Codes correcteurs d’erreurs

(1)

Codes correcteurs d’erreurs, formes quadratiques entières :

des analogies inattendues

Michel Broué

Université Paris-Diderot Paris 7 CNRS–IMJ-PRG

École normale supérieure, 10 décembre 2014

(2)

Codes correcteurs d’erreurs

« Allo Papa Tango Charlie ? » ... signifie « A P T C ».

= Le code consiste ici à « ajouter de la redondance à l’information ».

(3)

Codes correcteurs d’erreurs

« Allo Papa Tango Charlie ? » ...

signifie « A P T C ».

(4)

Codes correcteurs d’erreurs

(5)

Codes correcteurs d’erreurs

« Allo Papa Tango Charlie ? » ... signifie « A P T C ».

(6)

Une suite de n « 0 » et de « 1 » (ou de bips et non-bips) correspond

à un vecteur de l’espace vectoriel Fⁿ₂ :

(ici n=3)

en vert, les points de l’hyperplan noyau de la forme linéaire

s :Fⁿ2 →F2 ,

n

X

i=1

λ_ie_i 7→

n

X

i=1

λ_i,

à un sous-ensemble d’un ensemble à n éléments : en vert, l’ensemble des parties paires.

(7)

Une suite de n « 0 » et de « 1 » (ou de bips et non-bips) correspond à un vecteur de l’espace vectoriel Fⁿ2 :

(ici n=3)

s :Fⁿ2 →F2 ,

n

X

i=1

λ_ie_i 7→

n

X

i=1

λ_i,

(8)

(ici n=3)

s :Fⁿ2 →F2 ,

n

X

i=1

λ_ie_i 7→

n

X

i=1

λ_i,

(9)

(ici n=3)

s :Fⁿ2 →F2 ,

n

X

i=1

λ_ie_i 7→

n

X

i=1

λ_i,

à un sous-ensemble d’un ensemble à n éléments :

en vert, l’ensemble des parties paires.

(10)

(ici n=3)

s :Fⁿ2 →F2 ,

n

X

i=1

λ_ie_i 7→

n

X

i=1

λ_i,

en vert, l’ensemble des parties paires.

(11)

(ici n=3)

s :Fⁿ2 →F2 ,

n

X

i=1

λ_ie_i 7→

n

X

i=1

λ_i,

(12)

Codes correcteurs

Soit Ωun ensemble fini de cardinal n. L’ensemble des parties deΩ, muni de l’opération différence symétrique

x+y:= (x∪y)−(x∩y)

est un espace vectoriel sur F2, naturellement isomorphe àF^Ω₂. On le note P(Ω).

(1) Il existe une et une seule forme linéaire non triviale surP(Ω)invariante par l’action du groupe symétrique S(Ω), à savoir la forme

s :P(Ω)−→F2 , x7→ |x| mod 2.

Le noyau des est l’hyperplan H(Ω), ensemble des parties de cardinal pair deΩ.

(13)

Codes correcteurs

x+y:= (x∪y)−(x∩y)

s :P(Ω)−→F2 , x7→ |x| mod 2.

(14)

Codes correcteurs

x+y:= (x∪y)−(x∩y)

s :P(Ω)−→F2 , x7→ |x| mod 2.

(15)

Codes correcteurs

x+y:= (x∪y)−(x∩y)

s :P(Ω)−→F2 , x7→ |x| mod 2.

Le noyau des est l’hyperplan H(Ω), ensemble des parties de cardinal pair

(16)

Codes correcteurs – suite

(2) Les formes quadratiquesnon nulles invariantes parS(Ω)ont toutes même restriction, notée q, à l’hyperplan H(Ω), où

q(x) = |x|

2 mod 2 pour tout x∈ H(Ω),

et

q(x+y)−q(x)−q(y) =|x∩y| mod 2 pour tousx,y ∈ H(Ω).

(3) C’est un exercice d’algèbre linéaire que de classifier(H(Ω),q).

(17)

Codes correcteurs – suite

q(x) = |x|

2 mod 2 pour tout x∈ H(Ω), et

(3) C’est un exercice d’algèbre linéaire que de classifier(H(Ω),q).

(18)

Codes correcteurs – suite

q(x) = |x|

2 mod 2 pour tout x∈ H(Ω), et

(19)

Codes autoduaux pairs

Un code correcteur d’erreurs est un sous–espace vectoriel E deP(Ω). Un code E est dit entier s’il est contenu dans son orthogonalE⁰. Un code E est dit autodual s’il est égal son orthogonalE⁰.

Ainsi, un codeE est entier si et seulement si, pour tousx,y ∈ E,|x∩y|est pair. En particulier, on aE ⊆ H(Ω).

Un code E est dit pair si, pour tout x ∈ E,|x|est divisible par 4. Un code pair est contenu dansH(Ω), et totalement singulier pour la forme quadratiqueq, donc il est entier.

(20)

Codes autoduaux pairs

Un code correcteur d’erreurs est un sous–espace vectoriel E deP(Ω).

Un code E est dit entier s’il est contenu dans son orthogonalE⁰. Un code E est dit autodual s’il est égal son orthogonalE⁰.

(21)

Codes autoduaux pairs

(22)

Codes autoduaux pairs

Un code E est dit pair si, pour tout x ∈ E,|x|est divisible par 4.

Un code pair est contenu dansH(Ω), et totalement singulier pour la forme quadratiqueq, donc il est entier.

(23)

Codes autoduaux pairs

(24)

Codes autoduaux pairs

(25)

Un exemple de Codes autoduaux pairs

Supposonsn multiple de 4, posonsn =2m, et

Ω :={α₁, α2, . . . , αm, β1, β2, . . . , βm}.

Le codeE_nest par définition le code engendré par tous les éléments de la forme

xi,j :={α_i, αj, βi, βj}_1≤i6=j≤m et {α₁, α2, . . . , αm}.

Exercice

1 E_n est entier, et autodual sim est pair.

2 Il est pair et autodualsi m est multiple de 4,i.e., sin est multiple de 8.

(26)

Un exemple de Codes autoduaux pairs

Ω :={α₁, α2, . . . , αm, β1, β2, . . . , βm}.

Exercice

(27)

Un exemple de Codes autoduaux pairs

Ω :={α₁, α2, . . . , αm, β1, β2, . . . , βm}.

Exercice

(28)

Un exemple de Codes autoduaux pairs

Ω :={α₁, α2, . . . , αm, β1, β2, . . . , βm}.

Exercice

1 E_n est entier, et autodual simest pair.

(29)

Si n est multiple de 8

Cas particulier : Pourn=8, considérant Ωcomme l’ensemble sous-jacent à l’espace affine de dimension 3 sur le corps F2, le codeE₈ est formé deΩ,

∅, et des 14 plans affines.

Le résultat suivant se déduit de la classification des paires (H(Ω),q). Théorème

Il existe un code autodual et pair dans P(Ω)si et seulement si n≡0 mod 8.

(30)

Si n est multiple de 8

Le résultat suivant se déduit de la classification des paires (H(Ω),q). Théorème

(31)

Si n est multiple de 8

Le résultat suivant se déduit de la classification des paires (H(Ω),q).

Théorème

(32)

Si n est multiple de 8

Le résultat suivant se déduit de la classification des paires (H(Ω),q).

Théorème

Il existe un code autodual et pair dans P(Ω)si et seulement si

(33)

Réseaux

Qⁿ est muni de son produit scalaire naturel (x,y)7→ hx,yi.

On pose x²:=hx,xi.

Un réseau LdeQⁿ est un sous–groupe additif deQⁿ engendré par une base deQⁿ.

Le réseau dualL⁰ deLest l’ensemble des élémentsy ∈Qⁿ tels que hx,yi ∈Zpour tout x∈L.

On aL⁰⁰=L.

Le volume vol(L) deLest la valeur absolue du déterminant d’une base deLpar rapport à une base orthonormale de Qⁿ.

On a

vol(L)vol(L⁰) =1.

(34)

Réseaux

On pose x²:=hx,xi.

Un réseau LdeQⁿ est un sous–groupe additif deQⁿ engendré par une base deQⁿ.

Le réseau dualL⁰ deLest l’ensemble des élémentsy ∈Qⁿ tels que hx,yi ∈Z pour tout x∈L.

On aL⁰⁰=L.

On a

vol(L)vol(L⁰) =1.

(35)

Réseaux

On pose x²:=hx,xi.

Un réseauL deQⁿ est un sous–groupe additif deQⁿ engendré par une base deQⁿ.

Le réseau dualL⁰ deLest l’ensemble des élémentsy ∈Qⁿ tels que hx,yi ∈Z pour tout x∈L.

On aL⁰⁰=L.

On a

vol(L)vol(L⁰) =1.

(36)

Réseaux

On pose x²:=hx,xi.

Le réseau dualL⁰ deL est l’ensemble des élémentsy ∈Qⁿ tels que hx,yi ∈Z pour tout x∈L.

On aL⁰⁰=L.

On a

vol(L)vol(L⁰) =1.

(37)

Réseaux

On pose x²:=hx,xi.

On aL⁰⁰=L.

On a

vol(L)vol(L⁰) =1.

(38)

Réseaux

On pose x²:=hx,xi.

On aL⁰⁰=L.

On a

vol(L)vol(L⁰) =1.

(39)

Réseaux

On pose x²:=hx,xi.

On aL⁰⁰=L.

On a

vol(L)vol(L⁰) =1.

(40)

Réseaux et formes quadratiques entières

Un réseau Lest ditentier siL⊆L⁰.

Les réseaux entiers définissent des formes quadratiques entières. Lest dit unimodulaire si L=L⁰.

Il est ditpair six² ∈2Zpour tout x∈L(un réseau pair est entier).

(41)

Réseaux et formes quadratiques entières

Les réseaux entiers définissent des formes quadratiques entières.

Lest dit unimodulaire si L=L⁰.

(42)

Réseaux et formes quadratiques entières

(43)

Réseaux et formes quadratiques entières

(44)

Réseaux et formes quadratiques entières

(45)

Réseaux et formes quadratiques entières

Rappel : Théorème

(46)

Réseaux et formes quadratiques entières

Théorème : si n est multiple de 8

Il existe un réseau unimodulaire pair dans Qⁿ si et seulement si

(47)

(48)

Un exemple de réseau unimodulaire pair

Supposonsn≡0 mod 4.

Soit(v1,v2, . . . ,vn) une base orthogonale avecv_i²=1/4, et soitR le réseau de base (v1,v2, . . . ,v_n).

Le réseauΛn⊂R est Λn:=

(_i=n X

i=1

aivi | (∀i,ai ≡a1 mod 2) et(X

i

ai ≡0 mod 4) )

.

Exercice

1 Le réseauΛn est unimodulaire.

2 Si de plus n est divisible par 8, le réseauΛn est pair.

(49)

Un exemple de réseau unimodulaire pair

(_i=n X

i=1

i

ai ≡0 mod 4) )

.

Exercice

(50)

Un exemple de réseau unimodulaire pair

(_i=n X

i=1

i

ai ≡0 mod 4) )

.

Exercice

(51)

Un exemple de réseau unimodulaire pair

(_i=n X

i=1

i

ai ≡0 mod 4) )

.

Exercice

(52)

Un exemple de réseau unimodulaire pair

(_i=n X

i=1

i

ai ≡0 mod 4) )

.

Exercice

(53)

Polynôme des poids d’un code

Le polynôme des poids d’un code E est par définition PE(X,Y) :=X

x∈E

X^|x|Y^n−|x|=

n

X

j=0

|E_k|(E)X^kY^n−k.

Théorème : Formule de MacWilliams

Supposonsn =2m, où m est un entier. Pour tout code E dansP(Ω), P_E⁰(X,Y) =2^m−dimEPE((−X +Y)/√

2,(X+Y)/√ 2). Si P(X,Y)∈C[X,Y]et sig :=

a b c d

est une matrice à coefficients complexes, on note P·g le polynôme défini par

(P ·g)(X,Y) :=P(aX+bY,cX +dY).

(54)

Polynôme des poids d’un code

x∈E

X^|x|Y^n−|x|=

n

X

j=0

|E_k|(E)X^kY^n−k.

a b c d

(55)

Polynôme des poids d’un code

x∈E

X^|x|Y^n−|x|=

n

X

j=0

|E_k|(E)X^kY^n−k.

2,(X+Y)/√ 2).

Si P(X,Y)∈C[X,Y]et sig := a b

c d

(56)

Polynôme des poids d’un code

x∈E

X^|x|Y^n−|x|=

n

X

j=0

|E_k|(E)X^kY^n−k.

a b

est une matrice à coefficients

(57)

Algèbre des polynômes des poids

Corollaire

Si E est un code autodual pair, alors son polynôme des poids est invariant par l’action (à droite) du sous–groupe de GL2(C) engendré par les deux matrices

ρ:=

i 0 0 1

et σ := 1

√2

−1 1

1 1

.

Les deux matrices ρ etσ représentent des pseudo–réflexions (i.e.,des automorphismes d’ordre fini dont l’espace des points fixes est un hyperplan),

le groupeW qu’elles engendrent est un groupefini : c’est un groupe de réflexions complexes d’ordre 192

(192=8×24).

GROUPES DE RÉFLEXIONS ...

(58)

Algèbre des polynômes des poids

Corollaire

ρ:=

i 0 0 1

et σ := 1

√2

−1 1

1 1

.

Les deux matrices ρet σ représentent des pseudo–réflexions (i.e.,des automorphismes d’ordre fini dont l’espace des points fixes est un hyperplan),

(192=8×24).

(59)

Algèbre des polynômes des poids

Corollaire

ρ:=

i 0 0 1

et σ := 1

√2

−1 1

1 1

.

(192=8×24). GROUPES DE RÉFLEXIONS ...

(60)

Algèbre des polynômes des poids

Corollaire

ρ:=

i 0 0 1

et σ := 1

√2

−1 1

1 1

.

le groupeW qu’elles engendrent est un groupefini : c’est un groupe

(61)

Algèbre des polynômes des poids

Corollaire

ρ:=

i 0 0 1

et σ := 1

√2

−1 1

1 1

.

le groupeW qu’elles engendrent est un groupefini : c’est un groupe de réflexions complexes d’ordre 192 (192=8×24).

(62)

Groupes de réflexions

Soit G un sous-groupe fini de GL_r(C), qui opère sur C[X₁, . . . ,X_r]:

P·(a_i,j)(X₁, . . . ,X_r) :=P(X

j

a_1,jX_j, . . . ,X

j

a_r_,jX_j). Théorème (Shephard–Todd, Chevalley, Serre)

Les assertions suivantes sont équivalentes : (i) G est engendré par des pseudo-réflexions.

(ii) La sous-algèbre C^G[X1, . . . ,X_r] des polynômes fixes par l’action deG est isomorphe à une algèbre de polynômes.

Alors

1 Il exister éléments homogènes algébriquement indépendantsI1, . . . ,I_r deC^G[X₁, . . . ,X_r]tels queC^G[X₁, . . . ,X_r] =C[I₁, . . . ,I_r],

2 si d1, . . . ,d_r sont les degrés respectifs deI1, . . . ,I_r, on a

|G|=d₁· · ·d_r .

(63)

Groupes de réflexions

Soit G un sous-groupe fini de GL_r(C), qui opère sur C[X₁, . . . ,X_r]: P·(a_i,j)(X₁, . . . ,X_r) :=P(X

j

a_1,jX_j, . . . ,X

j

a_r_,jX_j).

Théorème (Shephard–Todd, Chevalley, Serre) Les assertions suivantes sont équivalentes :

(i) G est engendré par des pseudo-réflexions.

Alors

|G|=d₁· · ·d_r .

(64)

Groupes de réflexions

j

a_1,jX_j, . . . ,X

j

Les assertions suivantes sont équivalentes :

(i) G est engendré par des pseudo-réflexions.

Alors

|G|=d₁· · ·d_r .

(65)

Groupes de réflexions

j

a_1,jX_j, . . . ,X

j

Alors

|G|=d₁· · ·d_r .

(66)

Groupes de réflexions

j

a_1,jX_j, . . . ,X

j

Alors

|G|=d₁· · ·d_r .

(67)

Groupes de réflexions

j

a_1,jX_j, . . . ,X

j

Alors

|G|=d₁· · ·d_r .

(68)

Groupes de réflexions

j

a_1,jX_j, . . . ,X

j

Alors

1 Il exister éléments homogènes algébriquement indépendantsI1, . . . ,I_r

|G|=d₁· · ·d_r .

(69)

Groupes de réflexions

j

a_1,jX_j, . . . ,X

j

Alors

2 si d , . . . ,d sont les degrés respectifs deI , . . . ,I , on a

(70)

Algèbre des polynômes des poids – suite

|W|=192=8×24, et l’algèbre C^W[X,Y]des polynômes invariants par l’action de W est unealgèbre de polynômes, engendrée par deux éléments algébriquement indépendants, homogènes et de degrés respectifs 8 et 24.

La dimension de l’espace vectoriel des polynômes homogènes de degré n invariants par W est 1+ [n/24].

Théorème : Où vit le polynôme des poids

1 Le polynôme des poids d’un code autodual pair appartient à l’algèbre Z^W[X,Y]des polynômes à coefficientsentiers et invariants parW,

2 On aZ^W[X,Y] =Z[A(X,Y),D(X,Y]) où

A(X,Y) :=X⁸+14X⁴Y⁴+Y⁸ et D(X,Y) :=X⁴Y⁴(X⁴−Y⁴)⁴.

(71)

Algèbre des polynômes des poids – suite

(72)

Algèbre des polynômes des poids – suite

(73)

Algèbre des polynômes des poids – suite

(74)

Algèbre des polynômes des poids – suite

(75)

Corollaire

1 Il y a un seul polynôme qui peut être le polynôme des poids d’un code autodual et pair en dimension 8, à savoir le polynôme

A(X,Y) =X⁸+14X⁴Y⁴+Y⁸.

2 Il y a un seul polynôme qui peut être le polynôme des poids d’un code autodual et pair en dimension 24 ne contenant aucun vecteur de poids 4, à savoir le polynôme