LYCÉE ALFRED KASTLER ACCPE TS 2014–2015
Nombres complexes v
Exercice 1 Déterminer les formes algébriques des nombres suivants, seulement dans les cas où cela ne vous paraît pas facile à faire :
1. z1 = (2−3i)(5 + 3i) 2. z2 = (5 + 8i)2−16 3. z3 = 1
3−2i 4. z4 = 5−2i 2 +i
Exercice 2 Le nombre z est un nombre complexe. Donner le conjugué des nombres suivants, éven- tuellement en fonction de z. Inutile de chercher la forme algébrique.
1. z1 = (2−3i)(5 + 3i) 2. z2 = (2−z)(3−2i) 3. z3 = (5 +iz)(z−3i)2 4. z4 = 3−2i
z2+ 5i
Exercice 3 Résoudre les équations suivantes, d’inconnue z, dans C. On donnera les solutions sous forme algébrique.
1. 3z+ 5 = 2iz−3
2. (z−3i+ 5)(3iz−4 + 2i) = 0 3. z+ 3i=iz−3
4. z+ 2iz= 3 + 2i
Exercice 4 Comment choisir le nombre complexe z pour que Z =z2+ 2z−3 soit réel ? Donner l’ensemble des valeurs possibles de z.
Bonus : Essayer de trouver le résultat sans décomposerz sous la forme z =x+iy.
Exercice 5 (Bonus) Vérifier que pour tous nombres complexesz1 et z2, on a z1z2 =z1z2. Soit z 6= 0 un nombre complexe. Démontrer alors (par récurrence) que pour toutn ∈N,zn =zn.
