Devoir commun n°2 - 03 avril 2018

Nom : Classe :

Devoir commun n°2 03/04/2018

Note :

….. / 25

Exercice 1 : …./ 4 pts

Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse exacte. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte un point, une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapportent aucun point.

1. Observer la figure ci-dessous et identifier l'affirmation correcte.

a) Parler de translation de vecteur 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ c’est la même chose que de parler de translation de vecteur 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ . b) La translation de vecteur 𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ transforme I en K.

c) La translation de vecteur 𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ transforme B en F.

d) La translation de vecteur 𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ transforme le triangle CDI en le triangle AIK.

2. Soit ABCD un parallélogramme de centre O. On note I le milieu de [BC] et E le symétrique de A par rapport à I.

a) 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ b) 𝐵𝐼⃗⃗⃗⃗ = 𝐶𝐼⃗⃗⃗⃗ c) 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ d) 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗

3. Observer la figure ci-dessous et déterminer l’égalité vectorielle correcte.

a) 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑢⃗ + 𝑣 b) 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑢⃗ + 𝑣 + 𝑤⃗⃗

c) 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝑢⃗ − 𝑣 − 𝑤⃗⃗

d) 𝑢⃗ + 𝑣 + 𝑤⃗⃗ = 0⃗

4. On se place dans le repère orthonormé (𝑂; 𝑖 ; 𝑗 ) précédent.

a) 𝑢⃗ (−1

2 ) b) 𝑣 (−4

−1) c) 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ( 2

−4) d) 𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ (5 2)

Exercice 2 : …./ 3.5 pts

Soit (𝑑)la droite d’équation : 𝒚 = 𝟑𝒙 − 𝟒

1. Soit A le point de la droite (d) ayant pour abscisse – 2. Déterminer son ordonnée.

2. Soit B le point de la droite (d) ayant pour ordonnée 3. Déterminer son abscisse.

3. Tracer la droite (d) et la droite (𝑑

) d’équation 𝑥 = 4 dans le repère ci-dessous.

4. Soit 𝐶(−4; 2)𝑒𝑡 𝐸(2; 8)

a) Déterminer l’équation de la droite (CE).

b) Les droites (𝑑) et (𝐶𝐸) sont-elles parallèles ? Justifier

Exercice 3 : …./ 3.5 pts

ABCDEFGH est un cube. Le point I est le milieu du segment [AB].

On se propose de représenter la droite (d) d’intersection des plans (DFI) et (EFG).

1. Pourquoi le point F appartient-il à la droite (d) ? 2. Quelle est l’intersection des plans (DIF) et (ABC) ?

3. Que sait-on sur les plans (ABC) et (EFG) ? En déduire la droite (d).

4. Tracer la droite (d).

5. Tracer la section du cube par le plan (DIF). Déterminer sa nature.

Exercice 4: …. / 5 pts Une entreprise a des marchandises à faire transporter. Il contacte deux transporteurs :

Le transporteur A lui demande 300€ au départ et 4 € par kilomètre parcouru.

Le transporteur B lui donne les informations suivantes : avec 1200€ vous pourrez transporter votre marchandise sur une distance de 100km et avec 1800€ vous pourrez transporter votre marchandise sur une distance de 400km.

Soient 𝑓_𝐴 et 𝑓_𝐵 les fonctions affines déterminant le prix à payer en fonction de 𝑥 (le nombre de kilomètres parcourus) pour le transporteur A et pour le transporteur B.

1.

a) Justifier que : 𝑓_𝐴(𝑥) = 4𝑥 + 300 b) Démontrer que : 𝑓_𝐵(𝑥) = 2𝑥 + 1000

2. Représenter les fonctions 𝑓_𝐴 et 𝑓_𝐵 dans le repère orthogonal ci-dessous.

3. Pour quelle distance à parcourir, les deux transporteurs proposent-ils le même tarif ? (justifier par un calcul) 4. Pour quelles distances à parcourir est-il plus avantageux de s’adresser au transporteur B ?

5. On souhaite créer un algorithme qui détermine le montant de la facture avec le transporteur le plus avantageux.

a) Compléter l’algorithme suivant afin qu’il réponde au problème posé :

b) L’entreprise souhaite transporter sa marchandise sur une distance de 375 km.

Qu’affichera l’algorithme ? Justifier

Exercice 5 : …./ 5 pts

Soit 𝑓 la fonction définie sur ℝ par :𝑓(𝑥) = −2(𝑥 − 4)²+ 8 1.

a) Démontrer que 𝑓(𝑥) = −2𝑥²+ 16𝑥 − 24 b) Démontrer que 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 6)(−2𝑥 + 4)

2. En utilisant l’expression de la fonction 𝑓 qui vous semble la mieux adaptée : Résoudre l’équation 𝑓(𝑥) = 0

Résoudre 𝑓(𝑥) = −24

3. Dresser le tableau des signes de 𝑥 − 6 puis de −2𝑥 + 4.

Exercice 6 : …./ 2.5 pts 1. Résoudre le système suivant : {x + 2y = 90

3x + y = 195

2. Chez Loïc les tubes néons sont tous identiques et les ampoules « basse consommation » sont toutes les mêmes. Dans la salle de bain un tube néon et deux ampoules « basse consommation » consomment 90 watts. Dans la cuisine, trois tubes néons et une ampoule « basse consommation » consomment 195 watts.

a) Expliquer pourquoi résoudre ce problème revient à résoudre le système de la question 1. ? b) En déduire la consommation d’une ampoule et d’un tube néon ?

Exercice 7 : …./ 1.5 pts

Proposer une fonction affine 𝑓 dont le tableau de signes est le suivant :

Correction Devoir Commun n°2 – 2^nde

Exercice 1 : 1. C) 2. D) 3. B) 4. D) Exercice 2 :

1. 𝐴 ∈ (𝑑) 𝑦𝐴 = 3𝑥𝐴 − 4

𝑦

= 3 × (−2) − 4 𝑦

= −10

L’ordonnée de A est -10.

2. 𝐵 ∈ (𝑑) 𝑦

= 3𝑥

– 4 3 = 3𝑥

– 4 7 = 3𝑥

𝑥

=

3

L’abscisse de B est

3

.

3. Graphique 4.

a) L’équation de la droite (CE) est de la forme y = ax + b, où a et b sont des réels.

Coefficient directeur de (CE) : 𝑎 =

𝑥_E−𝑥_C

𝑎 = 8 − 2

2 − (−4) 𝑎 = 1

Ordonnée à l’origine de (CE) :

On sait que C appartient à (CE) donc 𝑦

= 1𝑥

+ 𝑏 D’où 2 = −4 + 𝑏

𝑏 = 2 + 4 𝑏 = 6

Donc l’équation de la droite (CE) est y = x + 6.

b. Le coefficient directeur de la droite (CE) est 1, celui de la droite (d) est 3. Les droites (d) et (CE) n’ont pas le même coefficient directeur, elles ne sont donc pas parallèles.

Exercice 3 :

1. F est un point appartenant au plan (DIF) et au plan (EFG), il appartient donc à l’intersection de ces deux plans, qui est la droite (d).

2. ABCD est une face du cube, donc le point D appartient au plan (ABC). De plus, le point I est le milieu du segment [AB], ainsi, I appartient au plan (ABC). Donc, les points D et I appartiennent au plan (ABC), ils appartiennent aussi au plan (DFI).

L’intersection de deux plans est une droite, donc l’intersection des plans (ABC) et (DFI) est la droite

(DI).

3. Les plans (ABC) et (EFG) contiennent des faces opposées du cube, ces plans sont donc parallèles.

Le plan (DFI) coupe le plan (ABC) selon la droite (DI) et le plan (EFG) selon la droite (d), or les plans (ABC) et (EFG) sont parallèles, donc les droites (DI) et (d) sont parallèles. De plus, F est un point de (d), donc (d) est la droite parallèle à (DI) passant par le point F.

4.

5. (d) est la droite parallèle à (DI) passant par F, elle coupe le segment [HG] en son milieu K.

Ainsi, la section du cube par le plan (DIF) est le quadrilatère DIFK.

De plus, les droites (DI) et (FK) sont parallèles et DI=IG=FK, donc, DIFK est un losange

Exercice 4 : 1.

a) Le transporteur A demande 300€ au départ et 4 € par kilomètre parcouru.

Ainsi, pour 𝑥 km parcourus, il payera 4 × 𝑥. On doit ensuite ajouter le montant du forfait : 300€.

Ainsi 𝒇_𝑨(𝒙) = 𝟒𝒙 + 𝟑𝟎𝟎

b) Le transporteur B donne les informations suivantes :

avec 1200€ vous pourrez transporter votre marchandise sur une distance de 100km.

Donc 𝑓_𝐵(100) = 1200

avec 1800€ vous pourrez transporter votre marchandise sur une distance de 400km.

Donc 𝑓_𝐵(400) = 1800

Or 𝑓 est une fonction affine de la forme : 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 On a : 𝑎 =^{𝑓𝐵(𝑥1)−𝑓𝐵(𝑥2)}

𝑥₁−𝑥₂ =𝑓(100)−𝑓(400)

100−400 =^1200−1800

100−400 = 2 Donc 𝑓_𝐵(𝑥) = 2𝑥 + 𝑏

Or 𝑓(100) = 1200 2 × 100 + 𝑏 = 1200 𝑏 = 1200 − 200 = 1000 Conclusion : 𝒇𝑩(𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟏𝟎𝟎𝟎

2.

3. 𝑓𝐴(𝑥) = 𝑓_𝐵(𝑥)

4𝑥 + 300 = 2𝑥 + 1000 4𝑥 − 2𝑥 = 1000 − 300 2𝑥 = 700

𝑥 =⁷⁰⁰

2

𝑥 = 350

Conclusion : les deux transporteurs proposent le même tarif pour 350 km parcourus.

4. Si le trajet est d’une distance strictement supérieure à 350 km, il est plus avantageux de choisir le transporteur B. Graphiquement, 𝐶𝑓_𝐵 est en dessous de 𝐶𝑓_𝐴 sur ]350; +∞ [.

5.

a)

b) L’entreprise souhaite transporter sa marchandise sur une distance de 375 km, soit 𝑥 = 375 Or 375 > 350

Le programme choisira donc le transporteur B et 𝑝 = 2 × 375 + 1000 = 1750 Conclusion : l’algorithme affichera : « choisir le transporteur B » et 1750.

Exercice 5 :

Soit 𝑓 la fonction définie sur ℝ par :𝑓(𝑥) = −2(𝑥 − 4)²+ 8 1.

a) 𝑓 (𝑥) = −2(𝑥 − 4)²+ 8 𝑓(𝑥) = −2(𝑥²− 8𝑥 + 16) + 8 𝑓(𝑥) = −2𝑥²+ 16𝑥 − 32 + 8 𝑓(𝑥) = −2𝑥²+ 16𝑥 − 24

b) (𝑥 − 6)(−2𝑥 + 4) = −2𝑥² + 4𝑥 + 12𝑥 − 24 (𝑥 − 6)(−2𝑥 + 4) = −2𝑥² + 16𝑥 − 24 (𝑥 − 6)(−2𝑥 + 4) = 𝑓(𝑥)

Conclusion : On déduit du a) et du b) que : 𝑓(𝑥) = −2(𝑥 − 4)²+ 8 = −2𝑥²+ 16𝑥 − 24 = (𝑥 − 6)(−2𝑥 + 4) 2. En utilisant l’expression de la fonction 𝑓 qui vous semble la mieux adaptée :

Résoudre l’équation 𝑓(𝑥) = 0 𝑓(𝑥) = 0 ( 𝑥 − 6)(−2𝑥 + 4) = 0

or un produit est nul si et seulement si un des facteurs au moins est égal à zéro Donc 𝑥 − 6 = 0 𝑜𝑢 −2𝑥 + 4 = 0

𝑥 = 6 𝑜𝑢 − 2𝑥 = −4 𝑥 = 6 𝑜𝑢 𝑥 = 2

Conclusion : 𝑆 = {2; 6}

Résoudre 𝑓(𝑥) = −24

𝑓(𝑥) = −24 −2𝑥² + 16𝑥 − 24 = −24 −2𝑥² + 16𝑥 = 0 𝑥(−2𝑥 + 16) = 0 or un produit est nul si et seulement si un des facteurs au moins est égal à zéro.

Donc 𝑥 = 0 𝑜𝑢 − 2𝑥 + 16 = 0 𝑥 = 0 𝑜𝑢 − 2𝑥 = −16

𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 = 8 Conclusion : 𝑆 = {0; 8}

3. Dresser le tableau des signes de 𝑥 − 6 puis de −2𝑥 + 4.

Signe de 𝒙 − 𝟔 :

𝑥 − 6 = 0 𝑥 = 6 de plus 𝑥 − 6 est du signe de a = 1 >0 à « droite du zéro » 𝑥 -∞ 6 +∞

Signe de 𝑥 − 6 − 0 + Signe de −𝟐𝒙 + 𝟒 :

−2𝑥 + 4 = 0 𝑥 = 2 de plus −2𝑥 + 4 est du signe de a = −2 < 0 à « droite du zéro » 𝑥 -∞ 2 +∞

Signe de −2𝑥 + 4 + 0 −

Exercice 6 :

1. Résoudre le système suivant : {𝑥 + 2𝑦 = 90 3𝑥 + 𝑦 = 195 2.

{𝑥 + 2𝑦 = 90

3𝑥 + 𝑦 = 195 {𝑥 = 90 − 2𝑦

3𝑥 + 𝑦 = 195 { 𝑥 = 90 − 2𝑦

3(90 − 2𝑦) + 𝑦 = 195 { 𝑥 = 90 − 2𝑦

270 − 6𝑦 + 𝑦 = 195 { 𝑥 = 90 − 2𝑦 270 − 5𝑦 = 195

{𝑥 = 90 − 2𝑦 𝑦 =^270−195

5

{𝑥 = 90 − 30

𝑦 = 15 {𝑥 = 60

𝑦 = 15 le couple solution est (60 ;15) 3.

a) Soit 𝑥 la consommation en watts d’un tube néon et 𝑦 la consommation en watts d’une ampoule.

« un tube néon et deux ampoules « basse consommation » consomment 90 watts » signifie que 𝑥 + 2𝑦 = 90

« trois tubes néons et une ampoule « basse consommation » consomment 195 watts » signifie que 3𝑥 + 𝑦 = 195

b) {𝑥 + 2𝑦 = 90

3𝑥 + 𝑦 = 195 (𝑥 ; 𝑦) = (60 ;15) d’après la question 1.

Donc les ampoules consomment 15 watts et les néons 60 watts.

Exercice 7 :

On note 𝑓 (𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, où a et b sont des nombres réels.

D’après le tableau de signes, la fonction f est négative sur ]– ∞; 3] et positive sur [3; +∞[.

On en déduit que f est croissante et donc que a est positif.

De plus, on sait que 𝑓(3) = 0, d’où 3𝑎 + 𝑏 = 0 𝑑𝑜𝑛𝑐 3𝑎 = −𝑏.

Toutes les fonctions affines 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 telles que 3𝑎 = −𝑏 conviennent.

Par exemple, f (x) = x – 3 convient.

𝑥 − 6 ≤ 0 𝑥∈]-∞ ; 6]

a=1>0

a=-2<0 −2𝑥 + 4 > 0 𝑥∈]-∞ ; 2[