Cours 2

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Cours 2

Chapitre 2 : Calcul des probabilités (suite)

5- La tribu ou -algèbre :

Soit Ω une ensemble, on appelle Tribu ou -algèbre sur toute partie non vide  de

(Ω) vérifiant les propriétés suivantes :

1.

2.

3.

n i 1U Ai

 est encore un élément de  (stabilité par union dénombrable).

Propriétés : 1) ∅∈

2) Pour toute famille (A )_{i i1} d’éléments de ,

n i 1 i

A



 est encore un élément de  3) Pour tout élément A, B∈ , A B\ ∈ et A B ∈

Exemple :

1) ={ Ω, } est une tribu

2) L’ensemble P(Ω) de toutes les parties de Ω est une tribu.

= P(Ω) Si Ω = {a , b}

Ecole supérieure de Gestion et d’Economie Numérique -ESGEN-

Probabilités 1^ère Année 2019 /2020

Enseignant : Mme L. SAMI

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= P(Ω)= {, {a}, {b}, Ω}

 est une tribu

2) On jette un dé et on s’intéresse à sa face supérieure donc l’ensemble fondamental associé à cette expérience est Ω ={1, 2 , 3, 4, 5, 6}. Soit l’événement A : le résultat apparu est un nombre multiple de 3.

={, {3, 6}, {1, 2, 4, 5}, {1, 2, 3, 4, 5, 6}}={, A,A, Ω }

 est une tribu. C’est la plus petite tribu contenant A.

6- Espace probabilisable –espace probabilisé:

Soit  une expérience aléatoire et Ω l‘ensemble fondamental qui lui est associé.

Le couple (Ω ,) est appelé espace probabilisable et les éléments de  sont appelés les ensembles probabilisables.

6-1-Loi de probabilité :

Soit (Ω ,) un espace probabilisable On appelle probabilité sur l’espace probabilisable (Ω ,), toute application notée P de (Ω ,) dans [0,1] et qui vérifie les conditions suivantes :

1) P(Ω)= 1 et P()= 0

2) A_ii=1,…,n des événements incompatibles deux à deux.

On a :

n

i i

i=1 1

(U A ) (A )

n

i

P P







ie :Si A,B   et AB= alors : P(A B)=P(A)+P(B)

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Propriétés : - P( )= 0 - 0P(A) 1

- ∀A ∈ , P(^A) = 1- P(A)

- ∀A, B ∈ , AB,P(B-A)=P(B)-P(A) et P(A)  P(B) - ∀A, B ∈ ,P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)

- ∀A, B ∈ , P(A\B)=P(A)-P(AB)

-Si (A )_{i i1} est une suite d’évènements dans  alors :

n

i i

i=1 1

(U A ) (A )

n

i

P P









Le triplet (Ω ,,P)

6-2- L’équiprobabilité:

La probabilité P est définie sur (Ω ,) où Ω ={1 2 3, …., k} est un ensemble fini, est dite uniforme si les probabilités P({_i}), i=1,2,…,k, sont égales. Cette probabilité, pour un évènement A, vaut :

P(A) = ^cardA

cardΩoù card(A) de A est le cardinal de A et card (Ω) est le cardinal de l’ensemble fondamental. On a aussi P(A)= Nombre de cas favorables

Nombre de cas possibles

Si les n évènements élémentaires sont équiprobables, chacun a la probabilité 1/n . Donc si on suppose que n événements élémentaires ont la même chance de se réaliser, on fait alors l’hypothèse d’équiprobabilité de réalisation des n événements.

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Exemple :

Dans l’exemple du jet d’un dé bien équilibré, toutes les issues sont équiprobables avec une probabilité de 1/6 chacune.

Exemple d’équiprobabilité

issues 1 2 3 4 5 6

probabilité 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

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Bibliographie : Ouvrages :

 Degrave.C, Degrave. D, « Précis de mathématiques Probabilités-Statistiques 1^re et 2eme années », Edition BREAL, 2004.

 Khaldi. Khaled, « Méthodes statistiques et probabilités », Editions casbah,1999.

 Lebreton. Claude et Testud. Philippe, « Probabilités 129 exercices corrigés prépas économiques et commerciales BPCST » édition Vuibert Supérieur, 1998.

 Martian. Jean-jaques, « maths prépas commerciales », edition studyrama , 2006.

 Rebbouh.Amar, « Statistique descriptive calcul de probabilités Et variables aléatoires avec rappels de cours et problèmes corrigés », Editions houma, 2 ème édition, 2009.

 Verlant Bernard et Saint–Pièrre Geneviève, « Statistiques et Probabilités, manuel de cours ((Exercices corrigés-sujets d’examens), BERTI Edition, Edition 2008.

 William Feller , « An Introduction to Probability Theory and Its Applications », Vol. 1, 3rd Edition, john Wiley & sons,1968.

Cours en ligne :

 Breton Jean-Christophe, “Probabilités variables aléatoires discrètes et à densité”, Licence de Mathématiques 2ème année,Université de La Rochelle, Janvier–Mai 2010.

 EMILY Mathieu, “Notes de cours de Probabilités “, Novembre 2005.

 Fiszka Christophe, Le Goff Claire “ Exercices de Probabilités”, avril - mai 2013.