z, ζ) =∂g surU^′. Par cons´equent on a pour tout z∈U^′ (−1)^r⁺^qf(z) =∂ B(χfe )(z)−g

et la forme diff´erentielle B(χfe )(z)−g est `a coefficients dansL^p_loc.

Le complexe ((L^p_loc)^r,•(X, E), ∂) est donc une r´esolution du faisceau Ω^r_E et les groupes de cohomologie H_L^r,qP

loc

(X, E) de ce complexe sont isomorphes aux groupes de cohomologie du faisceau Ω^p_E, i.e.

H^q(X,Ω^r_E)∼H^r,q

L^P_loc(X, E).

On en d´eduit ais´ement la proposition suivante :

Proposition 1.1. SoientX une variété analytique complexe de dimension complexe net E un fibré vectoriel holomorphe sur X. Pour tout p ≥1 et 0≤r, q ≤n, les applications naturelles

Φ : H^r,q(X, E)→H^r,q

L^P_loc(X, E) et Ψ : H^r,q

L^P_loc(X, E)→H_cour^r,q (X, E) sont des isomorphismes, appel´es isomorphismes de Dolbeault. En particulier

(i) Pour toutef ∈(L^p_loc)^r,q(X, E),q≥1, telle que∂f = 0, il existeg∈(L^p_loc)^r,q−¹(X, E) telle que f−∂g ∈ E^r,q(X, E).

(ii) Sif ∈(L^p_loc)^r,q(X, E),q ≥1, v´erifief =∂S pour un courant S∈ D^′r,q−¹(X, E), il existe g∈(L^p_loc)^r,q−¹(X, E) telle que f =∂g sur X.

Notons que si la variétéXest compacte l’espace des formes à coefficients dansL^p_loc(X, E) co¨ıncide avec l’espace des formes à coefficients dans L^p(X, E) et par conséquent il résulte de la Proposition 1.1 que

H^q(X,Ω^r_E)∼H^r,q(X, E)∼H_L^r,qP(X, E)∼H_cour^r,q (X, E).

Le point (i) de la Proposition 1.1 peut être précisé de la manière suivante :

Proposition 1.2. SoientX une variété analytique complexe de dimension complexe n,E un fibré vectoriel holomorphe sur X et p≥1. Pour toute f ∈(L^p_loc)^r,q(X, E), q ≥1, telle que ∂f = 0, et tout voisinage U du support def, il existe g∈(L^p_loc)^r,q−¹(X, E) à support dans U telle que f−∂g∈ E^r,q(X, E).

D´emonstration. Choisissons un voisinageV du support def tel queV ⊂U et soientχ0et χ1 des fonctions de classeC^∞surX telles queχ0 = 1 sur un voisinage deX\V etχ0 = 0

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au voisinage du support de f,χ1 = 1 au voisinage deX\U etχ1 = 0 sur un voisinage de V.

Puisque f est ∂-fermée, il résulte du (i) de la Proposition 1.1 qu’il existe une forme g0 ∈(L^p_loc)^r,q−¹(X, E) telle que f−∂g0 =u∈ E^r,q(X, E). Alors u=−∂g0 sur X\suppf et comme le morphisme Φ de la Proposition 1.1 est injectif, il existe une formevde classe C^∞surX\suppf telle queu=∂v surX\suppf. SurX\V on a alors∂(g0+χ0v) = 0 et l’assertion (i) de la Proposition 1.1 appliquée à la variétéX\V implique alors l’existence d’une forme g1∈(L^p_loc)^r,q−¹(X\V , E) telle que g0+χ0v−∂g1 =w∈ E^r,q(X\V , E). La formeg =g0+χ0v−χ1w−∂(χ1g1) est à coefficients dans L^p_loc et à support dansU, de plus

f−∂g=f −∂(g0+χ0v−χ1w) =u−∂(χ0v−χ1w) est de classe C^∞ surX.

Considérons les sous espaces (L^pc)^r,q(X, E) de (L^p_loc)^r,q(X, E), 0≤r, q ≤n, des (r, q)- formes à coefficients dans L^p et à support compact, on peut leur associés le complexe ((L^pc)^r,•(X, E), ∂). Les groupes de cohomologie de ce complexe sont définis par

H_c,L^r,qp(X, E) = (L^p_c)^r,q(X, E)∩ker∂

∂(L^pc)^r,q−¹(X, E) .

Corollaire 1.3. Soient X une variété analytique complexe, connexe, non compacte, de dimension complexe n et E un fibré vectoriel holomorphe sur X. Pour tout p ≥ 1 et 0≤r, q ≤n, l’application naturelle

Φ_c : H_c^r,q(X, E)→H_c,L^r,qP(X, E) est surjective.

Démonstration. Siq = 0, Hc^r,⁰(X, E) =H_c,L^r,⁰P(X, E) = 0, car X est connexe, et le corollaire est vrai, il reste alors à prouver que pour toute f ∈ (L^p_c)^r,q(X, E), q ≥ 1, telle que ∂f = 0, il existe g ∈ (L^pc)^r,q−¹(X, E) telle que f −∂g ∈ D^r,q(X, E). Soient f ∈ (L^pc)^r,q(X, E), q ≥1, telle que ∂f = 0, et U ⊂⊂ X un voisinage relativement compact du support def. Appliquons la Proposition 1.2 àf etU, il existe doncg∈(L^p_loc)^r,q−¹(X, E)

`

a support dansU telle quef−∂g ∈ E^r,q(X, E). Mais puisqueU est relativement compact dansX, le support de gest compact et g∈(L^pc)^r,q−¹(X, E), de plus le support def −∂g est ´egalement contenu dans U, donc compact etf −∂g ∈ D^r,q(X, E).

Le Corollaire 1.3 permet de répondre à la question naturelle suivante : si la variété X satisfait Hc^r,q(X, E) = 0, q ≥ 1, et si f ∈ (L^p)^r,q(X, E) est une forme ∂-fermée à support compact dansX, existe-t-il une formeg∈(L^p)^r,q(X, E) à support compact dans X telle que ∂f =g surX ? En effet, siH_c^r,q(X, E) = 0, la surjectivité de l’application Φ_c implique que H_c,L^r,qP(X, E) = 0 et la réponse est donc positive par définition des groupes de cohomologie H_c,L^r,q_P(X, E).

Cette question, originellement posée par G. Tomassini, a été étudiée par E. Amar et S. Mongodi [2] lorsqueX =Cⁿ et par E. Amar [1] lorsqueX est une variété de Stein.

Nous pouvons également préciser l’assertion (ii) de la Proposition 1.1 en termes de régularité et de support.

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Proposition 1.4. Soient X une variété analytique complexe de dimension complexe n, E un fibré vectoriel holomorphe sur X et p ≥ 1. Si f ∈ (L^p_loc)^r,q(X, E), q ≥ 1, vérifie f =∂S pour un courant S ∈ D^′r,q−¹(X, E), alors pour tout voisinage U du support de S il existe g∈(W_loc¹^,p)^r,q−¹(X, E) à support dansU telle que f =∂g sur X.

Démonstration. Soient f ∈ (L^p_loc)^r,q(X, E), q ≥ 1, vérifiant f = ∂S pour un courant S ∈ D^′r,q−¹(X, E) et U un voisinage du support de S. Grâce à régularité intérieure de la solution canonique de l’équation de Cauchy-Riemann (cf. Théorème 4 (b) dans [3], car à l’intérieur du domaine tous les champs de vecteurs sont admissibles), il existe g0 ∈ (W_loc¹^,p)^r,q−¹(X, E) telle que f = ∂g0 sur X. Le courant S −g0 étant ∂-fermé, la surjectivité de l’application naturelle

H^r,q(X, E) →H_cour^r,q (X, E)

implique qu’il existe un courantT surX et une formeu ∂-fermée, de classe C^∞surXtelle queS−g0+∂T =u. On a alors∂T =u+g0 surX\suppS. Une fois encore la régularité intérieure implique qu’il existe g1∈(W_loc¹^,p)^r,q−¹(X\suppS, E) telle queu+g0 =∂g1 sur X\suppS. Choisissons une fonction χ de classe C^∞ surX telle queχ = 0 au voisinage du support deSetχ= 1 sur un voisinage deX\U. Alors la formeg=g0+u−∂(χg1) est dans (W_loc¹^,p)^r,q−¹(X, E), elle vérifie ∂g =∂(g0+u) = ∂S =f et son support est contenu dans U.

La Proposition 1.4 permet d’affirmer que dans une variété analytique complexe non compacte quelconque, si on sait qu’une forme f ∈(L^p_c)^r,q(X, E),q≥1, est exacte au sens des courants à support compact, alors il existeg∈(Wc¹^,p)^r,q−¹(X, E) telle quef =∂g sur X. De plus on peut choisirgavec un support arbitrairement proche de celui de la solution au sens des courants. Notons qu’une condition nécessaire surf pour être exacte au sens des courants à support compact est d’être orthogonale aux formes∂-fermées de classeC^∞ sur X, plus précisément f doit satisfaire R

Xf ∧ϕ= 0 pour toute forme ϕ∈ E^n−r,n−q(X, E^∗) v´erifiant ∂ϕ= 0.

Corollaire 1.5. Soient X une variété analytique complexe, connexe, non compacte, de dimension complexe n et E un fibré vectoriel holomorphe sur X. Pour tout p ≥ 1 et 0≤r, q ≤n, l’application naturelle

Ψ_c : H_c,L^r,qP(X, E)→H_c,cour^r,q (X, E) est injective.

Démonstration. Si q = 0, Hc,cour^r,⁰ (X, E) = H_c,L^r,⁰P(X, E) = 0, car X est connexe, et le corollaire est vrai, il reste alors à prouver que pour toutef ∈(L^pc)^r,q(X, E),q≥1, telle que f =∂Spour un courantS ∈ D^′r,q−¹(X, E) à support compact, il existeg∈(L^pc)^r,q−¹(X, E) telle quef =∂gsurX. C’est une conséquence directe de la Proposition 1.4 en prenantU un voisinage relativement compact du support de S.

Nous allons préciser la réponse que l’on peut apporter à la question de G. Tomassini par un contrôle du support de la solution en fonction du support de la donnée lorsque certaines conditions géométriques sont réalisées.

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Il résulte du Corollaire 1.5 et de la Proposition 1.4 que siDest un voisinage du support de la forme différentielle∂-ferméef ∈(L^p_c)^r,q(X, E), qui vérifieH_c,cour^r,q (D, E) = 0, il existe g∈(W_c¹^,p)^r,q−¹(X, E) telle quef =∂g sur X et suppg⊂D.

Théorème 1.6. SoientX une variété analytique complexe, non compacte, de dimension complexe n et E un fibré vectoriel holomorphe sur X. Si f ∈(L^pc)^r,q(X, E), 0 ≤r ≤n, q ≥1, vérifie ∂f = 0, si 1≤q≤n−1, et R

Xf ∧ϕ= 0 pour toute ϕ∈ E^n−r,⁰(X, E) telle que ∂ϕ= 0, si q =n, et s’il existe un ouvert de Stein Dtel que suppf ⊂D⊂⊂X, alors il existe g∈(Wc¹^,p)^r,q−¹(X, E) telle que suppg⊂Det ∂g =f.

Démonstration. Puisque D est un ouvert de Stein H^r,q(D, E^∗) = 0 pour tout 0 ≤r ≤n et 1≤q≤n, il résulte de la dualité de Serre queH_c,cour^r,q (D, E) = 0 pour tout 0≤r ≤net 1≤q ≤n−1, et que si un (r, n)-courantT à support compact dansDvérifie< T, ϕ >= 0 pour toute ϕ ∈ E^n−r,⁰(X, E) telle que ∂ϕ = 0, alors il existe un (r, n−1)-courant S à support compact dans Dtel que ∂S=T. Il suffit alors d’appliquer la Proposition 1.4 au domaine D.

Plus généralement si D est seulement s-complet au sens d’Andreotti-Grauert (i.e. D possède une fonction d’exhaustion de classe C^∞, dont la forme de Levi possède au moins n−s+ 1 valeurs propres strictement positives), alorsH^r,q(D, E^∗) = 0 pour tout 0≤r≤n et s≤q ≤n et par conséquent Hc,cour^r,q (D, E) = 0 pour tout 0≤r ≤net 1≤q ≤n−s.

On pourra donc résoudre l’équation de Cauchy-Riemann dans L^p avec support dans D pour une donnée de bidegré (r, q) à support dans D à condition que 1≤ q ≤n−s. Ou encore siD= Ω\Ω^∗, où Ω ests-complet et Ω^∗ possède une base de voisinage s^∗-complets, mais alors seulement pour s^∗ + 1 ≤ q ≤ n−s. En effet si s^∗ + 1 ≤ q ≤ n−s et si Ω^∗ possède une base de voisinage s^∗-complets, nous allons pouvoir corriger toute solution g

`

a support compact dans Ω et L^p dansX de l’´equation ∂g=f, lorsquef ∈L^pr,q(X, E) est

`

a support compact dans D= Ω\Ω^∗ pour obtenir une solutionh à support compact dans D etL^p dans X. Puisque f est à support compact dans D, la forme différentielle g est

∂-fermée au voisinage de Ω^∗et par conséquent il existe un (r, q−1)-forme u définie etL^p_loc au voisinage de Ω^∗ telle que g = ∂u (Ω^∗ possède une base de voisinage s^∗-complets). Il suffit alors de poser h= g−∂(χu), où χ est une fonction de classe C^∞ sur X à support compact dans le domaine de définition de u et égale à 1 au voisinage de Ω^∗.

En degré 1 nous avons le résultat plus précis suivant :

Proposition 1.7. Soient X une variété analytique complexe, connexe, non compacte, de dimension complexe n, D un domaine relativement compact de X etE un fibré vectoriel holomorphe sur X. On suppose que, pour 0≤r ≤n, Hc^r,¹(X, E) = 0 (ce qui est satisfait par exemple si X est (n−1)-complète au sens d’Andreotti-Grauert et en particulier pour les variétés de Stein de dimension n≥2) et queX\Dest connexe, alors pour toute(r,1)- forme f à coefficients dans L^p(X, E) à support dans D, il existe une unique (r,0)-forme g à coefficients dans W¹^,p(X, E) et à support dans Dtelle que ∂g=f.

Démonstration. Il résulte du Corollaire 1.3, qu’il existe une (r,0)-forme g à coefficients dansL^p(X) et à support compact dansX telle que∂g=f. La formegs’annule donc sur un ouvert deX\D. De plusgest une (r,0)-forme holomorphe sur l’ouvertX⊂suppf qui contient X\D et par prolongement analytique, puisqueX\Dest connexe, elle s’annule

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identiquement sur X\D. Le support de g est donc contenu dans D. Soit h une autre solution, alorsg−hest une fonction holomorphe `a support compact dansX qui est donc nulle par prolongement analytique puisque X est connexe. Par cons´equent g = h et de plus g∈W¹^,p(X, E) par la Proposition 1.4.

Nous retrouvons ainsi le contrôle du support proposé par E. Amar [1] en degré 1, lorsqueX est une variété de Stein.

Nous pouvons déduire de la Proposition 1.7 une versionL^p du phénomène de Hartogs- Bochner-Severi (voir les chapitre IV et V de [14] et les références associées pour l’étude de ce phénomène). Un version L² est donnée dans le dernier paragraphe de [6].

Théorème 1.8. Soient X une variété analytique complexe, connexe, non compacte, de dimension complexe n, D un domaine relativement compact de X à bord Lipschitz et E un fibré vectoriel holomorphe surX. On suppose que, pour 0≤r≤n,H_c^r,¹(X, E) = 0(ce qui est satisfait par exemple si X est (n−1)-complète au sens d’Andreotti-Grauert et en particulier par les variétés de Stein de dimension n≥2) et que X\D est connexe. Soit f ∈W¹⁻

1 p

r,0 (∂D, E) telle que Z

∂D

f∧∂ϕ= 0 pour touteϕ∈ E^n−r,n−¹(X, E^∗).

Alors il existe une section F de E holomorphe sur Det W¹^,p sur X telle que la trace de F sur ∂D co¨ıncide avecf.

Démonstration. Notons feune extension def contenue dansW¹^,p(X, E) (une telle extension existe lorsque le bord deDest Lipschitz d’après le Théorème 1.5.1.3 de [9]) et (∂fe)0

le prolongement de ∂fe_|_D par 0 `a X . Nous allons montrer que la (0,1)-forme (∂fe)0 est

∂-ferm´ee au sens des courants. Consid´erons une suite (fe_ν)_ν∈N de (0,1)-formes de classe C^∞ surX qui converge vers fesurX dansW¹^,p, alors, pour toute ϕ∈ E^n−r,n−¹(X, E^∗),

Z

D

∂fe∧∂ϕ= lim

ν→+∞

Z

D

∂fe_ν∧∂ϕ= lim

ν→+∞

Z

∂D

fe_ν∧∂ϕ= Z

∂D

f∧∂ϕ= 0.

D’apr`es la Proposition 1.7, il existe une sectiong∈W¹^,p(X, E) `a support dansDtelle que

∂g = (∂fe)0. Puisque g∈W¹^,p(X, E) la trace deg sur∂D existe et est nulle etF =fe−g convient.

2 Complexes de Cauchy-Riemann L

^p

et dualit´ e

Dans cette section X désigne une variété analytique complexe de dimension complexe n, D un domaine relativement compact à bord rectifiable contenu dans X et E un fibré holomorphe de rang l sur X. On munit X d’une métrique hermitienne localement

équivalente à la métrique usuelle de Cⁿ telle que le complexifié de l’espace tangent à X vérifie CT(X) = T¹^,⁰(X) ⊕T⁰^,¹(X) et que T¹^,⁰(X) ⊥ T⁰^,¹(X). On note dV la forme volume associée à cette métrique.

(10)

Pour tout entierp ≥1, on définit l’espace L^p(D) comme l’espace des fonctionsf sur D à valeurs complexes telles que|f|^p est intégrable surD. Puisque D⊂⊂X, on a

D(D)⊂ E(X)_|_D ⊂L^p(D),

où E(X)_|_D est l’espace des restrictions à D des fonctions de classe C^∞ sur X et D(D) le sous-espace des fonctions de classeC^∞ à support compact dansD. L’espaceL^p(D) est un espace de Banach, c’est le complété de D(D) pour la norme k.k_p définie par

kfk_p = ( Z

D

|f|^pdV)¹^p.

2.1 Complexes de Cauchy-Riemann L^p

Pour 0≤r, q ≤n,E^r,q(X, E) désigne l’espace des (r, q)-formes différentielles de classeC^∞ sur X à valeurs dans E et D^r,q(D, E) le sous-espace de E^r,q(X, E) des formes à support compact dansD. Soit (U_i)_i∈I un recouvrement fini deD par des ouverts de cartes deX qui sont également des ouverts de trivialisation deEet (χ_i)_i∈I une partition de l’unité sur Drelative au recouvrement (U_i)_i∈I. On définitL^p_r,q(D, E) comme l’espace des (r, q)-formes différentielles f sur D à valeurs dans E telles que pour tout i∈I, dans des coordonnées locales, la forme χ_if soit une forme à coefficients dans L^p(D∩U_i,C^l). Pour chaque choix de trivialisation et de coordonnées sur Ui on peut définir kχifkp comme la somme des normes k.k_p de ses coefficients et on pose alors kfk_p = P

i∈Ikχ_ifk_p. Un changement de coordonnées ou de trivialisation définit une norme équivalente. L’espace L^pr,q(D, E) possède donc une structure d’espace de Banach et c’est le complété deD^r,q(D, E) pour la normek.k_p.

Pour r fixé, 0 ≤ r ≤ n, nous allons associer aux espaces L^pr,q(D, E), 0 ≤ q ≤ n, des complexes d’opérateurs non bornés dont la restriction aux espaces D^r,q(D, E), 0≤q≤n, est le complexe de Cauchy-Riemann classique (D^r,•(D, E), ∂). Pour cela nous devons définir des opérateurs de L^pr,q(D, E) dans L^p_r,q₊₁(D, E) dont la restriction à D^r,q(D, E) co¨ıncide avec l’opérateur de Cauchy-Riemann∂ associé à la structure complexe deX.

D´efinissons ∂_c : L^p_r,q(D, E) → L^p_r,q₊₁(D, E) comme l’extension ferm´ee minimale de

∂_|_D =∂_|_D_r,q_(D,E), c’est par définition un opérateur fermé etf ∈Dom(∂_c) si et seulement si il existe une suite (f_ν)_ν∈N d’éléments de D^r,q(D, E) et g∈ D^r,q⁺¹(D, E) tels que (f_ν)_ν∈N

converge versf dansL^p_r,q(D, E) et (∂f_ν)_ν∈Nconverge versgdansL^p_r,q₊₁(D, E), on a alors g=∂_cf.

On peut aussi consid´erer∂_s : L^p_r,q(D, E)→L^p_r,q₊₁(D, E), l’extension ferm´ee minimale de ∂_|_E =∂_|_Er,q(X,E)|D

, c’est également un opérateur fermé et f ∈Dom(∂_s) si et seulement si il existe une suite (f_ν)_ν∈N d’éléments deE^r,q(X, E) etg∈ E^r,q⁺¹(X, E) tels que (f_ν)_ν∈N

converge versf dansL^pr,q(D, E) et (∂f_ν)_ν∈Nconverge versgdansL^p_r,q₊₁(D, E), on a alors g=∂_sf.

L’opérateur ∂ s’étend à L^p_r,q(D, E) au sens des courants, on peut alors considérer les opérateurs ∂_e_c : L^p_r,q(D, E) → L^p_r,q₊₁(D, E) et ∂ : L^p_r,q(D, E) → L^p_r,q₊₁(D, E) qui co¨ıncident avec l’opérateur ∂au sens des courants et dont les domaines de définitions sont

(11)

respectivement

Dom(∂_e_c) ={f ∈L^p_r,q(X, E) |supp f ⊂D, ∂f ∈L^p_r,q(X, E)}

et

Dom(∂) ={f ∈L^p_r,q(D, E) |∂f ∈L^p_r,q(D, E)}.

Définition 2.1. Un complexe cohomologique d’espaces de Banach est un couple (E^•, d), où E^• = (E^q)q∈Z est une suite d’espaces de Banach etd= (d^q)q∈Z une suite d’opérateurs linéaires d^q fermés deE^q dans E^q⁺¹ qui vérifient d^q⁺¹◦d^q = 0.

Uncomplexe homologique d’espaces de Banach est un couple (E_•, d), o`uE_• = (E_q)_q∈Z

est une suite d’espaces de Banach etd= (dq)q∈Zune suite d’opérateurs linéairesdq fermés de E_q dans E_q+1 qui vérifient d_q◦d_q+1 = 0.

A tout complexe cohomologique on associe les groupes de cohomologie (H^q(E^•))_q∈Z

d´efinis par

H^q(E^•) = kerd^q/Imd^q−¹

et on les munit de la topologie quotient. De même à tout complexe homologique on associe les groupes d’homologie (Hq(E•))q∈Z définis par

H_q(E_•) = kerd_q−1/Imd_q et on les munit ´egalement de la topologie quotient.

En remarquant que les op´erateurs∂ et∂_s satisfont ∂◦∂ = 0 et ∂_s◦∂_s = 0, on peut consid´erer, pour tout 0≤r≤n, les complexes (L^p_r,•(D, E), ∂) et (L^p_r,•(D, E), ∂_s). On note H_L^r,qp(D, E) etH_L^r,qp,s(D, E) leurs groupes de cohomologie respectifs

Observons que lorsque le bord deDest assez régulier, Lipschitz par exemple, il résulte du lemme de Friedrich (cf. lemme 4.3.2 dans [6] et lemme 2.4 dans [15]) que les opérateurs

∂ et∂_s co¨ıncident ainsi que les op´erateurs∂_c et∂_e_c.

Proposition 2.2. Supposons que D⊂⊂X est un domaine `a bord Lipschitz alors

(i) Une forme différentielle f ∈ L^pr,q(D, E) appartient au domaine de définition de l’opérateur ∂ si et seulement si il existe une suite (f_ν)_ν∈N d’éléments de E^r,q(D, E) telle que les suites (f_ν)_ν∈N et (∂f_ν)_ν∈N convergent respectivement versf et ∂f en norme k.k_p. (ii) Une forme différentielle f ∈ L^pr,q(D, E) appartient au domaine de définition de l’opérateur ∂_c si et seulement si les formes f0 et ∂f0 sont toutes deux dans L^p_∗(X, E), si f0 désigne la forme obtenue en prolongeant f par 0 sur X\D.

On d´eduit alors imm´ediatement du (i) de la Proposition 2.2 que, lorsque le bord deD est Lipschitz, les groupes de cohomologie H_L^r,qp(D, E) et H_L^r,qp,s(D, E), 0 ≤ r, q ≤ n, sont

´egaux.

2.2 Th´eorie d’Andreotti-Grauert L^p

L’objet de cette section est d’étendre aux groupes de cohomologie L^p la théorie classique d’Andreotti-Grauert. Pour cela nous allons associer des résultats classiques sur la résolution de l’équation de Cauchy-Riemann avec estimationsL^p et la méthode des bosses de Grauert.

(12)

Définition 2.3. Soient X une variété analytique complexe de dimension complexe n,D un domaine relativement compact dans X ets un entier, 0≤s≤n−1. On dira que D est undomaine complètement strictements-convexe, s’il existe une fonction ρde classeC²

`

a valeurs réelles définie sur un voisinage U de D, dont la forme de Levi possède au moins n−s+ 1 valeurs propres strictement positives, telle quedρ(x)6= 0 pour tout x∈∂D et

D={x∈U |ρ(x)<0}.

On dira queDeststrictements-convexe si la fonctionρest seulement d´efinie au voisinage du bord deD.

Remarquons que grâce au lemme de Morse, la fonction ρ dans la Définition 2.3 peut, sans perte de généralité, être supposée sans point critique dégénéré.

Il résulte des travaux de L. Ma [16] et R. Beals, P. Greiner et N. Stanton [3] que l’on peut résoudre l’équation de Cauchy-Riemann avec estimations Sobolev L^p dans les domaines complètement strictement s-convexes deCⁿ.

Théorème 2.4. SoientD⊂⊂Cⁿ un domaine complètement strictements-convexe de Cⁿ

`

a bordC^∞ etf une(r, q)-forme différentielle à coefficients dansW^s,p(D). Pour0≤r≤n et q ≥s, il existe un opérateur linéaire continuT_q deWr,q^s,p(D) dans W_r,q−^s⁺¹^/₁²^,p(D) tel que

f =∂T_qf +T_q+1∂f.

Observons que, puisque l’injection deW¹^/²^,p(D) dansL^p(D) est compacte, en global- isant à l’aide d’une partition de l’unité le Théorème 2.4 comme dans le chapitre 11 de [11]

on obtient

Théorème 2.5. Soient X une variété analytique complexe de dimension complexe n, E un fibré vectoriel holomorphe sur X et D⊂⊂X un domaine strictement s-convexe à bord C^∞ de X, r et q des entiers tels que 0≤r≤n et q≥s. Alors

(i) il existe des opérateurs linéaires continus T_q^r de L^p_r,q(D) dans L^p_r,q−₁(D) et un opérateur K_q^r compact de L^p_r,q(D)∩Dom(∂) dans lui-même tels que si f ∈L^p_r,q(D)vérifie

∂f ∈L^p_r,q₊₁(D)

f =∂T_q^rf +T_q^r+1∂f+K_q^rf.

(ii) si q ≥ max(1, s), H_L^r,qp(D, E) est de dimension finie et ∂(L^p_r,q−₁(D)) est un sous espace ferm´e de L^p_r,q(D).

Nous pouvons maintenant mettre en œuvre la méthode des bosses de Grauert. Rap- pelons quelques définitions et quelques résultats géométriques donnés dans le chapitre 12 de [11].

Définition 2.6. On appelleélément d’extension strictements-convexe un couple ordonné [θ1, θ2] d’ouverts deXà bordC^∞tel queθ1 ⊂θ2satisfaisant la condition suivante : il existe un ouvert pseudoconvexe V contenu dans un domaine de trivialisation de E contenant θ2\θ1 et des domaines strictement s-convexesD1 et D2 tels que D1 ⊂D2,θ2=θ1∪D2, θ1∩D2 =D1 et (θ1\D2)∩(θ2\θ1) =∅et une application biholomorpheh définie sur un voisinage deV à valeurs dansCⁿtelle queh(D_j),j= 1,2, soit un domaine complètement strictement q-convexe à bordC^∞ de Cⁿ.

(13)

Définition 2.7. Soient D ⊂⊂ Ω ⊂⊂ X des ouverts de X à bord C^∞. On dira que Ω est uneextension strictement s-convexe de D, s’il existe un voisinage U de Ω\D et une fonctionρ de classeC² à valeurs réelles surU avec un ensemble de points critiques discret et dont la forme de Levi possède au moins n−s+ 1 valeurs propres strictement positives, telle que

D∩U ={x∈U |ρ(x)<0} et dρ(x)6= 0 si x∈∂D, Ω∩U ={x∈U |ρ(x)<1} et dρ(x)6= 0 si x∈∂Ω.

Proposition 2.8. SoientD⊂⊂Ω⊂⊂X des ouverts de X `a bord C^∞ tels que Ωsoit une extension strictement s-convexe de D. Il existe une suite finie θ0, . . . , θ_N d’ouverts deX tels que

D=θ0 ⊂ · · · ⊂θ_N = Ω

et que [θ_j−1, θ_j], j= 1, . . . , N, soit un ´el´ement d’extension strictements-convexe.

Nous sommes maintenant en mesure de prouver l’invariance de la cohomologieL^p par les extensions strictement s-convexes.

Théorème 2.9. Soient X une variété analytique complexe de dimension complexe n, E un fibré vectoriel holomorphe sur X et D ⊂⊂Ω ⊂⊂X des ouverts de X à bord C^∞ tels que Ω soit une extension strictement s-convexe de D. Alors l’application restriction

H_L^r,qp(Ω, E)→H_L^r,qp(D, E), 0≤r≤n, max(1, s)≤q ≤n, est un isomorphisme.

Démonstration. La Proposition 2.8 nous permet de réduire la démonstration au cas où le couple (D,Ω) est un élément d’extension strictement s-convexe [θ1, θ2], où θ1 et θ2 sont tous deux strictement s-convexes.

Puisque par définition des éléments d’extension (θ1\D2) ∩(θ2\θ1) = ∅, on peut trouver des voisinages V^′ etV^′′ deθ2\θ1 tels queV^′ ⊂⊂V^′′⊂⊂V etV^′′∩(θ1\D2) =∅.

Choisissons une fonction χ de classeC^∞ dansX telle queχ= 1 surV^′ et suppχ⊂V^′′. Prouvons tout d’abord que l’application restriction

H_L^r,qp(θ2, E)→H_L^r,qp(θ1, E)

est surjective, si s≤ q ≤n. Soit f1 ∈ L^pr,q(θ1) telle que ∂f1 = 0, on cherche des formes différentielles u1 ∈ L^p_r,q−₁(θ1) et f2 ∈ L^pr,q(θ2) telles que ∂f2 = 0 et f2 = f1 −∂u1 sur θ1. Comme D1 est l’image par une application biholomorphe, définie au voisinage D1, d’un domaine complètement strictement s-convexe borné à bord C^∞ de Cⁿ, il existe u∈ L^p_r,q−₁(D1) telle que f1 =∂usur D1, lorsque q≥max(1, s) (cf. Théorème 2.4). Posons

u1=

0 sur θ1\D2

χu sur D1

et f2 =

f1−∂u1 surθ1

0 surθ2\θ1

. Les formes diff´erentielles u1 etf2 satisfont les conditions demand´ees.

Considérons maintenant l’injectivité. Soit f2 ∈ L^p_r,q(θ2) telle que ∂f2 = 0 et u1 ∈ L^p_r,q−₁(θ1) telle que f2 = ∂u1 sur θ1, on cherche une forme différentielle u2 ∈ L^p_r,q−₁(θ2)

(14)

telle que f2 = ∂u2 sur θ2. Comme D2 est l’image par une application biholomorphe, définie au voisinage D2, d’un domaine complètement strictement s-convexe borné à bord C^∞ de Cⁿ, il existe u ∈L^p_r,q−₁(D2) telle que f2 =∂u sur D2, lorsque q ≥max(1, s), (cf.

Théorème 2.4) et par conséquent ∂(u−u1) = 0 surD1.

Siq≥max(1, s) + 1, par le Th´eor`eme 2.4, il existev ∈L^p_r,q−₂(D1) telle que∂v =u−u1

sur D1. Alorsu1−∂(χv) =u surV^′∩θ1. Posons u2 =

u1−∂(χv) sur θ1

u sur V^′∩θ2

, alorsu2 ∈L^p_r,q−₁(θ2) et f2 =∂u2 surθ2.

Supposons que q = max(1, s), il résulte du Théorème 2.5 que ∂(L^p_r,q−₁(θ2)) est un sous espace fermé de L^p_r,q(θ2). Il suffit donc de construire une suite (w_ν)_ν∈N de (r, q−1)- formes contenue dans Dom(∂) telle que la suite (∂w_ν)_ν∈N converge vers f2 en norme k.k_p sur θ2. La forme différentielle u −u1 est à coefficients dans L^p(D1) et ∂-fermée sur D1, donc u−u1 ∈ Dom(∂). Puisque D1 est à bord C^∞ il existe une suite (v_ν)_ν∈N

de formes à coefficients C^∞ dans V telle lim_ν→+∞v_ν = u−u1 et lim_ν→+∞∂v_ν = 0 en norme k.k_p sur D1. Comme D1 est l’image par une application biholomorphe, définie au voisinage D1, d’un domaine complètement strictement s-convexe borné à bord C^∞ de Cⁿ, la solution canonique g_ν de l’équation ∂g = ∂v_ν sur D1 est de classe C^∞ sur D1 et vérifie kgνkp ≤ Ck∂vνkp sur D1, la constante C étant indépendante de ν. En posant e

v_ν = v_ν−g_ν, on obtient une suite (ev_ν)_ν∈N de formes ∂-fermées sur D1 à coefficients C^∞ surD1 qui converge versu−u1en normek.kp surD1. Il résulte du Corollaire 12.5 de [11], que, pour toutν ∈N, il existe une (r, q−1)-forme continue we_ν ∂-fermée surV telle que

kwe_ν −ev_νk_{∞, θ}₁_∩V < 1 2ⁿ

et par cons´equent si Ve est un ouvert qui v´erifie D2⊂Ve et V^′⊂⊂V^′′⊂⊂Ve ⊂⊂V kweν−evνkp <Ce 1

2ⁿ surθ1∩V .e

On obtient ainsi une suite (we_ν)_ν∈N de formes ∂-fermée à coefficients L^p dans V^′′ qui converge vers u−u1 en norme k.kp sur D1. On définit alors la suite (w_ν)_ν∈N en posant w_ν = (1−χ)u1+χ(u−we_ν). alors∂w_ν =f2+∂χ(u−u1−we_ν) et la suite (w_ν)_ν∈Nsatisfait bien les conditions demandées.

On en déduit le corollaire suivant en utilisant la même stratégie que dans la preuve du Théorème 12.15 de [11] :

Corollaire 2.10. Soient X une variété analytique complexe de dimension complexe n,E un fibré vectoriel holomorphe surX etD⊂⊂X un domaine strictements-convexe. Alors pour tout couple (r, q) tel que 0≤r≤n, et max(1, s)≤q≤n,

H_L^r,qp(D, E)∼H_L^r,qp loc

(D, E).

Pour conclure nous prouvons un th´eor`eme d’annulation pour la cohomologie L^p :

(15)

Corollaire 2.11. Soient X une variété analytique complexe de dimension complexe n,E un fibré vectoriel holomorphe sur X et D ⊂⊂ X un domaine complètement strictement s-convexe. Alors pour tout couple (r, q) tel que 0≤r≤n, et max(1, s)≤q ≤n,

H_L^r,qp(D, E) = 0.

Plus précisément il existe un opérateur linéaire continuT de l’espace de BanachZ_L^r,qp(D, E) des(r, q)-formes∂-fermées à valeurs dans E et à coefficients dansL^p(D)dans l’espace de Banach W_r,q−¹^/²^,p₁(D, E) tel que

∂T f =f sur D pour toute f ∈Z_L^r,qp(D, E).

Démonstration. Le Lemme 8.5 de [14] restant valable pour les fonctions C² dont la forme de Levi possède au moinsn−s+ 1 valeurs propres strictement positives, on peut supposer que l’ensemble des points critiques de la fonction définissante ρ de D est discret. Notons a = min_x∈Dρ(x). Si x ∈ D vérifie ρ(x) = a, c’est un point critique de ρ. L’ensemble des points critiques de ρétant discret, il n’existe qu’un nombre fini de tels point dansD.

Par conséquent, pour ε > 0 assez petit, l’ensemble D_a+ε = {x ∈ U | ρ(x) < a+ε} est contenu dans un ouvert de trivialisation deEbiholomorphe à une réunion finie de domaines complètement strictement s-convexes à bord C^∞ de Cⁿ. La nullité de H_L^r,qp(D, E) résulte alors des Théorèmes 2.4 et 2.9.

L’existence de l’opérateurT est une conséquence du Théorème 2.5 et de la Proposition 5 de l’annexe C de [14] (voir aussi l’appendice 2 de [10]).

2.3 Dualit´e

Nous allons considérer dans cette section les complexes duaux associés aux complexes définis dans la section 2.1.

Définition 2.12. Le complexe dual d’un complexe cohomologique (E^•, d) d’espaces de Banach est le complexe homologique (E_•^′, d^′), avec E_•^′ = (E_q^′)q∈Z, où E_q^′ est le dual fort de E^q etd^′= (d^′_q)_q∈Z, où d^′_q est l’opérateur transposé de l’opérateur d^q. Si les espaces E^q sont réflexifs on parlera de paire de complexes duaux.

Pour tout entier p tel que 1 < p < +∞, on note p^′ le nombre entier d´efini par la relation ¹_p +_p¹′ = 1. Rappelons que sif ∈L^p(D) et g∈L^p^′(D) alors

Z

D

|f g|dV ≤ kfk_pkgk_p^′

et que les espaces L^p(D) et L^p^′(D) sont des espaces de Banach réflexifs duaux l’un de l’autre. Si E^∗ désigne le fibré dual du fibréE, il en résulte la même relation de dualité entre les espaces L^pr,q(D, E) et L^p_n−r,n−q^′ (D, E^∗).

Dans toute la suite nous supposerons que l’entierpvérifie 1< p <+∞et nous noterons p^′ l’entier conjugué àp, c’est-à-dire tel que ¹_p +_p¹′ = 1.