Cours 5

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Cours 5

Chapitre 2 : Calcul des probabilités (suite)

7-5-Formule de bayes :

Soit (A n) un système complet d'événements, tous de probabilité non nulle. Pour tout évènement B de probabilité non nulle (P(B) >0), on a pour tout entier j l'égalité suivante :

j j

j n

i i

i=1

P(A )P(B A ) P(A B)=

P(A )P(B /

) / A /



Remarque :

Comme pour la formule des probabilités totales lorsque le système complet est constitué d’un événement et son contraire A et A, la formule de bayes se simplifie en :

P(A) P(B A) P(A )

P(A) P(B A) P(A) P(B A) / /

/ /

B 



P(A) P(B A) P(A )

P(A) P(B A) P(A) P(B A) / /

/ /

B 



Ecole supérieure de Gestion et d’Economie Numérique -ESGEN-

Probabilités 1^ère Année 2019 /2020

Enseignant : Mme L. SAMI

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Exemple 1: (nous reprenons l’exemple que nous avons vu avec la formule des probabilité totales)

Soit 3 urnes U₁, U₂, U₃, chacune contenant 10 boules. Sachant que : U₁ contient 1 blanche, U2 contient 2 blanches, et U3 contient 6 blanches. On tire au hasard une boule de l’une des trois urnes, elle est blanche. Quelle est la probabilité que la boule blanche provienne de l’urne U1? (sachant que chacune des urnes a la même chance d’être choisie).

On note B l'événement "la boule tirée est blanche" et A_i l'événement " la boule est tirée dans l'urne Ui".

On cherche la probabilité que la boule blanche provienne de l’urne U1 donc P(A /B) (on sait que la boule est blanche donc c’est sachant qu’elle est blanche quelle est la probabilité qu’elle provienne de l’urne U1)

(le système complet est formé des trois événements A₁, A₂, A₃ tel que P(A1)+P(A2)+ P(A3) = + + = 1)

P(A /B) = P(A )P(B/A )

P(A )P(B/A ) + P(A )P(B/A ) + P(A )P(B/A )

P(A /B) = ×

× + × + ×

P(A /B) =

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Exemple 2 :

Un labo commercialise un test médical.

- Le test est positif chez 95% des personnes atteintes (c’est-à-dire que nous avons 5% de "faux négatifs").

- Le test est négatif chez 99% des personnes saines (c’est-à-dire que nous avons 1% de "faux positifs").

La maladie touche 0,5% de la population. Une personne passe le test et le résultat est positif. Quel est la probabilité qu’elle soit atteinte?

Soit les événements A et B : A= « la personne est atteinte » B=« le test est positif »

On a P(A) = 0, 005 (car la maladie touche 0,5% de la population donc 0,5%

personnes sont atteintes).

La probabilité recherchée est P (A/B)

(le système complet est formé des événements A et A tel que P(A)+P(A) = 0,005+0,995=1)

P(B /A) = 0,95 ( car le test est positif chez 95% des personnes atteintes) P(B /A) = 0,01 (car le test est négatif chez 99% des personnes saines (non

atteintes))

P(A) P(B A) P(A )

P(A) P(B A) P(A) P(B A) / /

/ /

B 



( / ) = 0,005 × 0,95

0,005 × 0,95 + 0,995 × 0,01 ( / ) = 0,32

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Exemple 3 :

Dans un pays donné, il y a deux régions : 40% de la population habitent dans la région du Nord et le reste de la population habite la région du Sud. En été, 30%

des habitants du Nord partent en vacances à l'étranger mais seulement 15% des habitants du Sud partent en vacances en été à l'étranger.

Si vous rencontrez en été à l'étranger un habitant de ce pays, quelle est la probabilité qu'il vienne du Sud ?

On pose:

N: « l’habitant est de la région du Nord » donc P(N)=0,6 S: « l’habitant est de la région du Sud » donc P(S)=0,4 E : « l’habitant part en vacances en été à l’étranger »

((le système complet est formé des événements N et S tel que P(N)+P(S)=0,6+0,4=1)

On a : P(E/S) = 0,15 P(E/N) =0,3

La probabilité recherchée est P(S/E) On a d’après la formule de bayes :

P(S/E) =

^{( ) ( / )}

( ) ( / ) ( ) ( / ) Donc :

P(S/E)=

(0, 6 0,15) (0, 4 0, 3) (0, 6 0,15)



  

=

^0,09

0, 21

=0,4285

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Bibliographie : Ouvrages :

 Degrave.C, Degrave. D, « Précis de mathématiques Probabilités-Statistiques 1^re et 2eme années », Edition BREAL, 2004.

 Khaldi. Khaled, « Méthodes statistiques et probabilités », Editions casbah,1999.

 Lebreton. Claude et Testud. Philippe, « Probabilités 129 exercices corrigés prépas économiques et commerciales BPCST » édition Vuibert Supérieur, 1998.

 Martian. Jean-jaques, « maths prépas commerciales », edition studyrama , 2006.

 Rebbouh.Amar, « Statistique descriptive calcul de probabilités Et variables aléatoires avec rappels de cours et problèmes corrigés », Editions houma, 2 ème édition, 2009.

 Verlant Bernard et Saint–Pièrre Geneviève, « Statistiques et Probabilités, manuel de cours ((Exercices corrigés-sujets d’examens), BERTI Edition, Edition 2008.

 William Feller , « An Introduction to Probability Theory and Its Applications », Vol. 1, 3rd Edition, john Wiley & sons,1968.

Cours en ligne :

 Bourles, Renaud cours en ligne, “Chapitre 3 : « Evénements indépendants et probabilités conditionnelles » “, Ecole Centrale Marseille, Mathématiques pour Finance.

 Breton Jean-Christophe, “Probabilités variables aléatoires discrètes et à densité”, Licence de Mathématiques 2ème année,Université de La Rochelle, Janvier–Mai 2010.

 EMILY Mathieu, “Notes de cours de Probabilités “, Novembre 2005.

 Fiszka Christophe, Le Go Claire “ Exercices de Probabilités”, avril - mai 2013.