Cours 3

(1)

1

Cours 3

Chapitre 2 : Calcul des probabilités (suite)

6-3-Définition d’un système complet d’évènements :

Soit  une tribu de parties de Ω. On appelle système complet d’évènements de Ω toute famille de n évènements ( )A_{i i}_₁ telle que :

1) Pour tout (i,j), tel que i≠ j, (AiAj )= ∅ 2) Pour tout i  1, Ai ,

1 i

i A

 ∈ Ω

Conséquence :

( )A_{i i}_1 une famille de n évènements :

Si ^{( )}^A^{i i}^¹ forment un système complet d’évènements, alors

i 1

(A ) 1

n i

P







Remarque :

Quand le système complet est formé de deux évènements ce n’est autre que l’évènement et son contraire.

Si A ∈ , alors {A ,^A} est un système complet d’événements Exemple 1:

Soit 3 urnes U1, U2, U3, chacune contenant des boules. On tire au hasard une boule de l’une des trois urnes (sachant que chacune des urnes a la même chance d’être choisie).

Ecole supérieure de Gestion et d’Economie Numérique -ESGEN-

Probabilités 1^ère Année 2019 /2020

Enseignant : Mme L. SAMI

(2)

2

Ai l'événement " la boule est tirée de l'urne Ui".

{A1,A2,A3} forme un système complet d'événements, et les urnes ont la même chance d’être choisies donc on aura P(A1)= P(A2)= P(A 3)= ¹

3 On a :

3 i 1

1 1 1

(A ) 1

3 3 3

i

P



   



Exemple 2 :

Soit une urne contenant 3 boules blanches et 5 boules noires. On tire au hasard une boule de l’urne.

Soit l’événement A : « la boule tirée est blanche »

A : « la boule tirée n’est pas blanche » équivalent à « la boule tirée est noire » L’événement A et son contraire ^A forment un système complet.

P(A) = ³

8 et P( ^A)= ⁵ 8 P(A)+ P(^A)= ³ ⁵ 1

8 8 

2

i 1 2

1

(A ) (A ) (A ) (A) (A)

i

P P P P P



   



7-Probabilité conditionnelle et indépendance : 7-1-Définition de la probabilité conditionnelle :

Soient A et B deux évènements. On appelle probabilité conditionnelle, la probabilité que A se réalise sachant que B s’est réalisé (B un évènement non impossible donc P(B) ≠0). Elle, notée P(A/B) et définie par :

P(A/B)= ⁽ ⁾ ( ) P A B

P B

 , P(B) ≠0

On peut noter aussi P(A/B)=PB(A)

(3)

3

Propriétés :

Si A et B sont indépendants alors : -^A et B sont indépendants

- A et B sont indépendants - ^A et ^B sont indépendants Exemple :

On jette un dé à six faces non truqué, Ω ={1 , 2 ,3 ,4,5,6}

Soit A : « obtenir 2 » = {2 }, B : « obtenir un nombre pair » = ={2 ,4,6} et donc AB = {2 }

On a P(A)= ¹

6 , P(B)= ³

6 , P(AB)= ¹ 6

1) Quelle est la probabilité que « 2 » sorte sachant qu’il s’agit « d’un nombre pair» ?

2) Quelle est la probabilité qu’un « nombre pair» sorte sachant qu’il s’agit du « 2 » ? 1) La probabilité que “2” sorte sachant qu’il s’agit « d’un nombre pair» est :

P(A/B)= ⁽ ⁾ ( ) P A B

P B

 = 1 6 1 3 3 6



2) La probabilité qu’un « nombre pair» sorte sachant qu’il s’agit de “2” est :

P(B/A)= ⁽ ⁾ ( ) P B A

P A

 = 1 6 11 6



7-2-Indépendance des évènements :

Soit (Ω ,,P), un espace probabilisé. Deux évènements A et B sont dits indépendants si la réalisation de l’un n’influe pas sur la probabilité de réalisation de l’autre.

Deux évènements A et B sont dits indépendants si et seulement si

P(AB)=P(A).P(B)

(ie : la probabilité de l’intersection égale au produit des probabilités)

(4)

4

*Indépendance mutuelle (multiple):

On dit que A1 A2, ….,An sont mutuellement indépendants si, pour toute collection de famille finie J de {1,…,m} (2 m n), on a : _j _j

j=1 1

( A )^m ^m P(A )

j

P







Par exemple si l’en prend le cas de trois évènements :

Les évènements A1 A2 et A3 sont dits mutuellement indépendants si : P(A1∩A2) = P(A1).P(A2) P(A1∩A3) = P(A1).P(A3)

P(A2∩A3)= P(A2).P(A3 ) P(A1∩ A2∩A3) = P(A1).P(A2).P(A3 )

Remarques :

1) Il ne faut pas confondre événements indépendants et incompatibles (A et B sont incompatibles si P(AB)= 0)

2) Pour tout évènement A, A et Ω sont indépendants P(AΩ) = P(A). P(Ω)

3) Soient A et B deux événements non impossibles. Si A et B sont incompatibles (disjoints), alors A et B ne sont pas indépendants. Car on a :

P(AB) = 0 donc P(AB) ≠ P(A).P(B) car A et B ne sont pas impossibles.

4) Si A et B sont indépendants alors : P(A/B)= P(A) et P(B/A)=P(B) Exemple :

Soit une famille de deux enfants. Soit les évènements A et B :

A="la famille a des enfants des deux sexes", B="la famille a, au plus, un garçon".

Les évènements A et B sont-ils indépendants?

On a : Ω = { (F,F); (F,G); (G,F);(G,G) } A = { (F,G); (G,F) } donc P(A) = ² ¹

4 2 B = { (F,G); (G,F); (F,F) } donc P(B) = ³

4 AB = { (F,G); (G,F) } donc P(AB)= ² ¹

4 2 On a : P(AB)= ¹

2 et P(A).P(B) = ¹ 2 ^

3 4=³

8

Donc P(AB) ≠ P(A).P(B) alors A et B ne sont pas indépendants

(5)

5 Bibliographie :

Ouvrages :

 Degrave.C, Degrave. D, « Précis de mathématiques Probabilités-Statistiques 1re et 2eme années », Edition BREAL, 2004.

 Khaldi. Khaled, « Méthodes statistiques et probabilités », Editions casbah,1999.

 Lebreton. Claude et Testud. Philippe, « Probabilités 129 exercices corrigés prépas économiques et commerciales BPCST » édition Vuibert Supérieur, 1998.

 Martian. Jean-jaques, « maths prépas commerciales », edition studyrama , 2006.

 Rebbouh.Amar, « Statistique descriptive calcul de probabilités Et variables aléatoires avec rappels de cours et problèmes corrigés », Editions houma, 2 ème édition, 2009.

 Verlant Bernard et Saint–Pièrre Geneviève, « Statistiques et Probabilités, manuel de cours ((Exercices corrigés-sujets d’examens), BERTI Edition, Edition 2008.

 William Feller , « An Introduction to Probability Theory and Its Applications », Vol. 1, 3rd Edition, john Wiley & sons,1968.

Cours en ligne :

 Breton Jean-Christophe, “Probabilités variables aléatoires discrètes et à densité”, Licence de Mathématiques 2ème année,Université de La Rochelle, Janvier–Mai 2010.

 EMILY Mathieu, “Notes de cours de Probabilités “, Novembre 2005.

 Fiszka Christophe, Le Goﬀ Claire “ Exercices de Probabilités”, avril - mai 2013.