ILesquestions Testsur«bijectionsetfonctionstrigonométriques»

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2018-2019 1

Test sur «bijections et fonctions trigonométriques»

I Les questions

1. On pose f : x 7→ (x + 3)e ^x .

(a) Démontrer que f est bijective sur R ⁺ . Préciser son image, notée f( R ⁺ ).

(b) Justifier que f ⁻¹ est dérivable en 3 et préciser (f ⁻¹ ) ^′ (3).

2. On considère la fonction f définie sur A = R \ { 1 } par f ( x ) = _x ^x ₋

₁ .

(a) Déterminer l’ensemble f ^{− 1} ( R ⁺ ) (voir la définition 2 du résumé de cours).

(b) Dresser le tableau de variations de f . La fonction f est-elle bijective sur A ? Et la restriction de f à [ ³ ₂ , 2] ?

(c) Donner les ensembles f([ ³ ₂ , 2]) et f(]1, 2]).

3. La fonction f : R → R définie par f ( x ) = x ²⁰¹⁹ ( x − 1) ¹² est-elle bijective ? (BONUS DIFFICILE : démontrer que f ( R ) = R ).

4. Exprimer cos(2θ) en fonction de cos θ. En déduire une valeur exacte de cos ^π ₈ . 5. Résoudre l’équation cos( x ) = sin(3 x ) pour x ∈ [ − π, π ].

6. Je récite mon cours :

(a) donner les tableaux de variation de arccos et arcsin, ainsi que leur courbe avec les tangentes.

(b) Donner leur dérivée et leur ensemble de dérivabilité 7. Simplifier les expressions sin(2 arccos(x)) et cos(2 arcsin x).

8. Que vaut arccos(cos x) lorsque x ∈ [6π, 7π], puis x ∈ [25π, 26π] ?

9. Démontrer que les courbes de arccos et arcsin sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = ^π ₄ .

10. Donner la définition de la fonction tangente et sa dérivée.

11. Courbe et dérivée de arctan.

12. Que dire de deux nombres qui ont la même tangente ? Est-ce vrai que pour tout x ∈ R , le nombre arctan(tan x ) est égal à x plus un multiple de π ? 13. On désire montrer que arctan 1 + arctan 2 + arctan 3 = π. On pose α =

arctan 2 + arctan 3.

(a) Justifier que α ∈ [ ^π ₂ , π ].

(b) Calculer tan( ^3π ₄ ) et tan( α ). Conclure.

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II Éléments de réponse

1. On pose f : x 7→ (x + 3)e ^x .

(a) Démontrer que f est bijective sur R ⁺ . Préciser son image, notée f ( R ⁺ ).

f est strictement croissante sur R ⁺ (produit de fonctions positives et stric- tement croissantes) et continue donc bijective de R ⁺ sur [ f (0) , lim +∞ f [=

[3, + ∞ [.

(b) Justifier que f ⁻¹ est dérivable en 3 et préciser ( f ⁻¹ ) ^′ (3).

f est dérivable sur R ⁺ (produit) avec f ^′ (x) = e ^x (x + 4). En particulier f ^′ (0) = 4 > 0 et comme f (0) = 3, on en déduit que f ⁻¹ est dérivable en 3 avec (f ^{− 1} ) ^′ (3) = _f

¹ ₍₀₎ = ¹ ₄ .

2. On considère la fonction f définie sur A = R \ { 1 } par f(x) = _x ^x ₋₁

.

(a) Déterminer l’ensemble f ⁻¹ ( R ⁺ ) (voir la définition 2 du résumé de cours).

x ∈ f ⁻¹ ( R ⁺ ) ⇐⇒ f ( x ) ∈ R ⁺ ⇐⇒ f ( x ) > 0 ⇐⇒ x ∈ ] −∞ , 0] ∪ ]1 , + ∞ [ . On a fait un tableau de signes ! !

(b) Dresser le tableau de variations de f . La fonction f est-elle bijective sur A ? Et la restriction de f à [ ³ ₂ , 2] ?

f est dérivable sur A (quotient) et après calculs f ^′ ( x ) = ^x

_(x ^(2x _{− 1)} ⁻³⁾

. x

f ^′ (x)

f ( x )

−∞ 1 ³ ₂ + ∞

− − 0 +

+ ∞ + ∞

−∞

+ ∞

27 4 27

4

+ ∞ + ∞

Comme 7 = ²⁸ ₄ > ²⁷ ₄ , d’après le TVI (et/ou le théorème de la bijection), le nombre 7 admet un antécédent par f dans chacun des trois intervalles [ ³ ₂ , + ∞ [, ]1, ³ ₂ ] et ] − ∞ , 1]. En particulier f n’est pas bijective sur A puisque 7 admet 3 antécédents par f dans A .

En revanche la restriction de f à [ ³ ₂ , 2] est bijective puisque sur cet inter- valle f y est continue et strictement croissante. Elle réalise une bijection de [ ³ ₂ , 2] sur [ f ( ³ ₂ ) , f (2)] = [ ²⁷ ₄ , 8].

(c) Donner les ensembles f ([ ³ ₂ , 2]) et f (]1 , 2]).

On a donc f ([ ³ ₂ , 2])) = [ ²⁷ ₄ , 8].

On a ]1, 2] =]1, ³ ₂ ] ∪ [ ³ ₂ , 2], donc f (]1 , 2]) = f (]1 , 3

2 ]) ∪ f ([ 3

2 , 2]) = [ 27

4 , + ∞ [ ∪ [ 27

4 , 8] = [ 27

4 , + ∞ [ . 3. La fonction f : R → R définie par f(x) = x ²⁰¹⁹ (x − 1) ¹² est-elle bijective ?

Démontrer que f ( R ) = R .

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2018-2019 3 Elle n’est pas bijective puisqu’elle s’annule en 0 et en 1 . Le nombre 0 admet donc deux antécédents (0 et 1).

Montrons que tout élément a de R admet un antécédent par f.

On pose g(x) = f (x) − a. La fonction g est une fonction polynomiale de degré impair, donc admet en ±∞ des limites infinies de signe contraire. Donc la fonction continue g change de signe sur R donc s’y annule d’après le TVI.

4. Exprimer cos(2 θ ) en fonction de cos θ . En déduire une valeur exacte de cos ^π ₈ . On a cos(2θ) = 2 cos ² θ − 1 et donc cos ² θ = ¹ ₂ (1 + cos 2θ).

Le nombre ^π ₈ est la moitié de ^π ₄ dont on connaît le cosinus. Ainsi d’après la formule ci-dessus avec θ = ^π ₈ , on a : cos ^π ₄ = 2 cos ^{2 π} ₈ − 1, d’où

cos ² π

8 = cos ^π ₄ + 1

2 = 1

2

√ 2 2 + 1

!

=

√ 2 + 2 4 . Ainsi comme cos ^π ₈ > 0 car ^π ₈ ∈ [0, ^π ₂ ], on a

cos π 8 = ±

s √ 2 + 2

4 =

s √ 2 + 2

4 . 5. Résoudre l’équation cos(x) = sin(3x) pour x ∈ [ − π, π].

cos(x) = sin(3x) ⇐⇒ cos(x) = cos

π 2 − 3x

⇐⇒

x = π

2 − 3x + 2kπ, k ∈ Z

ou

x = 3x − π

2 + 2kπ, k ∈ Z

⇐⇒

4x = π

2 + 2kπ, k ∈ Z

ou

− 2x = − π

2 + 2kπ, k ∈ Z

⇐⇒ x = π 8 + kπ

2 , k ∈ Z

!

ou

x = π

4 − kπ, k ∈ Z

On obtient alors 6 solutions dans [ − π, π] : π

8 , π 8 + π

2 , π 8 − π

2 , π

8 − π et π 4 , π

4 − π.

6. Je récite mon cours :

(a) donner les tableaux de variation de arccos et arcsin, ainsi que leur courbe avec les tangentes.

(b) Donner leur dérivée et leur ensemble de dérivabilité 7. Simplifier les expressions sin(2 arccos(x)) et cos(2 arcsin x).

On utilise les formules de duplication

sin(2 a ) = 2 sin a cos a et cos(2 a ) = 2 cos ² a − 1 . Ainsi pour x ∈ [ − 1 , 1],

sin(2 arccos(x)) = 2 sin(arccos x) cos(arccos x) = 2 √

1 − x ² x et

cos(2 arcsin x ) = 2 cos ² (arcsin x ) − 1 = 2[ √

1 − x ² ] ² − 1 = 2(1 − x ² ) − 1 = 1 − 2 x ² .

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2018-2019 4 8. Que vaut arccos(cos x) lorsque x ∈ [6π, 7π], puis x ∈ [25π, 26π] ?

(a) On prend x ∈ [6π, 7π]. Comme cos est 2π-périodique, arccos(cos x) = arccos(cos( x − 6 π )) = x − 6 π car x − 6 π ∈ [0 , π ].

(b) On prend x ∈ [25 π, 26 π ]. Comme cos est 2 π -périodique, puis paire, on a arccos(cos x) = arccos(cos(x − 26π)) = arccos(cos(26π − x)) = 26π − x car 26π − x ∈ [0, π].

9. Démontrer que les courbes de arccos et arcsin sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = ^π ₄ .

Cela revient à prouver que pour x ∈ [ − 1, 1], on a arccos(x) + arcsin(x)

2 = π

4 .

On pose ainsi f (x) = arccos(x) + arcsin(x). Il suffit de prouver que f est constante, égale à ^π ₂ .

f est dérivable sur ] − 1, 1[ (somme) et f ^′ (x) = − ^√ _1−x ¹

+ ^√ _1−x ¹

= 0.

Ainsi f est constante sur ] − 1, 1[. Comme f(0) = ^π ₂ cette constante vaut ^π ₂ , on a enfin f(1) = f ( − 1) = ^π ₂ .

10. Donner la définition de tangente et la dérivée.

11. Courbe et dérivée de arctan.

12. Que dire de deux nombres qui ont la même tangente ? Est-ce vrai que pour tout x ∈ R , le nombre arctan(tan x) est égal à x plus un multiple de π ?

Deux nombres qui ont la même tangente sont égaux modulo π . Comme tan (arctan(tan x )) = tan x, on en déduit bien que arctan(tan x) est égal à x plus un multiple de π.

13. On désire montrer que arctan 1 + arctan 2 + arctan 3 = π. On pose α = arctan 2 + arctan 3.

(a) Justifier que α ∈ [ ^π ₂ , π]. Comme arctan est croissante sur R , les nombres arctan 2 et arctan 3 sont supérieurs à arctan 1 = ^π ₄ . Donc leur somme est supérieure à ^π ₂ . Enfin la fonction arctan est majorée par ^π ₂ , donc les nombres arctan 2 et arctan 3 sont inférieurs à ^π ₂ . Donc leur somme est inférieure à π.

(b) Calculer tan( ^3π ₄ ) et tan(α). En appliquant la formule d’addition de la

tangente, on obtient que tan( α ) = − 1 = tan( ^3π ₄ ). Les nombres α et ^3π ₄ ont

donc la même tangente et sont donc égaux modulo π. Ainsi α = ^3π ₄ + kπ

avec k ∈ Z à déterminer. Mais comme α ∈ [ ^π ₂ , π], la seule possibilité est

que α = ^3π ₄ .