Cours de math´ematiques.

Cours de math´ ematiques.

1. Equations diff´erentielles lin´eaires du second ordre.

La fonctionC :x7→cosxest ind´efiniment d´erivable surR, etC⁰(x) =−S(x), avecS:x7→sinx.

Il en r´esulte que C⁰⁰(x) =−C(x), soitC⁰⁰(x) +C(x) = 0. Ainsi C et sa d´eriv´ee seconde satisfont une relation : on dit queC est solution de l’´equation diff´erentielle (E) : y⁰⁰+y= 0 sur R. Probl`eme 1.1. Quelles sont les autres solutions ?

Nous allons r´epondre `a cette question pour des ´equations diff´erentielles g´en´eralisanty⁰⁰+y= 0.

Mais d’abord consid´erons un probl`eme plus simple.

1.1. Equations diff´erentielles lin´eaires du premier ordre.

D´efinition 1.2. Soient a, b deux r´eels avec a 6= 0. Soit f :I → R une fonction continue sur un intervalle I. Alors (E) : ay⁰+by=f est une ´equation diff´erentielle lin´eaire du premier ordre (`a coefficients constants).

Sif = 0 on dit que l’´equation esthomog`ene.

Une solution de (E) sur un intervalle I ⊂R est une fonction y :x 7→ y(x) d´efinie et deux fois d´erivable sur I, telle que

∀x∈I, ay⁰(x) +by(x) =f(x).

Nous noteronsSol_I(E) l’ensemble des solutions surI de (E).

R´esoudre - ou “int´egrer” - l’´equation (E), c’est d´ecrire explicitement toutes les solutions.

Exemple 1.3.

(1) y⁰+y= 0 (2) y⁰−y= 0 (3) y⁰+ 2y = 1

(4) 2y⁰(x)−4y(x) =x²−2

Th´eor`eme 1.4 (r´esolution des ´equations diff´erentielles lin´eaires du premier ordre). Soient a, b deux r´eels avec a 6= 0. Alors les solutions (sur R) de l’´equation diff´erentielle lin´eaire homog`ene (E0) : az⁰+bz= 0 sont les fonctionsx7→λexp(−_a^bx) (pour λ un param`etre r´eel).

Soitf :I →R une fonction continue sur un intervalleI. Supposons quey₀ est une solution (sur I) de l’´equation diff´erentielle lin´eaire (du premier ordre)(E) : ay⁰+by=f. Alors y est solution de (E) sur I ⇐⇒ y est de la forme y(x) = y₀(x) +z(x), o`u z est une solution de l’´equation az⁰+bz= 0 (donc donn´ee par la formule ci-dessus).

L’´equation (E) admet toujours une solution particuli`ere de la forme x7→λ(x) exp(−^b_ax) (main- tenant x7→λ(x) est une fonction, plus une constante). On obtient λ(x) = ¹_aRx

exp(^b_as)f(s)ds.

Enfin pour tout t₀ ∈ I et tout y₀ ∈ R il existe une et une seule solution y de (E) telle que y(t₀) =y₀.

Exemple 1.5. R´esoudre 2y⁰(x)−4y(x) = x²−2 surR. D´eterminer l’unique solution y telle que y(0) = 1.

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1.2. Equations diff´erentielles lin´eaires du second ordre homog`ene.

D´efinition 1.6. Soienta, b, ctrois r´eels aveca6= 0. Alors (E) : ay⁰⁰+by⁰+cy = 0 est une´equation diff´erentielle lin´eaire du second ordre homog`ene. Une solution de (E) sur un intervalle I ⊂R est une fonctiony:x7→y(x) d´efinie et deux fois d´erivable sur I, telle que

∀x∈I, ay⁰⁰(x) +by⁰(x) +cy(x) = 0.

Nous noteronsSol_I(E) l’ensemble des solution surI de (E).

Exemple 1.7.

(1) y⁰⁰+y= 0 (2) y⁰⁰−y= 0 (3) y⁰⁰+y⁰+y= 0 (4) y⁰⁰−4y⁰+ 4y= 0 (5) y⁰⁰+ 4y⁰+ 3y= 0

D´efinition 1.8. Soit a, b, c trois r´eels (avec a 6= 0) et soit (E) : ay⁰⁰+by⁰ +cy = 0 l’´equation diff´erentielle lin´eaire du second ordre homog`ene associ´ee. Le polynˆome caract´eristique de (E) est P_E(t) =at²+bt+c.

Le polynˆome caract´eristique est toujours de degr´e 2, puisquea6= 0.

Th´eor`eme 1.9 (solutions en fonction des racines du polynˆome caract´eristique). Soit a, b, c trois r´eels (avec a6= 0) et soit (E) : ay<sup>00</sup>+by<sup>0</sup>+cy= 0 l’´equation diff´erentielle lin´eaire du second ordre homog`ene associ´ee.

(1) Si le polynˆome caract´eristique P_E admet deux racines r´eelles distinctes r, s alors Sol_I(E) est l’ensemble des fonctions de la formey :I 3x7→λexp(rx) +µexp(sx)o`uλ, µsont deux param`etres r´eels quelconques (et ce pour tout intervalle I ⊂R).

(2) Si le polynˆome caract´eristique PE admet une racine r´eelle double r alors Sol_I(E) est l’ensemble des fonctions de la forme y : I 3 x 7→ λexp(rx) +µxexp(rx) o`u λ, µ sont deux param`etres r´eels quelconques (pour tout intervalle I ⊂R).

(3) Si le polynˆome caract´eristique PE admet deux racines complexes distinctesz =r+iθ, z= r−iθ alorsSol_I(E)est l’ensemble des fonctions de la formey:I 3x7→exp(rx) λcos(θx)+

µsin(θx)

o`u λ, µsont deux param`etres r´eels quelconques (pour tout intervalle I ⊂R).

Lemme 1.10 (op´erations sur les solutions). Quand on consid`ere une ´equation homog`ene, on peut ajouter deux solutions ou multiplier une solution par une constante.

(1) Si y:I →R est solution de (E₀) et λ∈Rest un r´eel quelconque alorsλy:I 3x7→λy(x) est encore solution.

(2) Si y1 :I →R et y2 :I →R sont solutions de (E0) alors y1+y2 :I 3 x7→ λy1(x) +y2(x) est encore solution.

Remarque 1.11. Attention le lemme n’est vrai qu’avec l’´equation homog`ene !

La forme des solutions dans le cas des racines complexes conjugu´ees s’explique en utilisant l’exponentielle complexe :

Remarque 1.12. Pour tout complexe z = a+ib on note e^z le nombre complexe produit Z = e^a(cosb+isinb), de partie r´eelle A=e^acosb, et de partie imaginaireB =e^asinb.

Sia(x), b(x) sont des fonctions d´erivables par rapport `a x(sur un intervalleI ⊂R), alors on dit quez(x) est d´erivable par rapport `ax, et on note ^dz_dx, ouz⁰(x), le complexea⁰(x) +ib⁰(x). (On peut penser `az(x) comme `a un point mobile dans le plan complexe, etz⁰(x) repr´esente alors sa vitesse.)

On remarque alors que les parties r´eelles et imaginaires de Z(x) = e^z(x), qui sont A(x) = e^a(x)cos(b(x)) et B(x) = e^a(x)sin(b(x)), sont elles-mˆemes d´erivables. De plus (par d´efinition) Z⁰(x) = A⁰(x) +iB⁰(x) = (a⁰(x)A(x)−b⁰(x)B(x)) +i(a⁰(x)B(x) +b⁰(x)A(x)) = a⁰(x)(A(x) + iB(x)) +b⁰(x)(−B(x) +iA(x)) = (a⁰(x) +ib⁰(x))(A(x) +iB(x)).

Autrement dit _dx^de^z(x)=z⁰(x)e^z(x).

Appliquons cette r`egle de d´erivation tr`es simple au cas o`uz(x) = (r+iϕ)x, i.e. a(x) =rx, b(x) = ϕx. Nous obtenons _dx^de^(r+iϕ)x= (r+iϕ)e^(r+iϕ)x.

Alors le calcul fait au d´ebut donne : a d²

dx²e^(r+iϕ)x+b d

dxe^(r+iϕ)x+ce^(r+iϕ)x = (a(r+iϕ)²+b(r+iϕ) +c)e^(r+iϕ)x

Donc si r+iϕ est racine deP_E alorsx7→e^(r+iϕ)x est solution. Dans ce casr−iϕ est aussi racine de PE et donc x7→e^(r−iϕ)x est solution. La demi-somme des deux solutions est encore solution, et c’estx7→e^rxcos(ϕx).

1.3. Equations diff´erentielles lin´eaires du second ordre avec second membre.

D´efinition 1.13. Soient a, b, c trois r´eels aveca6= 0. Soit u:I →R une fonction continue. Alors (E) : ay⁰⁰+by⁰+cy=u(ou (E) : ay⁰⁰(x) +by⁰(x) +cy(x) =u(x)) est une´equation diff´erentielle lin´eaire du second ordre (avec second membre u). Une solution de (E) sur l’intervalle I est une fonctiony:x7→y(x) d´efinie et deux fois d´erivable surI, telle que

∀x∈I, ay⁰⁰(x) +by⁰(x) +cy(x) =u(x).

Nous noterons Sol_I(E) l’ensemble des solution sur I de (E). Nous noterons (E₀) l’´equation diff´erentielle lin´eaire du second ordre homog`ene associ´ee, i.e. (E0) : ay⁰⁰+by⁰+cy= 0.

Exemple 1.14.

(1) y⁰⁰+y= sin (2) y⁰⁰(x)−y(x) = 2x

(3) y⁰⁰(x) +y⁰(x) +y(x) = expx

(4) y⁰⁰(x)−4y⁰(x) + 4y(x) =x²exp(2x) (5) y⁰⁰+ 4y⁰+ 3y= (x−4) exp(−x)

Th´eor`eme 1.15 (espace des solutions). Soitu:I →R continue et soit (E) : ay⁰⁰+by⁰+cy=u une ´equation diff´erentielle lin´eaire du second ordre. Alors pour toute solution y0 de(E) on a :

Sol_I(E) =y₀+Sol_I(E₀)

Autrement dit pour toute solution z de (E₀) sur I l’application y:=z+y₀ est solution de (E) sur I. Et r´eciproquement pour toute solution y de (E) sur I l’application z :=y−y0 est solution de (E₀) sur I.

Pour r´esoudre (E) le probl`eme est donc maintenant d’arriver `a trouver une solution particuli`ere y0.

2. Solutions particuli`eres avec second membre u(x) =P(x)e^sx et autres.

Pour certains types de seconds membres une observation simple permet de faire aboutir les calculs.

Supposons y(x) =Q(x) exp(sx), o`uQ est un polynˆome. Nous avons alors y⁰(x) =Q⁰(x) exp(sx) +Q(x) sexp(sx)

= Q⁰(x) +sQ(x)

exp(sx)

de sorte que y⁰ a la mˆeme forme que y (sauf que Q(x) est remplac´e par Q⁰(x) +sQ(x)). On en d´eduit alors sans calcul suppl´ementaire:

y⁰⁰(x) = [Q⁰(x) +sQ(x)]⁰(x) +s[Q⁰(x) +sQ(x)]

exp(sx) = Q⁰⁰(x) + 2sQ⁰(x) +s²Q(x)

exp(sx) Supposons maintenant donn´ee une ´equation diff´erentielle lin´eaire du second ordre (E) : ay⁰⁰(x) + by⁰(x) +cy(x) = P(x) exp(sx). Les calculs de d´erivations des fonctions de la forme Q(r) exp(sx) sugg`erent de chercher une solution particuli`ere sous la forme

y₀(x) =Q(x) exp(sx) avec doncQun polynˆome `a d´eterminer en fonction de P ets.

On obtient

ay₀⁰⁰(x) +by₀⁰(x) +cy₀(x) = a[Q⁰⁰(x) + 2sQ⁰(x) +s²Q(x)] +b[Q⁰(x) +sQ(x)] +cQ(x)

exp(sx)

= aQ⁰⁰(x) + (2as+b)Q⁰(x) + (as²+bs+c)Q(x)

exp(sx) Et doncy₀ solution de (E) ssi

(R) : aQ⁰⁰(x) + (2as+b)Q⁰(x) + (as²+bs+c)Q(x) =P(x)

En g´en´eral as²+bs+c(= P_E(s) !) est non nul, alors, par identification des coefficients, on peut trouver exactement un polynˆomeQ de mˆeme degr´e queP tel que la relation (R) soit satisfaite. Si PE(s) = 0 mais 2as+b(= P_E⁰(s) !!) est non nul, alors on peut trouver exactement un polynˆome Q de degr´e un de plus que P tel que la relation (R) soit satisfaite, et de plus Q(0) = 0. Enfin si PE(s) =P_E⁰ (s) = 0, alors commea6= 0 on peut trouver exactement un polynˆome Qde degr´e deux de plus que P tel que la relation (R) soit satisfaite, et de plus Q(0) =Q⁰(0) = 0.

On voit que dans tous les cas la m´ethode pr´ec´edente permet de trouver une solution particuli`ere.

Remarque 2.1. Certes il faut connaˆıtre l’origine de la m´ethode (i.e. les calculs de d´eriv´ees de Q(x) exp(sx)), mais dans la pratique, ce qu’il faut savoir c’est qu’on peut toujours chercher une solution particuli`ere de la forme (polynˆome) fois (exponentielle de mˆeme base) : un calcul g´en´eral du cours assure qu’on en trouvera une !

Ceci permet aussi de traiter des seconds membres de la formeu(x) =P1(x) exp(s1x)+P2(x) exp(s2x)+

· · ·+P_n(x) exp(s_nx), en vertu de la proposition suivante:

Proposition 2.2 (superposition des solutions). Soit u₁ :I → R, u₂ :I → R, . . . , u_n :I → R des applications continues et soit (E) : ay⁰⁰+by⁰+cy=u₁+u₂+· · ·+u_n une ´equation diff´erentielle lin´eaire du second ordre. Si y1 est solution sur I de (E1) : ay⁰⁰+by⁰ +cy =u1, y2 est solution sur I de (E₂) : ay⁰⁰+by⁰+cy =u₂, . . ., y_n est solution sur I de (E_n) : ay⁰⁰+by⁰+cy =u_n, alors la somme y1+y2+· · ·+yn est solution surI de(E).

Exemple 2.3. R´esoudre surRl’´equation diff´erentielle (E) : y⁰⁰(x)−4y⁰(x) + 4y(x) =xexp(2x)− 2x²exp(x).

On peut encore trouver une solution particuli`ere lorsque le second membre est de la forme u(x) = P₁(x) cos(ϕx) +P₂(x) sin(ϕx). La m´ethode est formellement la mˆeme que pr´ec´edemment.

En ´ecrivant cos(ϕx) = exp(iϕx)+exp(−iϕx)

2 et sin(ϕx) = exp(iϕx)−exp(−iϕx)

2i on voit que u(x) = P₁(x)−iP₂(x)

2 exp(iϕx) +P₁(x) +iP₂(x)

2 exp(−iϕx) = Re(P₁(x)−iP₂(x)

2 exp(iϕx))

Comme pr´ec´edemment il existe un polynˆomeQ`a coefficients complexes, soitQ(x) =Q<sub>1</sub>(x)+iQ<sub>2</sub>(x) avec Q1, Q2 `a coefficients r´eels, tel quez0(x) =Q(x) exp(iϕx) v´erifie

az₀⁰⁰(x) +bz₀⁰(x) +cz0(x) = P1(x)−iP2(x)

2 exp(iϕx)

Alorsx7→y₀(x) = Re(Q(x) exp(iϕx)) =Q₁(x) cos(ϕx)−Q₂(x) sin(ϕx) est solution particuli`ere de (E) sur I.

Ce qu’il faut retenir c’est que dans ce cas-l`a, il existe toujours une solution particuli`ere de la forme polynˆome cos(ϕx) + polynˆome sin(ϕx).

Nous admettrons le r´esultat suivant, que nous avons d´emontr´e lorsque u est une somme de fonctions de la forme P(x) exp(sx), Q(x) cos(ϕx), R(x) sin(ψx) :

Th´eor`eme 2.4. Soienta, b, c trois r´eels avec a6= 0. Soit u:I →R une fonction continue. Alors (E) : ay⁰⁰+by⁰+cy=u admet toujours une solution surI.

2.1. Existence et unicit´e d’une solution avec conditions initiales fix´ees.

Th´eor`eme 2.5. Soient a, b, c trois r´eels avec a6= 0. Soit u :I → R une fonction continue. Soit t0 ∈I et soient (y0, y₀⁰)∈R² quelconques. Alors (E) : ay⁰⁰+by⁰+cy=u admet une et une seule solution y:I →R telle que y(t₀) =y₀ et y⁰(t₀) =y₀⁰.

Proof. L’´equation (E) admet toujours une solution y₁ sur I (voir Th´eor`eme 2.4), et toute autre solution y s’´ecrity =y1+z avec z solution de l’´equation diff´erentielle lin´eaire homog`ene associ´ee (voir Th´eor`eme 1.15. Il suffit donc de prouver le r´esultat pour les ´equations lin´eaires homog`enes.

Compte tenu du Th´eor`eme 1.9, un examen au cas par cas (deux racines r´eelles distinctes, une racine r´eelle double ou deux racines complexes non r´eelles mais conjugu´ees) permet de conclure - il s’agit de syst`emes lin´eaires 2×2 `a r´esoudre.