Lycée militaire de Saint-Cyr Corrigé DS n°8 1
reS
Exercice 1
1. Soit , on a : ( )
( )
.
On identifie les coefficients :{
{ . D’où : ( )
.
2. Partons de l’expression trouvée, ( )
: ( ) ( ) . 3. On obtient après simplifications : ( ) ( ) .
Le signe de ( ) dépend du signe de : et .
( )
4. On a ( )( ) ( ). Or, ( ) et ( ) . D’où : .
5. Etudions le signe de la différence ( ) ( ) où et ( )
. On a donc : ( )
.
( )
Sur ( ) ( ) . est donc au-dessus de .
Sur ( ) ( ) . est donc en-dessous de . 6. Cf annexe
Exercice 2
1. On a, tout d’abord ( )
√ √
√ . Pour , le signe de ( ) dépend du signe de √ .
Si √ alors √ d’où ( ) pour .
Si √ alors √ d’où ( ) pour . On en déduit le tableau de variation de :
( )
2. On constate d’après le tableau de variations de que et il est atteint en la valeur . On en déduit que pour tout ( ) soit √ ou encore
pour tout √ Exercice 3
Exercice 4
1. On a ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ .
2. ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ .
3. On a ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ( ̂) d’où ( ̂) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . On calcule CA et respectivement DB par l’intermédiaire du théorème de Pythagore dans le triangle ADC rectangle en D respectivement dans le triangle ADB rectangle en A :
√ √ et √ √ √ √ . D’où : ( ̂) √ √ √ donc ̂ .
Exercice 5
1. ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ (‖ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ ‖ ⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ ‖ ⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ ) (‖ ⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ ) ( )
2. ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ̂ ̂ ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) soit ̂
3. (a) ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ . (b) ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗⃗ √
Exercice 6
1. D’une part : ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
D’autre part : ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ avec √ et √ par Pythagore.
Soit
√ d’où : .
2. (a) On a ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ (d’après 1.) .
(b) (AC) perpendiculaire à (DI) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
√ car sont positifs (longueurs).
