Dury Marie-Eliette – L2EG-S3 1/4
TD-Chapitre 3
Variables aléatoires discrètes
EXERCICES D'APPLICATION DIRECTE DU CHAPITRE 3
> Exercice 1 – TD-CH3
Soit X la variable aléatoire dont la distribution est donnée par le tableau suivant :
IM(X) : xi -3 0 3
P(X=xi) 0,35 0,3 a?
1/ 1.a /Donner l’ensemble image de X
1.b/ Calculer a en donnant la partition utilisée. Rappeler les 3 propriétés qu'elle doit vérifier.
2/ Calculer la probabilité pour que X soit : 2.a/ inférieur ou égal à 0,3
2.a/ supérieur ou égal à 0 2.a/ strictement supérieur à 3 3/ Exprimer et calculer :
3.a/ l’espérance de X. En déduire sa moyenne. Est-elle centrée ? 3.b/ la variance de X. En déduire son écart-type. Est-elle réduite ? 4/ Soit Y la variable aléatoire définie par Y=X².
4.a/ Donner le tableau de distribution de Y 4.b/ Calculer l'espérance et la variance de Y
> Exercice 2 – TD-CH3
Dans une station-service d'un village isolé, le nombre d'automobilistes qui viennent faire le plein d'essence est représenté par une variable aléatoire de distribution :
IM(X) : xi 0 1 2 3 4 5
P(X=xi) 0,02 0,14 0,26 0,42 0,14 0,02
1/ Quelle est le nombre moyen de pleins journaliers ? 2/ Quelle est la variance ? En déduire l’écart-type.
3/ Lors d'une journée où l'équivalent de 3 pleins est disponible à la pompe, quelle est la probabilité pour qu’il reste de l'essence à la fermeture, en fin de journée ?
4/ De quelle quantité d'essence (en nombre de pleins) doit disposer cette station-service chaque jour afin que la demande soit satisfaite avec une probabilité supérieure ou égale à 70%?
Dury Marie-Eliette – L2EG-S3 2/4
> Exercice 3 – TD-CH3
En plus du nombre de pleins d'essence journaliers de l'exercice précédent, on évalue à 70% la probabilité qu’un client ayant réalisé un plein d'essence achète aussi, le même jour, au moins un article dans la boutique de la station-service.
On appelle Y la variable aléatoire modélisant, pour un jour ouvrable donné, dans cette boutique, le nombre de clients qui achètent au moins un article, suite à l'achat d'un plein d'essence.
On suppose évidemment qu’il y a indépendance du comportement des consommateurs.
On constate que 2 automobilistes ont fait le plein d'essence dans la journée : 1/ Quelle est la loi conditionnelle suivie par le nombre de ventes d'articles ? Construire le tableau de distribution de cette variable .
indication : Y(X=2) est Y (nombre de ventes d'accessoires) sachant {X=2} (pour 2 pleins d’essence).
2/ Déterminer, pour cette loi conditionnelle, l’espérance mathématique . 3/ En déduire la variance puis l'écart-type de .
> Exercice 4 – TD-CH3
On constate maintenant que 3 pleins d'essence ont été réalisés dans la journée : 1/ Quelle est la loi conditionnelle suivie par le nombre de ventes d'articles ? Construire le tableau de distribution de cette variable .
indication : Y(X=3) est Y (nombre de ventes d'accessoires) sachant {X=3} (pour 3 pleins d’essence).
2/ Déterminer, pour cette loi conditionnelle, l’espérance mathématique . 3/ En déduire la variance puis l'écart-type de .
> Exercice 5 – TD-CH3
A la sortie du stade Marcel Michelin, on interroge 1000 supporters de rugby répartis en 3 catégories de place : A (debout au bord du terrain), B (place assise en tribune) et C (en loge ou salon).
On leur demande s'ils reviendront au prochain match. Les 3 réponses possibles sont : « oui » « non » et
« je ne sais pas ».
Les résultats sont donnés dans le tableau suivant :
Réponse oui Réponse non Indifférent Nb de personnes par catégorie (X)
A 190 personnes 150 50 390
B 350 200 20 570
C 25 10 5 40
Nb de personnes par type de réponse
donnée (R)
565 360 75 1000
On appelle : R la variable représentant la réponse donnée / X la variable qui désigne la catégorie 1/ Pourquoi R et X sont-elles des variables discrètes.
2/ Construire le tableau de distribution de R.
3/ Construire le tableau de distribution de X.
4/ Calculer le nombre moyen de réponses données si on affecte à la réponse « oui » la valeur 1, à la réponse « non » la valeur (-1) et à la réponse « je ne sais pas » la valeur 0.
Dury Marie-Eliette – L2EG-S3 3/4
> Exercice 6 – TD-CH3
et exercice permet de retravailler sur les notions d'événements C
(réunion/intersection/conditionnement...) vues précédemment et fait aussi le lien avec le Chapitre 4 On regarde maintenant au hasard la réponse d’une personne parmi les 1000.
Exprimer et calculer les probabilités des événements :
1/ cette personne appartient à la catégorie A et elle ne répond pas « non ».
2/ cette personne n’appartient pas à la catégorie B ou elle est indifférente.
3/ cette personne n’appartient pas à la catégorie C sachant qu’elle répond « oui ».
4/ cette personne répond « oui » sachant qu’elle ne répond pas « non » et qu’elle n’appartient pas à la catégorie B.
EXERCICES DE SYNTHESE DU CHAPITRE 3
> Exercice 7 – TD-CH3
CET EXERCICE PERMET DE TRAVAILLER SUR LA FONCTION DE REPARTITION QUE L'ON UTILISERA AU DEUXIEME SEMESTRE ET SUR LES PROPRIETES DE L'ESPERANCE ET DE LA VARIANCE.
Le nombre d'avions annulés chaque jour par une compagnie aérienne est une variable aléatoire X dont la distribution de probabilité est :
xi 0 1 2 3 4 5 6
P(x=xi) 0,2 0,3 0,25 0,12 0,08 0,03 0,02
1/ 1.a/ Vérifier que l'on a bien une distribution de probabilité.
1.b/ Quelle est la fonction de répartition de X ? Donnez-en une représentation graphique.
1.c/ Quelle est la probabilité que plus de trois avions soient annulés le même jour ? 2/ Calculer :
2.a/ l'espérance de X 2.b/ la variance de X
2.c/ l'écart-type de X.
3/ Sachant que l'annulation d'un vol coûte 10 000 € à la compagnie aérienne, calculer : 3.a/ le coût moyen journalier engendré par ces annulations.
3.b/ Vous calculerez également sa variance et son écart-type.
Dury Marie-Eliette – L2EG-S3 4/4
> Exercice 8 – TD-CH3
Un grand magasin est doté d'un système d’alarme qui se déclenche en principe lorsqu'un incendie se déclare sur un des étages. Il peut arriver toutefois que le système soit mis en défaut. La compagnie d’assurance estime que la probabilité qu’un incendie se produise est de 0,05.
Le cahier des charges de l’installateur assure qu’en cas d'incendie, l’alerte est donnée avec une probabilité de 0,98.
Cependant, il déclare aussi que, lorsqu’il n’y a pourtant pas de d'incendie, l’alarme peut se déclencher sans raison avec une probabilité de 0,04.
On notera I l'événement « un incident se produit » et A l'événement « l’alarme se déclenche » On arrondira les résultats à 10-4 près.
1/ Traduire les probabilités de l'énoncé.
2/ Quelle est la probabilité que l'alarme se déclenche ?
3/ Si l'alarme se déclenche, quelle est la probabilité pour qu’il n’y ait en fait pas d’incident ?
4/ La compagnie d'assurance estime qu'en moyenne, pour le magasin, le coût des anomalies est le suivant :
• 1 500 € s'il y a eu un incident et que l'alarme a fonctionné ;
• 10 000 € s'il y a eu un incident et que l'alarme n'a pas fonctionné ;
• 1 000 € si l’alarme se déclenche par erreur.
On considère qu'il se produit au plus une anomalie par jour.
Soit X la variable aléatoire représentant le coût journalier des anomalies pour le magasin 4.a/ Construire le tableau de distribution de X.
4.b/ Quel est le coût journalier moyen des anomalies ?
