Satellites artificiels

ConcoursNationalCommun—PHYSIQUEI—Filière:MP Corrigé proposé par:

M. Afekir - École Royale de l’Air CPGE Marrakech

cpgeafek@yahoo.fr

Satellites artificiels

Première partie Étude générale

1 . 1

.

Le Maroc a lancé son premier satellite artificiel en 2001. Nom : Zarkae Elyamama;il est destiné au usage de la télécommunication.

1 . 2 .

G (r) = GM

r

²

et g

o

= GM

R

²_T

; Soit : G(r) = g

o

R

²_T

r

²

1 . 3 .

α

o

= r

o

v

_o²

g

o

R

²_T

; β

o

= ( −→ T S

o

, − → v

o

) et − →

f

G

= − mg

o

R

²_T

r

²

~u

r

1 . 3 . 1

.

Théorème du moment cinétique

d − → σ

T

dt = − → M

T

( − →

f

G

) = − → 0 = ⇒ − → σ = constante vectorielle

Le mouvement du satellite est, donc, plan. Le plan du mouvement est le plan perpendiculaire, à chaque instant, au moment cinétique

− → σ

T qui est une constante vectorielle égale à sa valeur initiale ; soit :

−→

T S

o

∧ m~v

o. le plan du mouvement est le plan

( −→

T S

o

, − → v

o

) 1 . 3

. 2 .

S

o

~r

~v

o

~u

_θ

~r

o

T θ

β

o

~u

r

~u

n

~u

t

1 . 3 . 3

.

Moment cinétique du satellite

−

→ σ

T

= − → σ = −→ T S

o

∧ m~v

o

= m~r

o

∧ ~v

o

= ⇒ − → σ = mr

o

v

o

sinβ

o

~u

z

ou σ = mr

o

v

o

sinβ

o

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1 . 4

.

Le vecteur Hamilton

− → H

−

→ H = m~v − K σ

²

− → σ ∧ ~r r

= m~v − K

σ

²

( − → σ ∧ ~u

r

) d − → H

dt = m~a − K σ

²

~σ ∧ d~u

_r

dt

= f ~

_G

− K

σ

²

θ ˙ (~σ ∧ ~u

_θ

) f ~

G

= − mg

o

R

_T²

r

²

~u

r et

~σ = σ~u

z

= mr

²

θ~u ˙

z

⇒ d − → H dt =

− mg

o

R

²_T

r

²

− K mr

²

~u

r

H

reste constante au cours du mouvement si et seulement si :

K = m

²

g

o

R

²_T

1 . 5

.

^Hodographe

^H

1 . 5 . 1

.

−→ OA = ~v =

−

→ H m + K

mσ

²

( − → σ ∧ ~u

_r

) ⇒ −→ OA =

−

→ H

m + g

o

R

²_T

r

o

v

o

sinβ

o

~u

_θ

−

→ H

étant constante du mouvement :

− → H = − → H (t = 0)

; soit :

−

→ H = m~v

_o

− K

σ ~u

_t

= m~v

_o

− mg

o

R

²_T

r

o

v

o

sinβ

o

~u

_t

= mv

_o

cosβ

_o

~u

_n

+ m

v

_o

sinβ

_o

− g

o

R

²_T

r

o

v

o

sinβ

o

~u

_t

~v =

−

→ H

m + g

o

R

²_T

r

_o

v

_o

sinβ

_o

~u

_θ

avec ~u

_θ

= − sinθ~u

_n

+ cosθ~u

_t

Soit :

~v















v

o

sinβ

o

− g

o

R

²_T

r

o

v

o

sinβ

o

(1 − cosθ)

v

_o

cosβ

_o

− g

o

R

²_T

r

o

v

o

sinβ

o

sinθ















(~ut,~un)

= v

t

~u

t

+ v

n

~u

n

= ⇒

v

t

− v

o

sinβ

o

+ g

_o

R

_T²

r

o

v

o

sinβ

o

2

+ (v

n

− v

o

cosβ

o

)

²

=

g

_o

R

_T²

r

o

v

o

sinβ

o

2

L’hodographe

H

est, donc, un cercle dans le plan

(~u

t

, ~u

n

)

:

•

de centre :

C

v

o

sinβ

o

− g

o

R

²_T

r

o

v

o

sinβ

o

, v

o

sinβ

o

•

^{de rayon :}

R = g

_o

R

²_T

r

o

v

o

sinβ

o

1 . 5 . 2

.

Directions permises pour

~v (H)

O A

(D

₂

)

(D

₁

) C

α

~v

−→H m goR²_T rovosinβ^o

~u

θ

Origine O extérieur de

H

(H)

O A

C

~v

^−→H

m goR²T

rovosinβ^o

~u

_θ

Origine O intérieur de

H

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1 . 5 . 3

.

Origine

O

A l’intérieur de

H

A l’extérieur de

H

Direction permise Toutes les directions Celles délimitées par

(D

₁

)

et

(D

₂

)

Type de trajectoire elliptique ou circulaire hyperbolique ou parabolique

1 . 5 . 4

.











−

→ H = m~v

o

− K mr

²

~u

t

~v

o

= v

o

cosβ

o

~u

n

+ v

o

sinβ

o

~u

t

K = m

²

g

o

R

²_T

⇒ − → H = mv

o

cosβ

o

~u

n

+ m

v

o

sinβ

o

− g

o

R

²_T

r

o

v

o

sinβ

o

~u

t

avec ~u

_t

= sinθ~u

_r

+ cosθ~u

_θ

= ~u

_θ

(t = 0) et ~u

_n

= cosθ~u

_r

− sinθ~u

_θ

= ~u

_r

(t = 0)

Dans le cas d’un mouvement circulaire :

β

o

= π

2

^et

v

²_o

= g

_o

R

²_T

r

o

D’où :

− →

H = m

v

o

− g

_o

R

²_T

r

o

v

o

~u

t

= − → 0

1 . 6 .

⇀

ε = 1 K

−

→ H ∧ ~σ =

−

→ H ∧ ~σ m

²

g

o

R

²_T

1 . 6 . 1

.

−

→ H

et

~σ

sont deux constantes vectorielles, donc :

~ε

est aussi constante du mouvement.

~ε ∈

au plan formé par

− → H

et

~σ = ⇒ ~ε ∈

au plan polaire

(~u

_r

, ~u

_θ

)

.

1 . 6 . 2

.

~r.~ε = r

m

²

g

o

R

²_T

~u

r

. − → H ∧ ~σ

avec

: − → H ∧ ~σ = σ

²

r − m

²

g

o

R

²_T

~u

r

− mσ r ~u ˙

_θ Soit :

~r.~ε =

σ

²

r − m

²

g

o

R

²_T

r

m

²

g

_o

R

²_T

= r k ~ ε k cos (θ − θ

o

)

ou

r = p

1 + e cos (θ − θ

o

) e = k ~ε k

^et

p = σ

²

K = σ

²

m

²

g

_o

R

²_T

= α

o

r

o

sin

²

β

o

θ

o est l’angle qui positionne l’axe de la conique par rapport à l’axe polaire.

1 . 6 . 3

.

~ε =

− 1 + σ

²

rK

~u

_r

− m σ

K r~u ˙

_θ

= ~ε (t = 0) =

− 1 + σ

²

r

_o

K

~u

_ro

− m σ K r ˙

_o

~u

_θo

˙

r

o

= v

o

cos β

o

⇒ ~ε =

− 1 + σ

²

r

o

K

~u

ro

− m σ

K v

o

cos β

o

~u

θo

⇒ e

²

= k ~ε k

²

= σ K

2

m

²

v

_o²

cos

²

β

_o

+

− K σ + σ

r

o

2!

= σ K

2

m

²

v

²_o

cos

²

β

_o

+

− K

σ + mv

_o

sin β

_o 2!

= σ K

2

m

²

v

²_o

+ K

σ

2

− 2 K r

o

!

= 1 + m

²

v

_o²

σ

²

K

²

− 2σ Kr

o

= 1 − 2α

_o

sin

²

β

_o

+ α

²_o

sin

²

β

_o ou

e

²

= 1 + α

o

(α

o

− 2) sin

²

β

o

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1 . 7

.

Nature de la trajectoire

1 . 7 . 1

.

Tableau des résultats :

β

_o

e(α

_o

)

Allure du graphe

0

1

FIG.1

π/6

¹₂p

α

²_o

− 2α

o

+ 4 FIG.2 π/4

p

1 +

^α₂^o

(α

o

− 2) FIG.3 π/3

p

1 + 3

^α₄^o

(α

o

− 2) FIG.4 π/2 | α

o

− 1 | FIG.5 e(α

_o

)

α

o

0 1

1

2 2

3 3

4 4

5

FIG.1 FIG.2 FIG.3 FIG.4 FIG.5

√1 2

1 2

1 . 7 . 2

.

e e = 0

et

β

o

= π/2 0 < e < 1 e = 1 e > 1

Nature de la trajectoire Cercle Ellipse Parabole Hyperbole

α

o

α

o

= 1 α

o

< 2 α

o

= 2 α

o

> 2

La vitesse de libération

v

lib correspond à l’état libre (ou de diffusion)où le mouvement est révolutif,

= ⇒

Trajectoire hyperbolique

e = 1

_,

ou α

_o

= 2

; soit :

α

o

= r

o

v

_lib²

g

o

R

²_T

= 2 = ⇒ v

lib

=

s

2g

o

R

²_T

r

o

= R

T

r

2g

_o

z

o

+ R

T

1 . 7 . 3

.

La trajectoire est circulaire pour

e = 0

, soit :

α

o

(α

o

− 2) sin

²

β

o

+ 1 = 0 et β

o

= π 2

Vitesse

v

sdu satellite sur son orbite circulaire :

α

o

(α

o

− 2) + 1 = 0 = ⇒ α

o

= 1 = r

o

v

_s²

g

o

R

²_T

ou v

s

= R

T

r

g

o

r

_o

= R

T

r

g

o

z

_o

+ R

_T

1 . 8

.

On considère le cas :

α

o

= 1

et

0 < β

o

< π/2

.

1 . 8 . 1

.

Dans ces conditions :

e = 1 − sin

²

β

o et on a

0 < β

o

< π/2

, d’où

0 < e < 1

: La trajectoire est, donc, elliptique.

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1 . 8 . 2

.

Expression de

θ

o en fonction de

α

o

α

o

= 1 ⇒ e

²

= cos

²

β

o

et ecosθ

o

= p

r

o

− 1 = − cos

²

β

o

⇒ cosθ

o

= − cosβ

o

ou θ

o

= β

o

+ π 1 . 8

. 3

. ^θ

^o est, aussi, l’angle entre

− → ε

et

−→ T S

o :

− → ε

coïncide, donc, avec le grand axe, dont les positions particulières sont telles que :

⋄ θ = θ

o

= β

o

+ π

: la position du périgée. et

⋄ θ = θ

_o

+ π == β

_o

+ 2π

: la position de l’apogée.

Conséquence : le vecteur vitesse

~v

o est colinéaire au vecteur excentricité

− → ε

et la position

S

o

appartient, donc, au petit axe.

S

o

−

→ ε

~v

o

~r

o

T

θ

o

β

o

Deuxième partie Satellites circulaires

2 . 1

.

Satellites en orbite basse

2 . 1 . 1

.

Théorème de la résultante cinétique

−

→ f

G

= − mg

o

R

²_T

R

²

~u

r

= m~a = − m v

²

R ~u

r

+ dv

dt ~u

θ

⇒ m v

²

R = mg

o

R

²_T

R

²

ou v = R

T

r

g

o

R 2 . 1

. 2

.

^Période

^T

de révolution du mouvement du satellite et troisième loi de Kepler

T = 2π R v = 2π

R

T

s

R

³

g

o

⇒ T

²

R

³

= 4π

²

g

o

R

²_T

2 . 1 . 3

.

Le satellite pôlaire est tel que l’axe pôlaire N-S se trouve dans son plan de trajectoire .

Il n’y a pas de restriction sur le plan de la trajectoire et sur le sens de rotation car la force gravitationnelle est à symétrie sphérique ! !

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2 . 2

.

Satellites géostationnaires

2 . 2 . 1

.

De tels satellites envoient des informations, auxquelles ils sont destinés, sans dépha- sage temporel.

Applications :Obsevation et détection : des séismes , des volcans et des incendies ; télécommuni- cation...

2 . 2 . 2

.

T

_o²

(z

G

+ R

T

)

³

= 4π

²

g

o

R

_T²

⇒ z

G

= − R

T

+

³

r

g

o

R

²_T

T

_o²

4π

²

2 . 2

. 3

.

Application numérique :

z

G

≈ 35774km 2 . 2

. 4

.

Le plan de la trajectoire est le plan équatorial et le satellite tourne dans le même sens que la rotation de la Terre dans le repère géocentrique .

2 . 3

.

Transfert d’orbite

2 . 3 . 1

.

Lest trois trajectoires sont coplanaires (appartiennent au même plan).

T

(

C

B)

(

E

H) (

C

^G)

R

B

R

G

A P

2 . 3 . 2

.

⋄

Conservation du moment cinétique sur

E

_H :

σ

A

= σ

P

⇒ v

A

R

G

= v

P

R

B

⋄

Conservation du l’énergie sur

E

H :

E

^P

= E

^A

⇒ 1

2 mv

²_P

− mg

o

R

²_T

R

B

= 1

2 mv

_A²

− mg

o

R

²_T

R

G

⋄

Combinaison des deux équations de conservation donne :

v

²_P

− v

²_A

= 2g

o

R

_T²

1

R

B

− 1 R

G

⇒



















v

P

= R

T

s

2g

o

R

G

R

B

(R

B

+ R

G

) v

A

= R

T

s

2g

o

R

B

R

G

(R

B

+ R

G

)

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2 . 3 . 3

.

Variations de vitesses de transfert

∆v

₁

= v

P

− R

T

r

g

o

R

_B ^et

∆v

₂

= − v

A

+ R

T

r

g

o

R

_G

2 . 3 . 4

.

Durée de la phase de transfert sur l’ellipse de Hohmann

Soit

T

_H la période de révolution elliptique

E

_H et soit

a

_H le demi-grand axe de l’ellipse

E

_{H ,}

2a

H

= R

G

+ R

B

∆t = T

H

2

^avec

T

_H²

a

³_H

= 4π

²

g

o

R

_T^{2 donc}

: ∆t = π 2R

T

s

(R

G

+ R

B

)

³

2g

o

2 . 3 . 5

.

^Soit

^c

H la position du foyer de l’ellipse

E

_H par rapport à son centre

e

_H

= c

H

a

_H ^{tels que :}







a

H

= R

B

+ R

G

2

c

_H

= a

_H

− R

_B

= R

_G

− R

_B

2

⇒ e

_H

= R

G

− R

B

R

_B

+ R

_G

Troisième partie

Influence de l’atmosphère terrestre

3 . 1

.

Modèle de force de frottement

3 . 1 . 1

.

Variation de la quantité du mouvement

On considère le système (molécule - satellite) . La quantité du mouvement du système est :

⋄

Avant le choc :

m~v

satellite

+ m

^′

~v

molécule

= m~v + m

^′

~ 0 = m~v

⋄

Après le choc :

(m + m

^′

) ~v

syst choc mou

,

et

~v

syst

:

vitesse du système après le choc La quantité du mouvement du satellite subit une variation :

∆~ p = p

après

− p

avant

= m~v

syst

− m~v = m (~v

syst

− ~v) = m

m

m + m

^′

− 1

~v

Soit :

∆~ p = − mm

^′

m + m

^′

~v

ou :

∆~ p ≈ − m

^′

~v

car

m >> m

^′

3 . 1

. 2

.

La variation de la quantité du mouvement du satellite pendant

dt

:

⋄

Au cours du choc entre une molécule de masse

m

^′et le satellite :

d~ p

molécule

≈ m

^′

~v

⋄

Au cours du choc entre l’atmosphère de masse

m

^′et le satellite supposé sphérique :

d~ p

_atm

≈

X

m

^′

~v = m

_atm

~v = µ(z)dτ~v = µ(z)Σvdt~v

La force subit par le satellite de la part de l’atmosphère s’exprime par :

−

→ F = d~ p

_atm

dt = − µ(z)Σv~v

ou − → F = − k(z)v~v avec k(z) = µ(z)Σ

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3 . 1 . 3

.

Modèle d’atmosphère isotherme Équation de l’hydrostatique dans le champ de pesanteur :

µ(z)~g = −−→

grad p ⇒ − µ(z)g = dp(z) dz

Dans le cadre de l’approximation :

z << R

T :

g ≈ g

o, donc :

− µ(z)g

o

= dp(z)

dz avec : p(z) = µ(z)

M RT ⇒ dµ(z)

dz = − M g

o

RT µ(z)

⇒ µ(z) = µ

o

exp

− z H

avec H = RT M g

o

µ

o : masse volumique de l’air atmosphérique au voisinage de la surface de la Terre.

3 . 2

.

Freinage du satellite

3 . 2 . 1

.

Trajectoire circulaire du satellite dans le champ gravitationnel (champ Newtonnien) Le théorème de la résultante cinétique :

− →

f

g

= m~a

⇒ mg

o

R

²_T

R

²

= m v

²

R ⇒ v

²

= g

o

R

²_T

R

T

+ z ou 2vdv = − g

o

R

²_T

(R

T

+ z)

²

dz

Soit : dv

dz = − R

T

2 (R

T

+ z)

r

g

o

R

T

+ z 3 . 2

. 2

.

L’énergie mécanique du satellite :

E

m

= E

c

+ E

p avec











E

p

= − mg

o

R

²_T

R E

_c

= 1

2 mv

²

= mg

_o

R

²_T

R

⇒ E

m

= − E

_p

2 = − E

c

Au cours de la chute du satellite, son énergie potentielle diminue (perd de l’altitude) et, donc, son énergie cinétique augmente ; par conséquent : sa vitesseaugmente ! !

3 . 2 . 3

.

Variation de l’énergie mécanique

E

m

= − 1

2 E

p

= mg

o

R

²_T

R ⇒ dE

m

dz = mg

o

R

_T²

2 (R

_T

+ z)

²

= mg

o

R

²_T

2R

²

3 . 2

. 4

.

Travail des forces de frottement

δW ( − → F ) = − → F .d~r = − k(z)v~v.~vdt = − k(z)v

³

dt, ou δW ( − → F ) = − µ(z)Σv

³

dt 3 . 2

. 5

.

Théorème de l’énergie mécanique

dE

m

dt = P − → F

=

δW − → F

dt ⇒ mg

o

R

²_T

2R

²

dz

dt = − µ(z)Σv

³

⇒ dz

dt = − µ(z)Σv

³

2R

²

mg

o

R

²_T

dz

dt = − 2

m µ(z)ΣvR

ou

dz

dt = − Bµ(z)vR

avec

B = 2 Σ

m

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3 . 2 . 6

.

D’après les résultats précédents

dz(t)

dt = − Bµ(z)vR = − 2 Σ m R

T

r

g

o

R µ

o

Re

⁻

z(t) H

Dans l’approximation

z << R

T

: R = z(t) + R

T

≈ R

T

⇒ dz(t)

dt = − 2 Σ m R

T

p

R

T

g

o

µ

o

e

⁻

z(t) H

⇒

^e

z(t)

H

= − t

τ + C

o

H ⇒ z(t) = H ln C

o

H − t τ

tel que :

C

o

=

e^zH(0)

Avec :

τ = mH

2ΣR

T

√

R

T

g

o

µ

o

:

terme homogè ne à un temps.

3 . 2 . 7

.

Application numérique:

τ = 6, 45 × 10

⁻⁶

s

La durée

t

chute du chute d’un satellite, depuis l’altitude

h

, est telle que :

z(t

chute

) = 0

= ⇒

^e

z(tchute)

H

= t

chute

τ =

e^Hh Soit :

t

chute

= τ

e^Hh

= 6, 4.10

⁷

s 3 . 2

. 8 .

Vitesse d’agitation thermique est :

v

th

= 0, 5 kms

⁻¹ Dans l’approximation

z << R

T

,

la vitesse du satellite est :

v

sat

≈

p

g

o

R

T

= 7, 75 kms

⁻¹

= ⇒ v

th

<< v

sat