Rekazator : Analyse harmonique discrète

Rekazator : Analyse harmonique discrète

1 Les développements

Analyse harmonique sur un cube.

Voici un exercice préliminaire :

Exercice 1.1(Exercice préliminaire -Analyse harmonique discrète).Soit V une représentation (complexe) d’un groupe fini G et α un endomor- phisme de représentation de V.

1. On suppose que, pour tout i ∈ Irr(G), les multiplicités de i, dans la représentationV, sont toutes égales à 0ou1. Dit autrement, on suppose que V est somme directe de représentations irréductibles non isomorphes entre elles. Montrer que α se restreint en une ho- mothétie de rapport λ_i, i ∈ Irr(G), sur chacune des composantes irréductibles. En déduire que

αⁿ = X

i∈Irr(G)

λⁿ_iπ_i, exp(α) = X

i∈Irr(G)

exp(λ_i)π_i.

2. On suppose, de plus, que V = C^X, muni de sa base canonique (ex)x∈X, est la représentation par permutation pour l’action de G sur un ensemble (fini)X. Montrer que l’action est transitive et que le projecteur de V sur sa composante triviale est donné par

π_triv(v) = µ_vX

x∈X

e_x, avec µ_v := 1

|X|

X

x∈X

v_x,

avecv = (v_x)x∈X.

Soluce

1

1. On sait que α respecte toutes les composantes isotypiques. Or, par hypothèse, toutes les composantes isotypiques sont irréductibles. Par le lemme de Schur, α se restreint donc en une homothétie sur chacune de ces composantes irréductibles.

Les deux dernières formules sont des conséquences directes.

2. Tout d’abord, on sait que la composante triviale a pour dimension le nombre d’orbites deGsurX. Comme, par hypothèse, la représentation triviale apparaît avec multiplicité0ou1, on obtient que la multiplicité est forcément 1, et donc, que l’action de G est bien transitive.

On sait que le projecteur π_triv sur la composante triviale vérifie

πtriv(ex) = 1

|G|

X

g∈G

eg·x,

pour toutxdansX. Or, comme l’action est transitive, pour toutydans X, il existe g₀ dans G tel que g₀ ·x = y et l’ensemble des g vérifiant cette propriété est g₀G_x, où G_x est le stabilisateur de x. On en déduit

π_triv(e_x) = |G_x|

|G|

X

y∈X

e_y = 1

|X|

X

y∈X

e_y,

ce qui donne l’assertion demandée.

Exercice 1.2 (Analyse harmonique sur un cube). On place des nombres x₁, . . . , x₆ sur les six faces d’un cube. Tous les jours, on remplace, sur chaque facei, le nombre marqué par la moyenne arithmétique des nombres inscrits sur les quatre faces adjacentes à la face i. En utilisant l’exer- cice 1.1, trouver les nombres qui seront inscrits au n-ième jour.

Soluce

Nous allons tout d’abord modéliser ce problème : l’inscription de nombres (complexes) sur toutes les faces du cubes sera considérée comme un élément de V := C^F, où F désigne l’ensemble des faces du cube. Le groupe G des isométries positives du cube est isomorphe à S₄ et il agit sur l’ensemble des faces du cube. On récupère donc une représentation par permutation deGsur V =C^F. Maintenant, si l’on considère l’applicationα qui envoie un élément v := (v_i)i∈F deC^F sur l’élément(w_i)i∈F, tel que w_i = ¹₄P

j↔iv_j, alors le but de l’exercice est de calculer αⁿ(v). Pour cela, nous constatons que :

2

1. α est un morphisme de représentations.

En effet, α est linéaire, et le reste provient du fait que G respecte l’adjacence des faces, dit autrement, si l’on notei↔j pour dire que la face i est adjacente à la face j, alors,

i↔j si et seulement si g·i↔g·j.

On a donc d’une part

α(g·v)

i = 1 4

X

j↔i

(g·v)j = 1 4

X

j↔i

v_g⁻¹·j,

et d’autre part

g·α(v)

i = α(v)

g⁻¹·i = 1 4

X

k↔g⁻¹·i

v_k= 1 4

X

g·k↔i

v_k.

L’égalité α(g·v)

i = g·α(v)

i se voit alors en posant j =g·k.

2. Avec les notations de la table de caractères de S4, on a V = V_triv ⊕ V_φ⊕V_std.

Pour montrer cette décomposition on calcule le caractère de la G- représentation V, c’est-à-dire, pour chaque élément g de G, le nombre de faces invariantes par g. Avec les notations précédentes de la table de caractères, il vient

|C_g| 1 6 3 8 6

S₄ Id (12) (12)(34) (123) (1234)

χ_triv 1 1 1 1 1

χ_std 3 −1 −1 0 1

φ 2 0 2 −1 0

χ_V 6 0 2 0 2

Effectivement, les rotations (non triviales) ayant pour axe les droites passant par les centres des faces opposées du cube, ont deux faces in- variantes et les autres rotations non triviales ne laissent fixe aucune face. On voit les multiplicités par un calcul de produit hermitien. Par exemple

hχ_std, χ_Vi= 1

24(3×6−3×2×1 + 6×2×1) = 1

3

3. On note σ : v 7→ v^∗ l’application qui envoie (v_i)i∈F sur (v_i^∗)i∈F, où i^∗ désigne la face opposée à i. Les projecteurs π_triv, π_φ et π_std vérifient alors

π_triv+π_φ = 1

2(Id +σ), π_std= 1

2(Id−σ).

En effet : soit P, resp. I, le sous-espace de V constitué des v tels que v_i =v_i^∗, resp. v_i =−v_i^∗. Alors,P⊕I =V, et ¹₂(Id +σ), resp. ¹₂(Id−σ), sont des projecteurs sur P, resp. surI. De plus, commeg·(i^∗) = (g·i)^∗ pour toutg deG,P etI sont des sous-représentations deV. Elles sont toutes deux de dimension 3, c’est-à-dire, le nombre de paires de faces opposées du cube. Comme V_triv ⊂ P, une considération de dimension et l’unicité de la décomposition en isotypiques forcent à avoir P = V_triv ⊕V_φ et I = V_std. Ceci implique les formules annoncées sur les projecteurs.

4. Les rapports d’homothéties assurés par l’exercice 1.1 sont donnés par λ_triv = 1, λ_φ=−¹₂ etλ_std = 0.

En effet, il est clair que α se restreint en l’identité sur Vtriv, et donc λ_triv = 1. Notons maintenant que, dans la base canonique(e_i)i∈F deC^F, la matrice deαn’a que des zéros sur la diagonale ; on a donctr(α) = 0.

On voit de la même manière, en prenant pour base de P, resp. I, la base (e_i+e_i^∗), resp.(e_i−e_i^∗), quetr(α|_P) = 0, resp. tr(α |_I) = 0. On a donc λ_triv+ 2λ_φ= 0 et 3λ_std = 0.

Au final, on obtient bien la formule explicite

αⁿ =π_triv+ (−1 2)ⁿ 1

2(Id +σ)−π_triv

, n >0.

Tout y est explicite, puisque π_triv est donnée l’opérateur « moyenni- sant », donné par l’exercice 1.1. La suite tend, comme on pouvait s’y attendre, vers π_triv.

Remarque. Ceci est un ravissant toy model de l’application de la théorie des représentations à la physique lorsque l’on travaille sur un système possé- dant une certaine symétrie. Il est inspiré du livre [?] d’Alexandre « Sachanx » Kirillov. Attention, tout de même ! Nous n’avons fait ici que diagonaliser une matrice de taille 6; nous n’avions pas besoin spécialement de la théorie des représentations. Mais le problème illustre l’utilisation de la théorie, princi- palement en physique, et l’idée de l’utilisation d’un groupe qui conserve la structure d’un objet en évolution et qui permet d’interpréter efficacement la diagonalisation en termes de sous-représentations, tout en ayant un accès gratuit aux projecteurs spectraux.

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