Calcul des probabilités et variables aléatoires Licence d’Excellence en Génomique

Calcul des probabilités et variables aléatoires Licence d’Excellence en Génomique

Pr. Zouhair El Hadri

Faculté des sciences, Université Mohamed V, Rabat

2019-2020

Calcul des probabilités

Expérience aléatoire et ensemble fondamental

On lance une pièce de monnaie non truquée autant de fois jusqu’à obtenirFace pour la première fois. On note F pour face etP pour pile. L’ensemble fondamental est Ω ={F,PF,PPF,PPPF, ...}.

Cet ensemble est infini dénombrable (N). Cela veut dire d’on dispose d’uneinfinité de choix possibles.

Il existe des expériences dont l’ensemble fondamental est :

I fini.Exemple. Choisir 3 étudiants parmi 10. On a exactement C₁₀³ = (10)!

3!×(10−3)! = (10)!

3!×7! = 10×9×7

3×2×1 = 5×3×7 = 105 choix possibles.

I infini non dénombrable.Exemple.Temps d’attente d’un Bus.

On peut l’attendre une durée comprise entre 0min et 30min par exemple. Ω = [0,30] est un intervalle.

Probabilité

Une probabilitéPest une application deP(Ω) vers [0,1] telle que (P(Ω) dénote l’ensemble des parties de Ω) :

I P(Ω) = 1,

I P(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B),∀A,B ∈ P(Ω), I P(¯A) = 1−P(A) où ¯Aest le complémentaire de A.

Exercice. Déterminer une probabilitéPsur Ω ={a,b,c}telle que P({a,b}) = 1

3 etP({b,c}) = 4 5.

Correction. On noteP({a}) =x,P({b}) =y et P({c}) =z. Alors,







x+y = ¹₃ y+z = ⁴₅ x+y+z = 1

ce qui donne







x = ₁₅³ y = ₁₅² z = ¹⁰₁₅

Probabilité conditionnelle

On dispose de 100 voitures réparties selon le confort et la vitesse comme suit :

Rapide Non rapide

Confortable 40 10

Non confortable 20 30

On choisit une voiture et on suppose que chacune a la même probabilité d’être choisie. On se propose de calculer les probabilités des événements suivants :

I A="Choisir une voiture rapide".

I B ="Choisir une voiture confortable".

I C ="Choisir une voiture confortable sachant qu’elle est rapide".

Probabilité conditionnelle

I On a P(A) = Card(A) Card(Ω) = 60

100 = 0,6, I P(B) = Card(B)

Card(Ω) = 50

100 = 0,5, I et P(C) =P(B/A) = P(B∩A)

P(A) = Card(B∩A) Card(Ω)

1 P(A) = 40

100×100

60 = 0,67.

Exercice.

Un couple a décidé d’avoir des enfants jusqu’à avoir une fille et que le nombre total ne dépasse pas 4 enfants. Sachant que le 1^er né est un garçon, qu’elle est la probabilité que ce couple ait 4 enfants ?

Probabilité conditionnelle

Corrigé.

I L’espace fondamental est Ω ={F,GF,GGF,GGGF,GGGG}.

I Les probabilitésélémentaires sont P(F) = ¹₂, P(GF) = ¹₂ ×¹₂ = ¹₄,P(GGF) = ¹₂ ×¹₂ ×¹₂ = ¹₈ et P(GGGF) =P(GGGG) = ¹₂ ×¹₂ ×¹₂ ×¹₂ = ₁₆¹. I On noteA="Le 1^er né est un garçon", donc

P(A) =P(G) = ¹₂.

I On note aussi B="Le couple a 4 enfants", donc P(B) =P(GGGF,GGGG) = ₁₆¹ +₁₆¹ = ¹₈. I On chercheP(B/A). On a

P(B/A) = ^P(B∩A)_P(A) = P(GGGF,GGGG)

P(G) = ^1/16+1/16_1/2 = ^1/8_1/2 = ¹₄.

Indépendance I

Deux événementsA etB sont indépendants si : P(A/B) =P(A) ou P(B/A) =P(B).

Remarque.

Aet B sont indépendants siP(A∩B) =P(A)P(B).

Exemple.

Dans l’exercice précédent, on a P(B/A) = 1

4 etP(B) = 1

8, donc P(B/A)6=P(B).

Par conséquent,Aet B ne sont pas indépendants.

Indépendance I

Exercice.

On lance un dé équilibré et on considère les deux événements A="Obtenir un nombre strictement inférieur à 5" etB="Obtenir un nombre pair".

Aet B sont ils indépendants ? Corrigé.

On a Ω ={1; 2; 3; 4; 5; 6},A={1; 2; 3; 4},B={2; 4; 6}et A∩B={2; 4}.

DoncP(A) = 4

6,P(B) = 3

6 etP(A∩B) = 2 6 On a alorsP(A)P(B) = 4

6 ×3 6 = 2

6 =P(A∩B).

DoncAet B sont indépendants.

Variables aléatoires discrètes

Exemple et définition

On jette 3 fois une pièce de monnaie. L’espace fondamental est Ω ={PPP,PPF,PFP,FPP,PFF,FPF,FFP,FFF}.

On définit les variables aléatoires (VA)X,Y et Z suivantes : I X ="le nombre de piles obtenus."

I Y ="le nombre de piles obtenus lors des 2 premiers jets."

I Z ="le nombre de piles obtenus lors des 2 derniers jets."

Alors,

I X(Ω) ={0; 1; 2; 3}, et I Y(Ω) =Z(Ω) ={0; 1; 2}.

Les VAX,Y et Z prennent leurs valeurs dans l’ensemble des entiers naturelsN. Elles s’appellent des VAdiscrètes(VAD).

Loi de Probabilité d’une VAD

Laloi de probabilitéd’une VAD X est la donnée de (x,P(x)) pour toutes les valeurs possibles deX(Ω) oùP(x) =P(X ={x}).

On reprend les VAX,Y et Z précédentes, on a alors :

Déterminons la loi de la VAX. Pour cela on doit calculerP(x) pourx = 0; 1; 2 et 3.

P(0) =P({X = 0}) = 1

8,P(1) =P({X = 1}) = 3 8, P(2) =P({X = 2}) = 3

8 et P(3) =P({X = 3}) = 1 8,

Fonction de répartition d’une VAD

Lafonction de répartitiond’une VADX est la fonctionF_X définie deR surR par (F_X(x) =P({X ≤x})).

On reprend la VAX précédente, on a alors :

F_X(x) =















0 si x <0 0 +¹₈ si 0≤x <1 0 +¹₈ +³₈ si 1≤x <2 0 +¹₈ +³₈ +³₈ si 2≤x <3 0 +¹₈ +³₈ +³₈ +¹₈ si x ≥3 C’est à dire

F_X(x) =















0 si x ∈]− ∞,0]

1

8 si x ∈[0,1[

4

8 si x ∈[1,2[

7

8 si x ∈[2,3[

1 si x ∈[3,+∞[

Fonction de répartition d’une VAD

On peut représenter la fonction de répartitionF_X. C’est la courbe en escaliers suivante :

Fonction de répartition d’une VAD

Propriétés

I F_X est croissante, I F_X(x)∈[0; 1],∀x∈R, I lim

x→−∞F_X(x) = 0, I lim

x→+∞FX(x) = 1.

Indépendance II

Deux VADX et Y sont dites indépendantessi

P[(X ={x})∩(Y ={y})] =P(X ={x})×P(Y ={y}),

∀x∈X(Ω),y∈Y(Ω)

Reprenons l’exemple précédent et considérons les deux VAY et Z. On aP[(Y ={2})∩(Z ={0})] = 0 car aucune possibilité ne réalise les événementsY ={2} etZ ={0} simultanément.

Et on aP(Y ={2})×P(Z ={0}) = 2 8×2

8 = 1

DoncP[(Y ={2})∩(Z ={0})]6=P(Y ={2})16×P(Z ={0}), On conclut donc que les deux VAY et Z ne sont pas

indépendantes.

Espérance d’une VAD

Considérons la VAX et de l’exemple précédent. Faisons le calcul suivant :

E(X) = 0×P(X ={0}) + 1×P(X ={1}) + 2×P(X ={2}) + 3×P(X ={3})

= 0×1

8 + 1×3

8 + 2×3

8 + 3×1 8

= 3 2

La grandeurE(X) s’appelle l’espérancede la VAX.

Dans le cas général d’une VAD, l’espérance d’une VAX est définie par :

E(X) =^P_x∈X(Ω)xP(X ={x}).

Espérance d’une VAD

Calculons l’espérance de la VAY de l’exemple précédent : E(Y) = ^X

y∈Y(Ω)

yP(Y ={y})

= 0×P(Y ={0}) + 1×P(Y ={1}) + 2×P(Y ={2})

= 0×1

4+ 1×2

4+ 2× 1 4

= 1 Propriétés :

I L’espérance est linéaire : E(aX+bY) =aE(X) +bE(Y), I Si X et Y sont indépendantes alorsE(XY) =E(X)E(Y), I Attention : La réciproque est fausse : On peut avoir

E(XY) =E(X)E(Y) sans queX etY soient indépendantes.

Variance et Écart-type d’une VAD

Considérons encore la VAX et de l’exemple précédent. Faisons aussi le calcul suivant :

V(X) = (0−3

2)²P(0) + (1−3

2)²P(1) + (2−3

2)²P(2) + (3−3 2)²P(3)

= 9 4 ×1

4 +1 8× 1

4+1 8 ×9

4 +1 8× 1

8

= 9 32 + 3

32 + 3 32 + 9

32

= 3 4

La grandeurV(X) s’appelle la variancede la VAX.

Dans le cas général d’une VAD, l’espérance d’une VAX est définie par :

V(X) =^P_x∈X(Ω)(x−E(X))²P(X ={x}).

Variance et Écart-type d’une VAD

Propriétés :

I V(X) =E(X²)−(E(X))², I V(aX +b) =a²V(X),

I Si X et Y sont indépendantes alors V(X +Y) =V(X) +V(Y),

I Attention : La réciproque est fausse : On peut avoir V(X +Y) =V(X) +V(Y) sans queX etY soient indépendantes.

L’écart-type d’une VAD discrète X est définie par :

σ(X) =^pV(S) Dans l’exemple précédent l’écart-type deX est σ(X) =^pV(S) =

r3 4 =

√3 2 .

Couple de VAD

On considère deux tests psychotechniques pour lesquels un sujet (enfant) reçoit une noteX parmi {0; 1; 2; 3}pour le premier test et une noteY parmi{0; 1; 2}pour le second. Les probabilités

associées sont données comme dans le tableau suivant appeléloi conjointedeX etY :

YX 0 1 2 3

0 0,07 0,15 0,25 0,08 1 0,05 0,10 0,13 0,04 2 0,04 0,05 0,03 0,01 On calcule :

I P(X = 0) = 0,07 + 0,05 + 0,04 = 0,16,

I de mêmeP(X = 1) = 0,30,P(X = 2) = 0,41 et P(X = 3) = 0,13,

I P(Y = 0) = 0,07 + 0,15 + 0,25 + 0,08 = 0,55, I de mêmeP(Y = 1) = 0,32 etP(Y = 2) = 0,13.

Lois marginales

On obtient alors les deux tableaux suivants appeléslois marginales deX et Y.

X 0 1 2 3

P(X) 0,16 0,30 0,41 0,13

Y 0 1 2

P(Y) 0,55 0,32 0,13 On calcule ensuite l’espérance deX, deY et de XY :

I E(X) = 0×0,16 + 1×0,30 + 2×0,41 + 3×0,13 = 0,51, I E(Y) = 0×0,55 + 1×0,32 + 2×0,13 = 1,58,

I E(XY) = 0×0×0,07 + 1×0×0,15 + 2×0×0,25 + 3×0× 0,08 + 0×1×0,05 + 1×1×0,10 + 2×1×0,13 + 3×1×0,04 + 0×2×0,04 + 1×2×0,05 + 2×2×0,03 + 3×2×0,01 = 0,76.

Covariance

La covariance entre deux variablesX et Y est définie par : Cov(X,Y) =E[(X −E(X))(Y −E(Y))].

ou d’une manière équivalente par :

Cov(X,Y) =E(XY)−E(X)E(Y).

Si on considère l’exemple précédent, on a

Cov(X,Y) =E(XY)−E(X)E(Y) = 0,76−1,51×0,58 =

−0,1158.

Propriétés :

I La covariance est bilinéaire :

Cov(aX₁+bX₂,Y) =aCov(X₁,Y) +bCov(X₂,Y) et Cov(X,cY1+dY2) =cCov(X,Y1) +dCov(X,Y2), I Si X et Y sont indépendantes alorsCov(X,Y) = 0, I Attention : La réciproque est fausse : On peut avoir

Cov(X,Y) = 0 sans que X et Y soient indépendantes.

Corrélation

Le coefficient de corrélation entre deux VADX et Y est définie par :

ρ(X,Y) =Cor(X,Y) = Cov(X,Y) σ(X)σ(Y). Propriétés :

I On a toujours−1≤ρ(X,Y)≤+1,

I Si ρ(X,Y)≈+1, on dit queX et Y sont positivement corrélées,

I Si ρ(X,Y)≈ −1, on dit que X et Y sont négativement corrélées,

I Si ρ(X,Y)≈0, on dit queX et Y ne sont pas corrélées,

Corrélation

Dans l’exemple précédent, on aCov(X,Y) =−0,1158. Calculons σ(X) etσ(Y).

V(X) = (0−0,51)²P(0) + (1−0,51)²P(1) + (2−0,51)²P + (3−0,51)²P(3)

= 0,2601×0,16 + 0,2401×0,30 + 2,2201×0,41 + 6,2001×0,13

= 1,8298,

V(Y) = (0−1,58)²P(0) + (1−1,58)²P(1) + (2−1,58)²P(2)

= 2,4964×0,55 + 0,3364×0,32 + 0,1764×0,13

= 1,5035 Doncσ(X) =√

1,8298 = 1,3527, σ(Y) =√

1,5035 = 1,2261 Par conséquent,ρ(X,Y) = −0,1158

1,3527×1,2261 =−0,0698.

lois discrètes usuelles

Loi de Bernoulli

C’est la VAD qui prend exactement deux valeurs 1 avec une probabilitép =P(1) etq = 1−p =P(0) oùp ∈[0; 1].p est appelé la paramètre de la loi, c’est la probabilité de succès. SiX est une VA qui suit la loi de Bernoulli de paramètrep. On écrit X ∼Ber(p).

Propriété :

SiX ∼Ber(p) alors,

I L’espérance deX est E(X) =p,

I La variance deX est V(X) =pq=p(1−p).

Loi de Bernoulli

exemple :

On choisit un enfant parmi 6 garçons et 4 filles. SoitX la VA définie comme suit :

I X = 1 si on choisit un garçon, I X = 0 si on choisit une fille,

AlorsX suit une loi de Bernoulli. Déterminons son paramètre.

On ap =P(1) = Card(”Garçon”) Card(Enfants) = 6

10 = 0,6 DoncX Ber(0,6). Et on a aussi E(X) = 0,6 et V(X) = 0,6×0,4 = 0,24.

Loi Binomiale

SoientX₁,X₂, ...,X_n sont des VA iid (indépendamment identiquement distribuées) de loiBer(p) alors la VA

S=^Pn_k=1X_k =X₁+X₂+...+X_nest appelée loi binomiale de paramètresn etp. On noteS ∼Bin(n,p).

Remarque

I Indépendamment veut dire que les VS sont deux à deux indépendantes,

I Identiquement distribuées veut dire que les VA suivent la même loi.

Propriété :

SiS ∼Bin(p) alors,

I ∀k ∈ {0,1...,n},P(S =k) =C_n^kp^k(1−p)^n−k, I L’espérance deS est E(S) =np,

I La variance deS est V(S) =np(1−p).

Loi Binomiale

Exemple

Un couple a décidé d’avoir 3 enfants. Quelle est la probabilité qu’il ait 1 fille ? 2 filles ? 3 filles ?

Pourk ∈ {1,2,3}, on noteXk la VA définie comme suit : I X_k = 1 si lek^eme enfant est une fille,

I X_k = 0 si lek^eme enfant est un garçon.

On aP(Xk = 1) = Card(”fille”) Card(”enfant”) = 1

2. DoncX_k ∼Ber(1

2). Or le sexe d’une naissance est indépendant du sexe d’une autre naissance. Donc lesX_k sont indépendantes deux à deux.

Par conséquent, la VAS =X₁+X₂+X₃ suit une loi binomiale de paramètres 3 et 1

2. C’est à dire S∼Bin(3,1 2).

Loi Binomiale

Exemple : suite

Un couple a décidé d’avoir 3 enfants. Quelle est la probabilité qu’il ait 1 fille ? 2 filles ? 3 filles ?

Ainsi,

I La probabilité d’avoir 1 fille est

P(S = 1) =C₃¹(¹₂)¹(1−¹₂)³⁻¹= 3×¹₂ ×¹₄ = ³₈ = 0,375, I La probabilité d’avoir 2 filles est

P(S = 2) =C₃²(¹₂)²(1−¹₂)³⁻²= 3×¹₂ ×¹₄ = ³₈ = 0,375, I La probabilité d’avoir 3 filles est

P(S = 3) =C₃³(¹₂)³(1−¹₂)³⁻³= 1×¹₈ ×1 = ¹₈ = 0,125.

On a aussiE(S) = 3×1

2 = 1,5 etV(S) = 3×1 2 ×1

2 = 0,75.

Loi binomiale

La courbe de la fonction de répartitionF est la suivante :

Loi de Poisson

La loi de Poisson est la loi qui modélise les phénomènes rares. Elle prends ses valeurs dans l’ensemble des entiers naturelsNet elle est caractérisée par un réelλappelé paramètre de la loi. SiX suit une loi de Poisson de paramètreλ, on note X ∼P(λ). De plus,

∀k ∈N, on aP(X =k) = e^−λλ^k k! . Propriété :

SiX ∼P(λ) alors,

I λreprésente le nombre moyen d’événements par unité de temps,

I L’espérance deX est E(S) =λ, I La variance deX est V(S) =λ.

Loi de Poisson

Exemple : suite

Le nombre d’arrivée des personnes à un guichet par minutes est 1,9. Quelle est la probabilité d’observer 5 arrivées pendant 1 minute ?

On noteX la VA représentant le nombre de personnes arrivant au guichet pendant une minute. On aX ∼P(1,9) car λ= 1,9.

Donc la probabilité d’observer 5 arrivées pendant 1 minute est P(X = 5) = e^−1,9×1,9⁵

5! = 0,03.

Loi de Poisson

La courbe de la fonction de répartitionF est la suivante :

Variables aléatoires continues

Fonction de densité et fonction de répartition

Dans cette partie, l’espace fondamental est infini non dénombrable.

En général Ω =Rou Ω⊂R.

I Une fonctionf définie de R dansRest appelée fonction de densité si elle vérifie les deux conditions suivantes :

I ∀x ∈R,f(x)≥0, I R+∞

−∞ f(x)dx = 1,

I On dit que f est la fonction de densité de la VAX si

∀a,b ∈Ω(X) on aP(a≤X ≤b) =^R_a^bf(x)dx,

I On a aussi P(a<X ≤b) =P(a≤X <b) =P(a<X <

b) =^R_a^bf(x)dx, I P({a}) = 0,

I X est dite une variable aléatoire continue (VAC),

I Si X est une VAC de fonction de densité f, la fonctionF définie par F(x) =^R_−∞^x f(t)dt est appelée fonction de répartition deX.

Fonction de densité et fonction de répartition

Exemple : On considère la VAX de fonction de densitéf définie par :f(x) =











0 ;x∈]− ∞,1]

3

7x² ;x ∈[1; 2]

0 ;x ∈]2; +∞]

Vérifions quef est effectivement une fonction de densité.

On a :

I Si x ∈]− ∞,1] alorsf(x) = 0 donc f(x)≥0,

I Si x ∈[1; 2] alorsf(x) = ³₇x². Orx² ≥0 donc f(x)≥0, I Si x ∈]2,+∞] alorsf(x) = 0 doncf(x)≥0.

On conclut donc∀x ∈R,f(x)≥0.

On a aussi^R_−∞^+∞f(t)dt =^R_−∞¹ 0dt+^R₁²³₇t²dt+^R₂^+∞0dt= 0 + [^t₇³]²₁= 0 + ⁸⁻¹₇ + 0 = 1.

Par conséquent,f est une fonction de densité.

Fonction de densité et fonction de répartition

Déterminons la fonction de répartition deX.

I Si x ∈]− ∞,1] alorsf(x) = 0 donc F(x) =^R_−∞^x 0dt = 0, I Si x ∈[1; 2] alorsf(x) = ³₇x² donc

F(x) =^R_−∞¹ 0dt+^R₁^{x 3}₇t²dt = 0 + [^t₇³]^x₁ = x³−1 7 , I Si x ∈]2,+∞] alorsf(x) = 0 donc

F(x) =^R_−∞¹ 0dt+^R₁²³₇t²dt+^R₂^x0dt = 0 + 1 + 0 = 1, Donc la fonction de répartition deX est la suivante :

F(x) =











0 ;x∈]− ∞,1]

x³−1

7 ;x ∈[1; 2]

1 ;x ∈]2; +∞]

Calcul des probabilités

Exemple, suite :

Calculons les probabilités suivantesP(−5≤X ≤ −2),

P(−1≤X ≤ ³₂),P(⁵₄ ≤X ≤ ⁷₄), P(³₂ ≤X ≤4),P(3≤X ≤6) et P(−8≤X ≤3).

I P(−5≤X ≤ −2) =F(2)−F(−5) = 0−0 = 0,

I P(−1≤X ≤ ³₂) =F(³₂)−F(−1) = ⁽³²⁾₇³⁻¹ −0 = 0,3392, I P(⁵₄ ≤X ≤ ⁷₄) =F(⁷₄)−F(⁵₄) = ⁽

7 4)³−(⁵₄)³

7 = 0,4866, I P(³₂ ≤X ≤4) =F(4)−F(³₂) = 1−⁽³²⁾₇³⁻¹ = 0,6607, I P(3≤X ≤6) =F(6)−F(3) = 1−1 = 0,

I P(−8≤X ≤3) =F(3)−F(−8) = 1−0 = 1,

Espérance, variance et écart-type

SiX est une VAC de fonction de densité f alors

I l’espérance de X est définie parE(X) =^R_−∞^+∞xf(x)dx, I la variance deX est définie par

V(X) =^R_−∞^+∞[x−E(X)]²f(x)dx =E(X²)−(E(X))², I l’écart-type deX est définie parσ(X) =^pV(X).

Espérance, variance et écart-type

Exemple :

Reprenons l’exemple précédent et déterminons l’espérance, la variance et l’écart type deX.

I l’espérance de X est

E(X) =^R_−∞^+∞xf(x)dx =^R_−∞¹ x×0dx+^R₁²x× ³₇x²dx+ R+∞

2 x×0dx = 0 +^R₁²³₇x³dx+ 0 = [₂₈³x⁴]²₁= ^3×(16−1)₂₈ = ⁴⁵₂₈, I on a E(X²) =^R_−∞^+∞x²f(x)dx =

R1

−∞x×0dx+^R₁²x²×³₇x²dx+^R₂^+∞x×0dx= 0 +^R₁^{2 3}₇x⁴dx+ 0 = [₃₅³ x⁵]²₁= ^3×(32−1)₃₅ = ⁹³₃₅ = 2,6571, I et (E(X))²= (⁴⁵₂₈)²= 2,5828.

I donc la variance deX est

V(X) =E(X²)−(E(X))² = 2,6571−2,5828 = 0,0743, I l’écart type deX est σ(X) =^pV(X) =√

0,0743 = 0,2725.

Courbe de la fonction de densité

La courbe de la fonction de densitéf est la suivante :

Courbe de la fonction de répartition

La courbe de la fonction de répartitionF est la suivante :

Lois continues usuelles

Loi uniforme

Une VACX suit la loi uniforme si sa fonction de densité f s’écrit sous la forme :

f(x) =











0 ;x∈]− ∞,a]

1

b−a ;x ∈[a;b] 0 ;x ∈]b; +∞]

c’est à dire qu’elle est constante sur l’intervalle [a,b] et nulle ailleurs. On noteX ∼U([a,b]).

Propriétés

I La fonction de répartition de X est donnée par F(x) =











0 ;x ∈]− ∞,a]

x−a

b−a ;x∈[a;b]

1 ;x ∈]b; +∞]

, I L’espérance deX est donnéeE(X) = ^a+b₂ , I La variance deX est donnée parV(X) = ^(b−a)₁₂ ².

Loi uniforme

Exemple : On considère une VACX ∼U([−2,3]). Alors ; I sa fonction de densité est f(x) =











0 ;x∈]− ∞,−2]

1

5 ;x ∈[−2; 3]

0 ;x∈]3; +∞]

I sa fonction de répartition est F(x) =











0 ;x ∈]− ∞,−2]

x+ 2

5 ;x ∈[−2; 3]

1 ;x ∈]3; +∞]

, I son espérance est E(X) = ³₂ = 1,5, I sa variance est V(X) = ₁₂⁵² = 2,0833,

I P(0<X ≤2) =F(2)−F(0) = ²⁺²₅ − ⁰⁺²₅ = 0,4,

Loi uniforme

La courbe de la fonction de densitéf est la suivante :

Loi exponentielle

La courbe de la fonction de répartitionF est la suivante :

Loi exponentielle

Une VACX suit la loi exponentielle de paramètre λsi sa fonction de densitéf s’écrit sous la forme :

f(x) =

( 0 ;x ∈]− ∞,0[

λe^−λx ;x ∈[0; +∞[

oùλest un réel positif. On noteX ∼Exp(λ).

Propriétés

I La fonction de répartition de X est donnée par F(x) =

( 0 ;x ∈]− ∞,0[

1−e^−λx ;x ∈[0; +∞[

I L’espérance deX est donnéeE(X) = ¹_λ, I La variance deX est donnée parV(X) = _λ¹2.

Loi exponentielle

Exemple : La durée de vie en années d’un appareil électronique est modélisé par une loi VAX qui suit la loiExp(0,25).

I son espérance est E(X) = _0,25¹ = 4, cela veut dire que la durée de vie moyenne d’un appareil est 4 ans.

I sa variance est V(X) = _(0,25)¹ 2 = 16,

I la probabilité qu’un appareil durera plus de 5 ans est P(X ≥5) = 1−F(5) =e^−0,25×5 = 0,2865,

I la probabilité qu’un appareil fonctionne moins de 3 ans est P(X ≤3) =F(3) = 1−e^−0,25×3 = 0.5276,

I la probabilité qu’un appareil fonctionne plus de 4 ans sachant qu’il a fonctionné 1 année est

P(X ≥4/X ≥1) = ^P((X_P(X^≥4)∩(X_≥1)^≥1)) = ^P(X_P(X^≥4)_≥1) = 1−F(4) 1−F(1) =

e^−0,25×4

e^−0,25×1 =e^−0,25×3 = 0.4723 =P(X ≥3), on dit que la loi exponentielle possède la propriété d’absence de mémoire.

Loi exponentielle

La courbe de la fonction de densitéf est la suivante :

Loi exponentielle

La courbe de la fonction de répartitionF est la suivante :

Loi normale centrée réduite

Une VACX suit la loi normale centrée réduite (ou la li normale standard) si sa fonction de densitéf s’écrit sous la forme f(x) = 1

√ 2πe^−x

2

2. On note X ∼N(0,1).

I la fonction de répartition de X ne peut pas être calculée explicitement. Cette fonction est notée Φ,

I l’espérance de X est E(X) = 0, I la variance deX est V(X) = 1,

I P(a≤X ≤b) = Φ(b)−Φ(a), où les valeurs de la fonction Φ sont donnée dans une table figurant dans tous les livres de Probabilité.

Loi normale centrée réduite

La courbe de la fonction de densitéf est la suivante :

Loi normale centrée réduite

La courbe de la fonction de répartition Φ est la suivante :

Loi normale centrée réduite

Propriétés :

I Φ(−x) = 1−Φ(x), I Φ(x) =P(X ≤x), I Φ(−x) =P(X ≥x), I P(|X| ≤x) = 2Φ(x)−1, I Φ(0) = 0,5.

Exemple :

CalculonsP(X ≥1,64) et P(−1,96≤X ≤1,96)

I On a P(X ≥1,64) = 1−Φ(1,64) = 1−0,95 = 0,05, I On a

P(−1,96≤X ≤1,96) = 2Φ(1,96)−1 = 2×0,975−1 = 0,95,

Loi normale centrée réduite : Table

Loi normale non centrée réduite

La loi normale de paramètresµet σ² (moyenne et variance) est la loi obtenue à partir de la loi normale centrée réduite comme suit : X ∼N(µ, σ²) si et seulement siZ ∼N(0,1) oùZ = ^X−µ_σ . Le passage deX à Z s’appelle l’opération de centrage (Soustraction de la moyenne) et réduction (division par l’écart-type).

On a alorsP(a≤X ≤b) =P(^a−µ_σ ≤Z ≤ ^b−µ_σ ).

Loi normale non centrée réduite

Exemple :

Le poids en kg d’un nouveau né à la naissance est modélisée par une variable aléatoireX qui suit une loi normale de moyenne X ∼N(µ= 3, σ²= 0,5²).

I la probabilité qu’un nouveau né pèse moins de 2,5 kg à la naissance estP(X ≤2,5) =P(≤Z ≤ ^2,5−3_0,5 ) =P(≤Z ≤

−1) = Φ(−1) = 1−Φ(1) = 1−0,8413 = 0,1586, I la probabilité qu’un nouveau né pèse plus de 3,8 kg à la

naissance estP(X ≥3,8) =P(≤Z ≤ ^3,8−3_0,5 ) =P(≤Z ≤ 1,6) = 1−Φ(1,6) = 1−0,9452 = 0,0547,

I la probabilité qu’un nouveau né pèse entre 2,9 plus de 3,2 kg à la naissance est P(2,9≤X ≥3,2) =P(−0,2≤Z ≥ 0,4) = Φ(0,4)−Φ(−0,2) = Φ(0,4)−1 + Φ(0,2) = 0,6554−1 + 0,5792 = 0,2346,

Loi normale non centrée réduite

Exemple :

Le poids en kg d’un nouveau né à la naissance est modélisée par une variable aléatoireX qui suit une loi normale de moyenne X ∼N(µ= 3, σ²= 0,5²).

I la probabilité qu’un nouveau né pèse moins de 2,5 kg à la naissance estP(X ≤2,5) =P(≤Z ≤ ^2,5−3_0,5 ) =P(≤Z ≤

−1) = Φ(−1) = 1−Φ(1) = 1−0,8413 = 0,1586, I la probabilité qu’un nouveau né pèse plus de 3,8 kg à la

naissance estP(X ≥3,8) =P(≤Z ≤ ^3,8−3_0,5 ) =P(≤Z ≤ 1,6) = 1−Φ(1,6) = 1−0,9452 = 0,0547,

I la probabilité qu’un nouveau né pèse entre 2,9 plus de 3,2 kg à la naissance est P(2,9≤X ≥3,2) =P(−0,2≤Z ≥ 0,4) = Φ(0,4)−Φ(−0,2) = Φ(0,4)−1 + Φ(0,2) = 0,6554−1 + 0,5792 = 0,2346,

Loi normale non centrée réduite

La courbe de la fonction de densitéf est la suivante :

Loi normale non centrée réduite

La courbe de la fonction de répartition est la suivante :

Loi normale non centrée réduite

Propriétés :

I Si X1∼N(µ1, σ₁²) etX2 ∼N(µ2, σ₂²) sont des VA indépendantes alorsX1+X2 ∼N(µ1+µ2, σ₁²+σ₂²), I Théorème central limite (TCL) :

Soient X₁,X₂, ...,X_n des VAiid de loi quelconque avec n ≥30. On poseS =^Pn_k=1X_k et ¯X = S

n. Alors S ∼N(nµ,nσ²) et ¯X ∼N(µ,(^√σ_n)²).

Loi de Khi 2

La loi deKhi2 à n degrés de liberté dll est la somme des carrés de n VA qui suivent la loiN(0,1) indépendantes. C’est à dire

S=Z₁²+...+Z_n². On écrit S ∼χ2(n).

I L’espérance deS est E(S) =n, I La variance deV est V(S) = 2n

La loi deχ₂ est utilisée dans certains tests statistiques tels que le test d’adéquation et le test d’indépendance (Voir le chapitre suivant).

Loi de Khi 2

Voici la courbe de la fonction de densité d’une loiKhi2 à 5ddl :

Loi de Khi 2

Et voici la courbe de la fonction de répartition :

Table de loi de Khi 2

Loi de Student

La loi deStudent àn ddl notéeT(n) est définie par :T = N qS

n

, oùN∼N(0,1) et S ∼χ2(n).

La loi deStudent est utilisée dans certains tests statistiques, principalement dans les test de conformité (Voir le chapitre suivant).

Loi de Student

Voici la courbe de la fonction de densité d’une loiStudent à 5ddl :

Loi de Student

Et voici la courbe de la fonction de répartition :

Table de loi de Student