Énoncé
L'objet de ce problème1 est d'explorer quelques propriétés de sous-anneaux de Rou de CnotésZ[α]dénis par
Z[α] =
a+bα,(a, b)∈Z2
oùα∈C\Qest solution d'une équation du second degré à coecients entiers.
On considèrera par exemple Z[i] (entiers de Gauss) comme cas particulier des Z[i√ d] ou Z[√
d] pour divers entiers naturelsdainsi queZ[j]oùj=e2iπ3 est une racine troisième de l'unité ou encoreZ[ϕ]oùϕest le nombre d'or c'est à dire le réel positif vériantϕ2=ϕ+ 1.
I. Préliminaires
Soitα∈C\Qpour lequel il existepetq entiers relatifs tels que α2=pα+q
1. Exemple. Montrer quej vérie cette propriété. Que valent alorspetq?
2. Montrer queq6= 0,p2+ 4q6= 0et qu'il existe un uniqueα0∈Ctel queα02=pα0+q et α0 6=α. Exprimer α+α0 et αα0 en fonction de pet q. En déduire queα0 ∈ Z[α]. Comment s'exprimeα0en fonction deαlorsqueαn'est pas réel ? Que vautα0siα=√
d avecd≥2 dansN?
3. a. Montrer queZ[α] est un sous-anneau deC.
b. Par dénition deZ[α], pour toutz∈Z[α], il existe(a, b)∈Z2tel quez=a+αb. Montrer que ce couple est unique.
4. On dénit une applicationNαdansZ[α](à valeurs complexes à priori) par :
∀(a, b)∈Z2, Nα(a+αb) = (a+αb)(a+α0b) a. Montrer queNαest à valeurs dansZet que
∀(z1, z2)∈Z[α]2, Nα(z1z2) =Nα(z1)Nα(z2) b. On suppose ici queα /∈R. Montrer que
∀z∈Z[α], Nα(z) =|z|2 (carré du module)
c. Pourϕ(nombre d'or) et(a, b)entiers, exprimerNϕ(a+bϕ)en fonction deaetb.
1d'après Algebraic Number Theory, I.N. Stewart & D.O. Tall (Chapman and Hall)
II. Divisibilité
On étend àZ[α]certaines dénitions valables dansZ.
On noteIα(ou simplementIsi le contexte dénit clairementα) l'ensemble des éléments inversibles de l'anneauZ[α].
Pour tousz,z0 dans Z[α] avecz0 6= 0, on dit quez0 divise z dansZ[α](ou quez0 est un diviseur dez) si et seulement si il existeq∈Z[α]tel quez=q z0.
On noteD(z)l'ensemble des diviseurs dez.
Pour tousz,z0 dansZ[α], on dit quezest un multiple de z0 si et seulement si il existe q∈Z[α]tel que z=q z0.
Un élément non nul et non inversiblez deZ[α]est dit irréductible si et seulement si D(z) =I∪Iz avecIz={uz, u∈I}
1. Pour tous z, z0 dans Z[α] avec z0 6= 0, montrer que z0 divise z (dansZ[α]) entraine Nα(z0)diviseNα(z)(dansZ).
2. Inversibles deZ[α].
a. Soit z ∈ Z[α]. Montrer que z ∈ Iα si et seulement si Nα(z) ∈ {−1,1}. Que se passe-t-il siαn'est pas réel ?
b. PréciserIi,Ij et lesIi√d pourdnaturel supérieur ou égal à2.
c. Montrer que ϕet ϕ0 sont inversibles dansZ[ϕ]. En déduire que Iϕ est inni et contient tous lesεϕn avec ε∈ {−1,1} et n∈Z. On ne cherchera pas à montrer l'inclusion réciproque.
d. Soitzun diviseur dez0dansZ[α]tel que|Nα(z)|=|Nα(z0)|. Montrer qu'il existe uinversible tel quez=uz0.
3. Irréductibles deZ[α].
Soitz∈Z[α]tel que|Nα(z)|soit premier, montrer quez est irréductible. Un nombre naturelppremier dansZest-il forcément irréductible dansZ[α]? Donner un exemple.
4. Exemple avecZ[i√ 6]. a. Existe-t-il desz∈Z[i√
6]tels que Ni√6(z) =v pour v= 2,3? b. Montrer que2,−3, i√
6 sont irréductibles.
c. Que pensez vous de2×(−3) = (i√ 6)2? 5. Exemple avecZ[√
10].
a. Quels sont les restes modulo10des carrés d'entiers ? b. Montrer que2,3,4 +√
10,4−√
10sont irréductibles.
c. Que pensez vous de2×3 = (4 +√
10)×(4−√ 10)?
III. Division euclidienne
Dans cette partieα /∈Ret vérie toujoursα2=pα+q, on introduit le réseau des points d'axes dans Z[α] (exemple en gure 1). On rappelle que, pour ce type d'anneau, Nα
coincide avec le carré de la norme.
Dans certains cas, on peut dénir une division euclidienne surZ[α]. On dit queZ[α]admet une division euclidienne si et seulement si :
∀z∈Z[α],∀z0 ∈Z[α], z06= 0, ∃(w, r)∈Z[α]2 tqz=wz0+r avec|r|2<|z0|2 On dit alors que l'anneau est euclidien. Noter que la dénition n'impose pas l'unicité du couple(w, r).
On cherche d'abord à montrer que, si le réseau est assez dense, c'est à dire si un point quel- conque du plan est toujours relativement proche d'un point du réseau ; alors l'anneau associé est euclidien.
Fig. 1: Réseau de points d'axes dansZ[j]
1. Soitx∈R, montrer qu'il existea∈Ztel que|x−a| ≤ 12.
2. On suppose queZ[α] vérie la propriété d'approximation suivante :
∀w∈C, ∃wα∈Z[α] tel que |w−wα|2<1 Montrer queZ[α]admet une division euclidienne.
3. a. Montrer que pour toutw∈C, il existexet y réels tels quew=x+yα. b. Montrer que pour toutw∈C, il existewα∈Z[α]tel que
|w−wα|2≤ 1 +|p|+|q|
4 c. Montrer que les anneaux Z[i],Z[j],Z[i√
2]admettent des divisions euclidiennes.
4. a. Iciαest le nombre complexe de partie imaginaire positive vériantα2=α−2. Montrer queZ[α] admet une division euclidienne en justiant d'abord que, pour tout nombre complexewde partie réellexet de partie imaginairey et tousuet ventiers,
|w−(u+vα)|2= x−v
2−u2 +7
4 2y
√7−v 2
b. Inspirez vous de la question précédente pour montrer queZ[α] admet une divi- sion euclidienne lorsqueαest le nombre complexe de partie imaginaire positive vériantα2=α−3.
IV. Applications
Dans toute cette partieZ[α]est supposé euclidien. Deux élémentsz,z0sont dits étrangers si et seulement siD(z)∩ D(z0) =I (ensemble des inversibles).
1. DansZ[α], on considère deux élémentsa0eta1avec0<|a1|2<|a0|2. Présenter l'algo- rithme d'Euclide dans ce cadre. Soitδle dernier reste non nul renvoyé par l'algorithme, justier qu'il se termine et queD(a0)∩ D(a1) =D(δ).
2. On se place dans l'anneau euclidien Z[i]. Reproduire et compléter le tableau suivant présentant le début d'un algorithme d'Euclide étendu
N 145 34 . .
a 8 + 9i 5 + 3i . .
q 2 +i . .
u 1 0 . .
v 0 1 . .
On pourra utiliser librement dans la suite du problème que, dans un anneau euclidien Z[α], l'algorithme d'Euclide étendu initialisé par a0 et a1 renvoie des éléments δ, u, v deZ[α]tels queδ=ua0+va1.
3. On se place dans un anneau Z[α] euclidien. Montrer que deux éléments a0, a1 sont étrangers si et seulement si il existeuetv dansZ[α]tels queua0+va1= 1. Formuler et prouver le théorème de Gauss valable dans ce cadre.
4. On supposexety dansZtels quex2+ 2 =y3. En utilisant l'anneau euclidienZ[i√ 2], on va montrer qu'il existe seulement deux couples solutions.
a. Montrer quexest impair.
b. Montrer que2i√
2etx−i√
2sont étrangers. En déduire quex+i√
2et x−i√ 2 sont étrangers.
c. Montrer qu'il existe un nombre ni d'irréductiblesz1,· · ·, zp deux à deux étran- gers et des naturels non nulsm1,· · ·mp tels que
y=uz1m1· · ·zmpp avecuinversible
Le caractère euclidien de l'anneau est-il important dans le raisonnement ? d. Montrer qu'il existeaet b dans Ztels quex+i√
2 = (a+ib√
2)3. Le caractère euclidien de l'anneau est-il important dans le raisonnement ?
e. Montrer que l'équation admet seulement deux couples solutions.
5. On se place cette fois dans l'anneauZ[i√ 26]. a. Montrer que3,1 +i√
26,1−i√
26sont irréductibles.
b. Que vaut(1 +i√
26)×(1−i√ 26)? Pour autant,1 +i√
26est-il un cube dans Z[i√ 26]?
Corrigé
I. Préliminaires
1. Comme1 +j+j2= 0 par dénition ;j2=−1−j c'est à direp=q=−1. 2. Siq= 0, alorsαest 0oupqui sont des entiers. Commeαest irrationnel,q6= 0.
Le complexeαest solution de l'équation du second degréx2−px−qdont le discriminant estp2+ 4q. Si ce discriminant est nul, l'équation admet une unique solution etα= p2 ∈ Q. Commeαest irrationnel,p2+ 4q6= 0et l'équation admet deux solutions distinctes.
On noteα0 l'autre solution. D'après les résultats de cours sur les équations du second degré,
α+α0 =p, αα0=−q
On en déduitα0∈Z[α]car α0 =p+ (−1)α. Lorsqueα /∈R, l'autre solutionα0 est la conjuguée complexe :α0=α.
Siα=√
davecd≥2 dansN, alorsα2=qdoncp= 0 etα0=−α=−√ d.
3. a. Pour montrer que Z[α] est un sous anneau de C, on vérie que Z[α] contient l'unité et qu'il est stable pour les deux opérations.
1 = 1 + 0α⇒1∈Z[α]
Pour tout z et z0 dans Z[α], il existe a, b, a0, b0 dans Z tels que z = a+bα, z0 =a0+b0α:
z+z0= (a+a0)
| {z }
∈Z
+ (b+b0)
| {z }
∈Z
α∈Z[α]
zz0=aa0+ (ab0+ba0)α+bb0α2= (aa0+qbb0)
| {z }
∈Z
+ (ab0+ba0+paa0)
| {z }
∈Z
α∈Z[α]
b. La décomposition d'un élément deZ[α]est unique carαest irrationnel. En eet, poura,b, a0,b0 dansZ,
a+bα=a0+b0α⇒(b−b0)α=a0−a Ce qui ne peut se produire que sib=b0 et a=a0.
4. a. La fonctionNα est à valeurs entières car, pour tousaetb dansZ, Nα(a+bα) = (a+bα)(a+bα0) =a2+b2αα0+ab(α+α0)
=a2−qb2+pab∈Z
Pourz1 etz2 dansZ[α], il existe desa1, b1,a2, b2 dansZtels que z1=a1+b1α etz2=a2+b2α. Alors :
N(z1)N(z2) = (a1+b1α)(a1+b1α0)(a2+b2α)(a2+b2α0)
= (a1+b1α)(a2+b2α)
| {z }
=(z1z2)
((a1+b1α0)(a2+b2α0))
De plus, commeα0 est solution de la même équation queα,
z1z2= (a1+b1α)(a2+b2α) =a1a2+qb1b2+ (a1b2+b1a2+pb1b2)α (a1+b1α0)(a2+b2α0) =a1a2+qb1b2+ (a1b2+b1a2+pb1b2)α0 donc
N(z1)N(z2) =N(a1a2+qb1b2+ (a1b2+b1a2+pb1b2)α) =N(z1z2) b. On a vu en question 2. que α0 est le conjugué de αlorsque α /∈ R. Donc, pour
tous lesa,bentiers ,a+bα0 est le conjugué dea+bα. On en déduit α /∈R⇒ ∀z∈Z, Nα(z) =|z|2
c. Le cas oùϕ est le nombre d'or ne présente rien de particulier. On reprend l'ex- pression de la question a. avecp=q= 1,
∀(a, b)∈Z2, Nϕ(a+bϕ) =a2−b2+ab
II. Divisibilité
1. Siz0divisezdansZ[α], il existeq∈Z[α]tel quez=qz0. AlorsN(z) =N(q)N(z0)est une relation entre entiers relatifs doncN(z0)diviseN(z)dansZ.
2. Inversibles deZ[α].
a. Soitu∈Z[α]tel que |Nα(u)|= 1.
NotonsNα(u) =pour bien garder à l'esprit que sa valeur est1ou−1. Il existe aetbdansZtels que u=a+bαet, par dénition deNα,
u(a+bα0) =⇒u((a+bα0)) = 1 On en déduit queuest un inversible deZ[α]d'inverse(a+bα0). Soitu∈Iαc'est à dire inversible dansZ[α].
Il existe v ∈Z[α]tel que uv = 1. Remarquons que Nα(1) = 1par dénition de Nα. On en déduit1 =Nα(u)Nα(v)dansZqui entraine que Nα(u)est inversible dansZdonc égal à1 ou−1.
Siα /∈R,Nα(z) =|z|2 donc seule la valeur1 est possible. L'ensemble des inver- sibles est l'intersection deZ[α]avec l'ensembleU(complexes de module1).
b. Les éléments deIi sont lesa+ibtels quea2+b2= 1avecaet b dansZ. On en déduit
Ii={1,−1, i,−i}=U4
Les éléments deIj sont lesa+bj tels que|a+bj|2= 1avecaetbdansZ. Or
|a+bj|2=a2+b2+ 2abRe(j) =a2+b2−ab= (a−1 2b)2+3
4b2
Donc|a+bj|2= 1entraine|b| ≤1. Le casb= 0conduit à1et−1. Le casb=−1 conduit àj (a= 0) et−j (a= 1). Le casb= 1conduit àj(a= 0) et−j (a= 1).
Comme−j=e2iπ3 , on peut vérier Uj=
1,−1, j,−j, j,−j =U6
Soit d∈ N et d ≥2. Un élément u ∈ Z[i√
d est inversible si et seulement si il existeaet bdansZvériantu=a+ib√
daveca2+db2= 1. Commed≥2, on doit avoirb= 0donca=±1. On en déduit
Ii√d={−1,1}
c. On a vu queϕϕ0 = 1doncϕest inversible d'inverse−ϕ0 etϕ0 est inversible d'in- verse−ϕ. On en déduit que toutes les puissances de ces nombres sont inversibles.
Elles sont deux à deux distinctes car ϕet ϕ0 ne sont pas de module1. Il existe donc une innité d'inversibles dans ce cas.
d. Soit z un diviseur de z0 dans Z[α] tel que |Nα(z)| = |Nα(z0)|. Il existe alors u∈Z[α]tel que z0 =uz. On en déduit
Nα(z0) =Nα(u)Nα(z) =Nα(u)Nα(z0)⇒Nα(u) = 1 doncuest inversible etz=vz0 avecvl'inverse deu.
3. Irréductibles deZ[α].
Soitz∈Z[α]avec|Nα(z)|premier (notons lep) etdun diviseur dez.
Il existe alors q ∈ Z[α] tel que z = dq. Alors, dans Z, Nα(d)Nα(q) = Nα(z). Donc
|Nα(d)|est1 oup.
Si|Nα(d)|= 1, alorsdest inversible.
Si|Nα(d)|=palors|Nα(q)|= 1doncqest inversible. Notonsq0 son inverse. On en déduitd=q0z∈Iz.
On a bien montré queD(z) =I∪Izc'est à dire que zest irréductible.
Un nombre naturel premierpn'est pas forcément irréductible dansZ[α]car cet anneau étend Z. Il est possible qu'il contienne des diviseurs dep. Par exemple dansZ[√
p], le nombrepest le carré de√
pdonc il n'est pas irréductible.
4. Exemple avecZ[i√ 6].
a. Déterminer lesz∈Z[i√
6]tels queNi√6(z) =v revient à déterminer les couples (a, b)∈Z2tels que a2+ 6b2=v.
Pour v∈ {2,3}, on doit avoir b= 0 sinon6b2 > v. Comme de plus ni 2 ni 3 ne sont des carrés d'entiers, les ensembles cherchés sont vides.
b. On a déjà vu que si z est un diviseur de z0 tel que Nα(z) = Nα(z0), il existeu inversible tel quez=uz0. On utilisera plusieurs fois cette remarque.
Montrons que2est irréductible.
Soitz∈Z[i√
6]un diviseur de2. AlorsNi√6(d)diviseNi√6(2) = 4.
Ni√6(d) = 1 ⇒d∈I
Ni√6(d) = 2 impossible
Ni√6(d) = 4 ⇒d∈I×2(d'après 2.d.) Montrons que−3est irréductible.
Soitz∈Z[i√
6]un diviseur de−3. AlorsNi√6(d)diviseNi√6(−3) = 9.
Ni√6(d) = 1 ⇒d∈I
Ni√6(d) = 3 impossible
Ni√6(d) = 9 ⇒d∈I×3(d'après 2.d.) Montrons quei√
6est irréductible.
Soitz∈Z[i√
6]un diviseur dei√
6. AlorsNi√6(d)diviseNi√6(i√ 6) = 6.
Ni√6(d) = 1 ⇒d∈I
Ni√6(d) = 2 impossible
Ni√6(d) = 3 impossible
Ni√6(d) = 6 ⇒d∈I×(i√
6)(d'après 2.d.)
c. La relation2×(−3) = (i√
6)2 montre que le théorème de Gauss n'est pas valide dans l'anneauZ[i√
6]. En eet, d'après cette relationi√
6 divise2×(−3) mais il n'a pas de diviseur commun (non inversible) avec2et pas non plus avec−3. 5. Exemple avecZ[√
10].
a. Il sut de chercher les restes modulo10des carrés des nombres de0à9. Présen- tons les dans un tableau :
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 4 9 6 5 6 1 4 1
L'ensemble des restes modulo10des carrés d'entiers est{0,1,4,5,6,9}. b. Dans ce cas, pour tousaetb entiers,
N√10(a+b√
10) = (a+b√
20)(a−b√
10) =a2−10b2 Comme dans le cas deZ[i√
6], pour chaquewque l'on veut prouver irréductible, on calculeN√10(z)et on forme l'ensemble de ses diviseurs. Présentons les résultats dans un tableau
w N√10(z) diviseurs deN√10(z)dansN
2 4 1,2,4
3 9 1,3,9
4 +√
10 6 1,2,3,6
4−√
10 6 1,2,3,6
On cherche ensuite lesz∈Z[√
10]tels queN√10(z) =vpour les vrais diviseurs trouvés c'est à dire±2 ou±3. Il s'agit chaque fois d'étudier l'équation
a2−10b2=v, (a, b)∈Z2
Mais une telle relation entrainea2≡v mod 10ce qui n'est pas possible car2,3,
−2≡8, −3≡7sont justement les nombres qui ne sont pas des restes de carrés modulo10.
Il n'existe donc pas dez∈Z[√
10]tels queN√10(z)soit ±2ou±3. On en déduit comme dans la question4 que2,3,4±√
10sont irréductibles.
c. La relation montre que le théorème de Gauss n'est pas vrai dans Z[√ 10].
III. Division euclidienne
1. pour unxréel, il existea∈ {bxc,dxe}tel que |x−a| ≤12.
2. Supposons queZ[α]vérie la propriété d'approximation de l'énoncé. Soitz etz0 dans Z[α]avecz0 6= 0. Considéronsw= zz0 ∈C. Il existe alorswα∈Z[α] tel que
z z0 −wα
<1⇒z=wαz0+ravecr=z−wαz0 ∈Z[α]
et|r|2=|z0|2 z z0 −wα
2
<|z0|2 Autrement dit, le quotient de la division euclidienne dans l'anneau est une bonne approximation du quotient complexe, le reste étant simplement le reste du dévelop- pement idiot pour ce quotient.
3. a. Considérons un nombre complexe w quelconque de partie réelle uet de partie imaginairev. Notonsαr= Re(α)et αi = Im(α). Par hypothèse de cette partie, αi6= 0. La condition surxetyrevient au système de deux équations aux inconnues xet y obtenu en identiant les parties réelles et imaginaires.
(x+αry=u αiy=v
Ce système admet une unique solution carαi 6= 0. Il existe des réelsxet y tels quew=x+yα.
b. Considérons lesxety de la question précédente. D'après 1., il existeaet bdans Ztels que|x−a| ≤ 12 et |y−b| ≤ 12. Dénissonswα ∈Z[α]parwα=a+bαet exprimons|w−wα|2avec la formule trouvée en I.4.a.
|w−wα|2= (x−a)2−q(y−b)2+p(x−a)(x−b)
≤ |x−a|2+|q||y−b|2+|p||x−a||x−b| ≤ 1 +|q|+|p|
4
c. Les questions 3.a. et 2. montrent que siαest tel que1 +|p|+|q|<4, alorsZ[α]
est euclidien.
Pourα=i,p= 0,q=−1,1 +|p|+|q|= 2. Pourα=i,p=−1, q=−1,1 +|p|+|q|= 3. Pourα=i√
2,p= 0,q=−2,1 +|p|+|q|= 3. Les anneauxZ[i], Z[j],Z[i√
2sont donc bien euclidiens.
4. a. Iciαest le nombre complexe de partie imaginaire positive vériant α2=α−2. En résolvant l'équation du second degré, on obtient
α=1 +i√ 7 2
Notonsx= Re(w)ety= Im(w)et introduisons l'expression trouvée pourα
|z−(u+vα)|2=
x−u−v 2
2
+ y−v√ 7 2
!2
= x−v
2 −u2
+7 4
2y
√7−v 2
Il existe un entierv tel que
√2y 7−v
≤ 1 2 Cev étant xé, il existe un entierutel que
x−v
2−u ≤1
2 On dénit ainsiwα=u+vα∈Z[α]tel que
|z−wα|2≤ 1 4+ 7
16 =11 16 <1 On peut donc conclure avec la question 2.
b. Iciαest le nombre complexe de partie imaginaire positive vériant α2=α−3. En résolvant l'équation du second degré, on obtient
α=1 +i√ 11 2
Notonsx= Re(w)ety= Im(w)et introduisons l'expression trouvée pourα
|z−(u+vα)|2=
x−u−v 2
2
+ y−v√ 11 2
!2
= x−v
2 −u2
+11 4
2y
√11−v 2
Il existe toujours de bonnes approximations entières, d'abordvpuisu. On dénit ainsiwα=u+vα∈Z[α]tel que
|z−wα|2≤ 1 4+11
16 =15 16 <1 On peut donc encore conclure avec la question 2.
IV. Applications
1. Reproduire le cours, la terminaison est assurée par le fait que la suite des carrés des normes est strictement décroissante à valeurs dans N. La preuve de l'invariance de l'intersection des ensembles des diviseurs de deux restes consécutifs est la même que dans Z. On convient d'appeler pgcd des valeurs initiales l'entier de Gauss non nul renvoyé par l'algorithme.
2. Le premier quotient est donné par le tableau, on compléte la troisième colonne 8 + 9i−(2 +i)(5 + 3i) = 8 + 9i−10−6i−5i+ 3 = 1−2i
N 145 34 5
a 8 + 9i 5 + 3i 1−2i
q 2 +i .
u 1 0 1
v 0 1 −2−i
Pour trouver le quotient d'une division euclidienne, on approche les parties réelles et imaginaires par des entiers
5 + 3i
1−2i = (5 + 3i)(1 + 2i)
5 =−1 + 13i 5 '3i Ce qui justie l'approximation, c'est que le module du reste diminue
5 + 3i−(3i)(1−2i) = 5 + 3i−3i−6 =−1 (carré module1)
On complète la colonne suivante qui fournit les coecients de Bezout et l'algorithme s'arrête
N 145 34 5 1
a 8 + 9i 5 + 3i 1−2i −1
q 2 +i 3i .
u 1 0 1 −3i
v 0 1 −2−i −2 + 6i L'algorithme s'arrête car−1, de module1, est inversible.
Les entiers de Gaussa0= 8 + 9ieta1= 5 + 3isont étrangers. De plus, u3a0+v3a1= (−3i)(8 + 9i) + (−2 + 6i)(5 + 3i) =−1
L'algorithme d'Euclide étendu permet encore d'exprimer le pgcd dea0 et a1 comme combinaison dea0 eta1.
3. Question de cours. Reproduire dans le cadre deZ[i]les preuves formulées dansZ. Le théorème de Gauss se formule comme dansZ.
Soitu,v,wdansZ[α]euclidien. Siudivisevw et siuest étranger à valors udivisew.
4. a. Soitxety dansZtel quex2+ 2 =y3. Montrons par l'absurde quexest impair.
Sixest pair, il existex0∈Ztel quex= 2x0 :
4x02+ 2 =y3⇒y pair⇒ ∃y0∈Ztq2x02+ 1 = 4y02impossible b. Remarquons que Ni√2(2i√
2) = 8 et Ni√2(x−i√
2) =x2+ 2. Si δ∈Z[i√ 2]est un diviseur commun,Ni√2(δ)doit diviser8etx2+ 2dansZ. Or ils sont premiers entre eux car2est le seul diviseur premier de8alors quex2+ 2est impair carx2 est impair (carxest impair). On doit donc avoirNi√2(δ) = 1 doncδinversible.
Commex−i√
2et2i√
2sont étrangers,x−i√
2et(x−i√
2) + (2i√
2) =x+i√ 2 le sont aussi.
c. Siy n'est pas irréductible, il admet un diviseur irréductiblez1. Il existe alorsy1∈Z[i√
2]tel quey=z1y1. De plus|y1|2<|y|2car un irréductible est de module strictement plus grand que1. On recommence avecy1. Le processus s'arrêtera car la suite des carrés des modules est strictement décroissante dansN.
Le caractère euclidien de l'anneau ne joue aucun rôle dans ce raisonnement.
d. Considérons un facteur irréductiblezidey. On sait quezi3midivise(x+i√ 2)(x−
i√ 2).
Si zi ne divise pas x+i√
2, alors zi3mi et x+i√
2 sont étrangers donczi3mi divisex−i√
2. Sizidivisex+i√
2, alors il ne divise pasx−i√
2(ils sont étrangers) donczi3mi
etx−i√
2 sont étrangers doncz3imi divisex+i√ 2.
En regroupant les zi qui divisent le même facteur, on obtient que x+i√ 2 et x−i√
2 sont des produits de cubes de zi. Ils sont donc eux même des cubes. Il existeaetbentiers tels que x+i√
2 = (a+ib√ 2)3.
Le caractère euclidien de l'anneau joue un rôle capital dans ce raisonnement car il utilise le théorème de Gauss qui est une conséquence de l'existence d'une division euclidienne.
e. Traduisons la condition précédente par un système en séparant partie réelle et imaginaire
x+i√
2 = (a+ib√ 2)3⇔
( a3−6ab2=x 3a2b−2b3= 1 ⇔
( a(a2−6b2) =x (3a2−2b2)b= 1
On en déduitb=∈ {−1,+1} et le système devient (a(a2−6) =x
3a2−2 = ⇒= 1, a=±1, x=±5
Comme25 + 2 = 33, les deux seuls couples solutions sont(5,3)et (−5,3). Ici, comme l'anneau est euclidien,5 +i√
2est bien un cube (−1−i√
2)3= 5 +i√ 2
5. a. Il s'agit d'un exemple d'anneau non euclidien dans lequel le théorème de Gauss est faux. Les carrés des normes de3et1±i√
26sont9et27. On raisonne comme dans II 4. et 5. L' équation dansZ
a2+ 26b2=v avecv= 3ou9
n'a pas de solution si v = 3 et les solutions −3, +3 si v = 9. On en déduit les irréductibilités demandées.
b. Evidemment(1 +i√
26)(1−i√
26) = 27 = 33. Pour autant, si on cherche1 +i√ 26 comme un cube, on arrive aux équations
( a(a2−48b2) = 1
(3a2−26b2)b= 1 ⇒a=±1et b=±1⇒ contradiction Ainsi, malgré la relation(1 +i√
26)(1−i√
26) = 33, l'élément1 +i√
26n'est pas un cube. L'anneauZ[i√
26]n'est pas euclidien.
